歷年高考數(shù)學(xué)立體幾何匯編

1、abmncl2l1h歷年高考數(shù)學(xué)立體幾何匯編1、（2006年高考）如圖，、是互相垂直的異面直線,mn是它們的公垂線段.點(diǎn)a、b在上，c在上，。 （）證明acnb；()若，求與平面abc所成角的余弦值。2、（2007年高考）四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明：；（）求直線與平面所成角的大小 cdeab3、（2008年高考）四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，（）證明：；（）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小 4、（2009年高考）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，,，點(diǎn)m在側(cè)棱上，=60°（i）證明：m在側(cè)棱的中點(diǎn)（ii）求二面角的大小。5、(2010年高考)如圖，四棱錐s

2、-abcd中，sd底面abcd，ab/dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e為棱sb上的一點(diǎn)，平面edc平面sbc .（）證明：se=2eb；（）求二面角a-de-c的大小 .6、如圖，在四棱錐pabcd中，側(cè)面pad底面abcd，側(cè)棱papd=,底面abcd為直角梯形，其中bcad,abad,ad=2ab=2bc=2，o為ad中點(diǎn).()求證:po平面abcd；()求異面直線pb與cd所成角的余弦值；()求點(diǎn)a到平面pcd的距離.7、如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)， （i）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面； （ii）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離e

3、a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 8、如圖，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd為等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分別是棱ad、aa、ab的中點(diǎn)。（1）證明：直線ee/平面fcc；（2）求二面角b-fc-c的余弦值。9、如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的 菱形，, , ,為的中點(diǎn)。（）求異面直線ab與md所成角的大?。唬ǎ┣簏c(diǎn)b到平面ocd的距離。10、如圖,在六面體中,四邊形abcd是邊長為2的正方形,四邊形是邊長為1的正方形,平面,平面abcd，dd1=2。()求證:與ac共面，與bd共面. ()求證:平面 ()求二面角的大

4、小.11、如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點(diǎn) （）證明：平面；（）求二面角的余弦值12、如圖，四面體abcd中，o、e分別是bd、bc的中點(diǎn)，（i）求證：平面bcd； （ii）求異面直線ab與cd所成角的大?。唬╥ii）求點(diǎn)e到平面acd的距離。13、正四棱錐的高，底邊長，（1）求異面直線和之間的距離注：已知兩條異面直線,是與兩直線都垂直的向量,，則兩條異面直線的距離 abmncl2l1hxyz1、解: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系mxyz.令mn=1, 則有a(1,0,0),b(1,0,0),n(0,1,0),()mn是 l1、l2的公垂線, l1l2, l2平面abn. l2平

5、行于z軸. 故可設(shè)c(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). ·=1+(1)+0=0 acnb.2、解：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面因?yàn)?，所以dbcas又，為等腰直角三角形，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，所以3、（i）作aobc，垂足為o，則ao底面bcde，且o為bc的中點(diǎn)，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線oc為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系o-xyz.設(shè)a（0,0,t），由已知條件有c(1,0,0), d(1,0), e(-1, ,0),所以，得adce4、解:以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線da為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系d-xyz設(shè)，則（

6、）設(shè),則又故即，解得，即所以m為側(cè)棱sc的中點(diǎn)5、解：以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)a(1,0,0)，則b(1,1,0),c(0,2,0),s(0,0,2)（）設(shè)平面sbc的法向量為n=(a,b,c)由，得，故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，則b=c,c=1,n=(1,1,1)。又設(shè) ，則，設(shè)平面cde的法向量m=(x,y,z)，由,得 ： ，故 .令，則.由平面dec平面sbc得mn,故se=2eb6、以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz.則a（0，-1，0），b（1，-1，0），c（1，0，0），d（0，1

7、，0），p（0，0，1）.所以（-1，1，0），（t，-1，-1），、=，所以異面直線pb與cd所成的角的余弦值為，（）設(shè)平面pcd的法向量為n（x0,y0,x0），由（）知=（-1，0，1），（-1，1，0），則n·0，所以-x0+ x0=0,n·0，-x0+ y0=0， 即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1). 又=(1,1,0).從而點(diǎn)a到平面pcd的距離d7、證明：（i）如圖，連結(jié)op，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ob、oc、op所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系o，21世紀(jì)教育網(wǎng) 則，由題意得，因，因此平面boe的法向量為，得，又直

8、線不在平面內(nèi)，因此有平面e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d x y z m 8、解法二:（1）因?yàn)閍b=4, bc=cd=2, f是棱ab的中點(diǎn),所以bf=bc=cf,bcf為正三角形, 因?yàn)閍bcd為等腰梯形,所以bac=abc=60°,取af的中點(diǎn)m,連接dm,則dmab,所以dmcd,以dm為x軸,dc為y軸,dd1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則d（0,0,0）,a（,-1,0）,f（,1,0）,c（0,2,0）,c1（0,2,2）,e（,0）,e1（,-1,1）,所以,設(shè)平面cc1f的法向量為則所以取,則,所以,所以直線ee/平面fcc. 9、解：作于點(diǎn)p,如

9、圖,分別以ab,ap,ao所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為10、解（向量法）： 以d為原點(diǎn)，以da,dc,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則有a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），（）證明：于是與ac共面，與bd共面.11、證明：（）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則的中點(diǎn)，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為12、解：以o為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則b(1，0，0)，

10、d(-1，0，0)，c(0,0)，a(0,0,1), e(,0), 異面直線ab與cd所成角的大小為1、abmncl2l1hxyz06年() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知acb=60°,abc為正三角形,ac=bc=ab=2. 在rtcnb中,nb=, 可得nc=,故c(0,1, ).連結(jié)mc,作nhmc于h,設(shè)h(0, ) (>0). =(0,1,), =(0,1, ). · = 12=0, = ,h(0, , ), 可得=(0, ), 連結(jié)bh,則=(1, ),·=0+ =0, , 又mcbh=h,hn平面abc,nbh為nb

11、與平面abc所成的角.又=(1,1,0),dbcascosnbh= = = 2、07年（）取中點(diǎn)，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，所以，直線與平面所成的角為3、08年（ii）作cfab，垂足為f，連接fe，設(shè)f（x,0,z）則=(x-1,0,z),故cfbe，又abbe=b，所以cf平面abe，cef是ce與平面abe所成的角，cef=45°由ce=，得cf=又cb=2，所以fbc=60°，abc為等邊三角形，因此a（0，0，）作cgad，垂足為g，連接ge，在rtacd中，求得|ag|=|ad|，故g又，

12、所以的夾角等于二面角c-ad-e的平面角。由cos()=知二面角c-ad-e為arccos()4、09年（ii）由，得am的中點(diǎn)又所以，因此等于二面角的平面角所以二面角的大小為5、10年（）由（）知，取de的中點(diǎn)f，則，故，由此得又，故，由此得，向量與的夾角等于二面角的平面角于是 所以，二面角的大小為6、（）證明：在pad卡中papd，o為ad中點(diǎn)，所以poad.又側(cè)面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，po平面pad，所以po平面abcd.（）連結(jié)bo，在直角梯形abcd中，bcad,ad=2ab=2bc，有odbc且odbc，所以四邊形obcd是平行四邊形，所以obdc.由（）

13、知poob，pbo為銳角，所以pbo是異面直線pb與cd所成的角.因?yàn)閍d2ab2bc2，在rtaob中，ab1，ao1，所以ob，在rtpoa中，因?yàn)閍p，ao1，所以op1，在rtpbo中，pb,cospbo=,所以異面直線pb與cd所成的角的余弦值為.()由（）得cdob，在rtpoc中，pc，所以pccddp，spcd=·2=.又s=設(shè)點(diǎn)a到平面pcd的距離h，由vp-acd=va-pcd，得sacd·opspcd·h，即×1×1××h，解得h.7、（ii）設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為，則，因?yàn)槠矫鎎oe，所以有，因此有，即點(diǎn)m的

14、坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)m的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，由點(diǎn)m的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為21世紀(jì)教育網(wǎng)8、（2）,設(shè)平面bfc1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角b-fc-c為銳角,所以二面角b-fc-c的余弦值為. 9、(2) 設(shè)平面ocd的法向量為,則即 取,解得設(shè)點(diǎn)b到平面ocd的距離為,則為在向量上的投影的絕對值, , .所以點(diǎn)b到平面ocd的距離為10、（）證明：內(nèi)的兩條相交直線， 又平面（）解：設(shè)于是設(shè)于是11、（）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則的中點(diǎn)，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為12、（）解：以o為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則b(1，0，0)，d(-1，0，0)，c(0,0)，a(0,0,1), e(,0), 異面直線ab與cd所成角的大小為（）解