高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)15-推理與證明3

1、第3課時 數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基歸納奠基)證明當(dāng)證明當(dāng)n取第一個值取第一個值n0(n0n*)時命題成立；時命題成立；(2)(歸納遞推歸納遞推)假設(shè)假設(shè)nk(kn0，kn*)時命題成立，證明當(dāng)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成時命題也成立立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從題對從n0開始的所有正整數(shù)開始的所有正整數(shù)n都成立都成立基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法用上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法用框圖表示就是：框圖表示就是：基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理1數(shù)學(xué)

2、歸納法適用于證明數(shù)學(xué)歸納法適用于證明_類型的命題類型的命題()a已知已知結(jié)論結(jié)論b結(jié)論結(jié)論已知已知c直接證明比較困難直接證明比較困難 d與正整數(shù)有關(guān)與正整數(shù)有關(guān)答案答案：d三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化a1 b2c3 d0答案答案：c三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化答案答案：d三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化答案答案：2k三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化5記凸記凸k邊形的內(nèi)角和為邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸則凸k1邊形的內(nèi)角和邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.答案答案：三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的關(guān)鍵是在證明在證明nk1時命題成立，要從時命題成立，要

3、從nk1時待證的目標(biāo)恒等式的一端時待證的目標(biāo)恒等式的一端“拼湊拼湊”出歸納假設(shè)的恒等式的一端，再運用歸出歸納假設(shè)的恒等式的一端，再運用歸納假設(shè)即可同時，還要注意待證的目納假設(shè)即可同時，還要注意待證的目標(biāo)恒等式的另一端的變化，即用標(biāo)恒等式的另一端的變化，即用“k1”替換恒等式中的所有替換恒等式中的所有“n”課堂互動講練課堂互動講練考點一考點一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】證明等式是數(shù)學(xué)證明等式是數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用之一，證明時，較為困歸納法的應(yīng)用之一，證明時，較為困難的是第二步，首先要弄清等式兩邊難的是第二步，首先要弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，然

4、后證明當(dāng)?shù)臉?gòu)成規(guī)律，然后證明當(dāng)n1時命題時命題成立，再證如果成立，再證如果nk時命題成立，那時命題成立，那么么nk1時命題也成立時命題也成立課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練那么那么(k1)212(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k)課堂互動講練課堂互動講練當(dāng)當(dāng)nk1時等式成立時等式成立由由(1)(2)知，對任意知，對任意nn*等式成立等式成立課堂互動講練課堂互動講練【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】當(dāng)當(dāng)nk1時易錯時易錯寫成寫成(k21)2(k222)(k1)(k1)2(k1)2整除問題是常見數(shù)學(xué)問題，除了在二項整

5、除問題是常見數(shù)學(xué)問題，除了在二項式定理中利用二項式定理證明整除外，有些式定理中利用二項式定理證明整除外，有些還可用數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整還可用數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時，關(guān)鍵是除性問題時，關(guān)鍵是“湊項湊項”，采用增項、減，采用增項、減項、拆項和因式分解等方法也可以說將式項、拆項和因式分解等方法也可以說將式子子“硬提公因式硬提公因式”，即將，即將nk時的項從時的項從nk1時的項中時的項中“硬提出來硬提出來”，構(gòu)成，構(gòu)成nk時的項，后時的項，后面的式子相對變形，使之與面的式子相對變形，使之與nk1時的項相時的項相同，從而達(dá)到利用假設(shè)的目的同，從而達(dá)到利用假設(shè)的目的課堂互動

6、講練課堂互動講練考點二考點二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除用數(shù)學(xué)歸納法證明整除課堂互動講練課堂互動講練已知已知f(n)(2n7)3n9(n n*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被能被36整除整除【思路點撥思路點撥】用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法能證明整除問題，在由能證明整除問題，在由k過渡到過渡到k1時常用時常用“配湊配湊”的辦法，要有目的地的辦法，要有目的地去去“配湊配湊”36的倍數(shù)式子和假設(shè)的倍數(shù)式子和假設(shè)nk時的式子時的式子課堂互動講練課堂互動講練【證明證明】(1)當(dāng)當(dāng)n1時，時，f(1)36，能被能被36整除整除(2)假設(shè)假設(shè)nk(kn*)時，時，f(k)能被能被36整除，整除，即即f

7、(k)(2k7)3k9能被能被36整除；整除；當(dāng)當(dāng)nk1時，時，2(k1)73k19(2k7)3k1272723k193(2k7)3k918(3k11)，由于由于3k11是是2的倍數(shù)，故的倍數(shù)，故18(3k11)能被能被36整除，這就是整除，這就是說，當(dāng)說，當(dāng)nk1時，時，f(n)也能被也能被36整除整除由由(1)(2)可知對一切正整數(shù)可知對一切正整數(shù)n都有都有f(n)(2n7)3n9能被能被36整整除除課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】用數(shù)學(xué)歸納法證用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是明整除問題的關(guān)鍵是“配湊配湊”采用增采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，項、減項、拆項和因式分解等手

8、段，湊出歸納假設(shè)和倍數(shù)式子，從而由部湊出歸納假設(shè)和倍數(shù)式子，從而由部分的整除性得出整體的整除性分的整除性得出整體的整除性課堂互動講練課堂互動講練在幾何問題中，常有與在幾何問題中，常有與n有關(guān)的有關(guān)的幾何證明，其中有交點個數(shù)、內(nèi)角幾何證明，其中有交點個數(shù)、內(nèi)角和、將平面分成若干部分等問題這和、將平面分成若干部分等問題這些問題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，利用數(shù)些問題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，利用數(shù)學(xué)歸納法證明這些問題時，關(guān)鍵是學(xué)歸納法證明這些問題時，關(guān)鍵是“找項找項”，即幾何元素從，即幾何元素從k個變成個變成k1個時，所證的幾何量將增加多少，這個時，所證的幾何量將增加多少，這需需課堂互動講練課堂互動講練考點三考

9、點三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題用到幾何知識或借助于幾何圖形來分用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，在實在分析不出來的情況下，將析，在實在分析不出來的情況下，將nk1和和nk分別代入所證的式分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧歸納法證明幾何命題的一大技巧課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練用數(shù)學(xué)歸納法證明平面內(nèi)用數(shù)學(xué)歸納法證明平面內(nèi)有有n個圓，其中每兩個圓都相交個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于兩點，且每三個圓

10、都不相交于同一點則這于同一點則這n個圓將平面分個圓將平面分成成n2n2個部分個部分課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】本題中找到第本題中找到第k1個圓被原來的個圓被原來的k個圓分成了個圓分成了2k條條弧，而每一條弧把它所在部分分成了弧，而每一條弧把它所在部分分成了兩塊，此時共增加了兩塊，此時共增加了2k個部分，問題個部分，問題就得到了解決就得到了解決【證明證明】(1)當(dāng)當(dāng)n1時，即一個圓把時，即一個圓把平面分成平面分成2個部分，個部分，f(1)2，又，又n1時，時，n2n22，所以命題成立，所以命題成立(2)假設(shè)假設(shè)nk(k1且且kn*)時，命題成時，命題成立，即立，即k個圓把平面分成

11、個圓把平面分成f(k)k2k2個個部分部分那么當(dāng)那么當(dāng)nk1時，記第時，記第k1個圓為個圓為 o.由題意，由題意， o與其他與其他k個圓相交于個圓相交于2k個個點，這點，這2k個點把個點把 o分成分成2k條弧，而每條條弧，而每條弧把原區(qū)域分成弧把原區(qū)域分成2部分，因此這個平面被部分，因此這個平面被圓分成的部分就增加了圓分成的部分就增加了2k個，即：個，即：課堂互動講練課堂互動講練f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，也即也即nk1時命題成立時命題成立由由(1)(2)可知，對任意可知，對任意nn*命題均命題均成立成立【思維總結(jié)思維總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有

12、關(guān)的幾何問題，由與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，由k過渡到過渡到k1時常利用幾何圖形來分析前后的變時常利用幾何圖形來分析前后的變化情況，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖纸o予說明化情況，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖纸o予說明課堂互動講練課堂互動講練用數(shù)學(xué)歸納法證明與用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小對第個式子，按要求比較它們的大小對第二類形式，往往要先對二類形式，往往要先對n取前幾個值的取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，再猜

13、出從某個誤，再猜出從某個n值開始都成立的結(jié)值開始都成立的結(jié)論，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明論，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明課堂互動講練課堂互動講練考點四考點四用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練即即nk1時，命題成立時，命題成立由由(1)(2)可知，命題對所有可知，命題對所有nn*都成立都成立【思維總結(jié)思維總結(jié)】本題主要考查數(shù)本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系；通項公式及前列的遞推關(guān)系；通項公式及前n項和項和公式，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基公式，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查邏輯推礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查邏輯推理能

14、力理能力課堂互動講練課堂互動講練“歸納歸納猜想猜想證明證明”的模式，的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式其一般思路是：通過觀察的解題模式其一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種方法在解決后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式歸納、猜想出公式課堂互動講練課堂互動講練考點五考點五歸納、猜想、證明歸納、猜想、證明課堂互動講練課堂互動講練課堂

15、互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練(本題滿分本題滿分12分分)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項和為項和為sn，且方程，且方程x2anxan0有有一個根是一個根是sn1，n1,2,3，(1)求求a1，a2；(2)求求an的通項公的通項公式式解解：(1)當(dāng)當(dāng)n1時，時，x2a1xa10有一根為有一根為s11a11，于是，于是(a11)2a1(a11)a10，課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練(2)由題設(shè)由題設(shè)(sn1)2an(sn1)an0，sn22sn1an

16、sn0.當(dāng)當(dāng)n2時，時，ansnsn1，代入上式得代入上式得sn1sn2sn10(*)課堂互動講練課堂互動講練下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論n1時已知結(jié)論成立時已知結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk(kn*，k1)時結(jié)論時結(jié)論成立，成立，課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練1數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與正整數(shù)數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與正整數(shù)n有有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種常用方法，應(yīng)用時應(yīng)關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種常用方法，應(yīng)用時應(yīng)注意以下三點：注意以下三點：(1)驗證是基礎(chǔ)驗證是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一步是要數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一步是要找一個數(shù)找一個數(shù)n0，這

17、個，這個n0就是要證明的命題對就是要證明的命題對應(yīng)的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)并不一定都應(yīng)的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)并不一定都是是“1”，因此，因此“找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)”是正是正確運用數(shù)學(xué)歸納法時首先要注意的問題確運用數(shù)學(xué)歸納法時首先要注意的問題規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)(2)遞推是關(guān)鍵遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于遞推，所數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于遞推，所以從以從“k”到到“k1”的過程，必須把歸的過程，必須把歸納假設(shè)納假設(shè)“nk”作為條件來推出作為條件來推出“nk1”時的命題，在推導(dǎo)過程中，要把時的命題，在推導(dǎo)過程中，要把歸納假設(shè)用上一次或幾次歸納假設(shè)用上一次或幾次(3)尋找遞推關(guān)系尋

18、找遞推關(guān)系在第一步驗證時，不妨多計算在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并爭取正確寫出來，這樣對發(fā)幾項，并爭取正確寫出來，這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)探求數(shù)列通項公式要善于觀察探求數(shù)列通項公式要善于觀察式子的變化規(guī)律，觀察式子的變化規(guī)律，觀察n處在哪個位處在哪個位置置在寫在寫f(k1)時，一定要把包含時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是的式子寫出來，尤其是f(k)中的最中的最后一項除此之外，多了哪些項，少后一項除此之外，多了哪些項，少了哪些項都要分析清楚了哪些項都要分析清楚規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)2.“歸納歸納猜想猜想證明證明”這類這類問題的證法問題的證法先歸納推理先歸納