多項式除法經(jīng)典實用

1、關(guān)于多項式除以多項式兩個多項式相除，可以先把這兩個多項式都按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個多位數(shù)相除的計算方法，用豎式進行計算例如，我們來計算(7x26x2)÷(2x1)，仿照672÷21，計算如下：(7x26x2)÷(2x1)=3x2由上面的計算可知計算步驟大體是，先用除式的第一項2x去除被除式的第一項6x2，得商式的第一項3x，然后用3x去乘除式，把積6x23x寫在被除式下面(同類項對齊)，從被除式中減去這個積，得4x2，再把4x2當(dāng)作新的被除式，按照上面的方法繼續(xù)計算，直到得出余式為止上式的計算結(jié)果，余式等于0如果一個多項式除以另一個多項式的余式為0，我

2、們就說這個多項式能被另一個多項式整除，這時也可說除式能整除被除式整式除法也有不能整除的情況按照某個字母降冪排列的整式除法，當(dāng)余式不是0而次數(shù)低于除式的次數(shù)時，除法計算就不能繼續(xù)進行了，這說明除式不能整除被除式例如，計算(9x22x35)÷(4x3x2)解：所以商式為2x1，余式為2x8與數(shù)的帶余除法類似，上面的計算結(jié)果有下面的關(guān)系：9x22x35(4x3x2)(2xl)(2x8)這里應(yīng)當(dāng)注意，按照x的降冪排列，如果被除式有缺項，一定要留出空位當(dāng)然，也可用補0的辦法補足缺項當(dāng)除式、被除式都按降冪排列時，各項的位置就可以表示所含字母的次數(shù)因此，計算時，只須寫出系數(shù)，算出結(jié)果后，再把字母和

3、相應(yīng)的指數(shù)補上去這種方法叫做分離系數(shù)法按照分離系數(shù)法，上面例題的計算過程如下：于是得到商式=2x1，余式=2x8對于多項式的乘法也可用分離系數(shù)法進行計算，例如，(2x35x4)(3x27x8)按分離系數(shù)法計算如下：所以，(2x35x4)(3x27x8)=6x514x4x323x212x32如果你有興趣，作為練習(xí)，可用上面的方法計算下面各題1(6x3x21)÷(2x1)2(2x33x4)÷(x3)3(x32x25)(x2x21)4(xy)(x2xyy2)【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：單項式除以單項式、多項式除以單項式、多項式除以多項式 二. 重點、難點整式的除法與

4、我們以前所學(xué)的整式的加法、減法、乘法有很多不同，特別是多項式除以多項式，雖然是選學(xué)內(nèi)容，但多項式除以多項式在解決代數(shù)式求值，及復(fù)雜的因式分解都有很大的用處。 【典型例題】例1 化簡求值：，其中，解：    當(dāng)，時原式    例2 a.         b.        c.         d.

5、以上都不對解析：解這道題如用正規(guī)途徑應(yīng)對比等式左右兩邊系數(shù)從左邊到右邊少了，所以所求代數(shù)式的系數(shù)為2而最后一項為1，所以所求代數(shù)式為。但這是一道選擇題可以用代入法把a、b、c四個答案代入試試，很快發(fā)現(xiàn)也是a。說明：同學(xué)們在做選擇題時應(yīng)選用較為靈活的方法。例3 化簡解：原式        例4 計算我們仿照小學(xué)學(xué)習(xí)的多位數(shù)除以多位數(shù)的法則建立多項式除以多項式的法則所以規(guī)則：1. 先把除式與被除式按降冪排列，如果除式與被除式中有缺項，缺項的位置補0。2. 用被除式的第一項除以除式的第一項，得商式的第一項再用這個商式去乘以除式，再

6、把積寫在被除式下面（同類項對齊），從被除式中減去這個積再把差當(dāng)作新的被除式，按照上面的方法繼續(xù)計算，直到得出余式為止。 例5 計算此題已把除式與被除式按降冪排列好了先用被除式的首項除以除式的首項得商式首項，再用乘以得把它寫在被除式下面同類項對齊作減法得（），再把作為新的被除式，用除以得再用乘以得寫在下面作減法得0除完。例6 在用多項式除以多項式法則之前，我們觀察被除式，發(fā)現(xiàn)被除式有缺項，如果忽視這個問題那么按法則去做，則同類項不能對齊。所以應(yīng)該在缺項的地方補0?，F(xiàn)在新的問題出來了，再用除以會得負指數(shù)，這是不行的，這時除法已經(jīng)結(jié)束，我們仿照多位數(shù)除以多位數(shù)把叫做余式。所以說明：如果多項式除以多項

7、式有除不盡的情況，那么寫成被除式= 除式×商式+余式余式的定義：當(dāng)在做多項式除以多項式的除法時，如果新的被除式的最高次項小于除式的最高次項，則這個新的被除式為余式。 例7 已知多項式能被整除求值。解： 多項式能被整除 余式    例8 已知能被整除，求的值。解： 能被整除       例9 已知求的值分析：設(shè)法把用含有的代數(shù)式表示 說明：在這里我們用除以，有些同學(xué)存在困惑怎能做除數(shù)，這里作除法是尋找兩個多項式之間的關(guān)系，并不是除0這一點，同學(xué)們要好好體會。 【模擬試題】（答題時間：30分鐘）1.

8、 計算 2. 計算 3. 計算4. 已知多項式能被整除且商式是，求的值。5. 如果能被整除，求的值。6. 已知，求7. 確定a的值使多項式能被除余數(shù)為1。8. 求除以的商式和余數(shù)9. 已知多項式可被和整除，求、的值及此式的因式。15 / 15實用精品文檔一、選擇：1. （ ）若多項式a除以多項式b得商式為q，餘式為r，則下列敘述何者恆正確？(a)ar是q的倍式(b)ar是b的因式(c)a是b的倍式(d)b是a的倍式答案a詳解：由題意得：abqr(b)arbq，即ar是b的倍式(c)當(dāng)r0時，a才是b的倍式(d)當(dāng)r0時，a是b的倍式，b是a的因式故選(a)2. （ ）若2xxmx6為x2的倍式

9、，則2xxmx6亦為下列何者的倍式？(a)x3 (b)x3 (c)2x3 (d)2x3答案c詳解：因為2xxmx6為x2的倍式所以x2能整除2xxmx6用x2去除2xxmx6得到：62(m10)0解得m72xxmx6(x2)(2x5x3)(x2)(x1)(2x3)故選(c)3. （ ）3x13xaxb是x2x3的倍式，則ab？(a)152 (b)44 (c)38 (d)2答案b詳解：用x2x3除3x13xaxb得：a230，b210所以a23，b21故ab44，選(b)4. （ ）若(x2)和(2x3)都是8xmx17xn的因式，試求n？(a)6 (b)6 (c)12 (d)12答案a詳解：(

10、x2)(2x3)2x27x6用2x27x6除8xmx17xn得：n3(m28)0又m26解得n6，故選(a)5. （ ）若(x2)和(2x3)都是8xmx17xn的因式，則m？(a)26 (b)26 (c)30 (d)30答案a詳解：(x2)(2x3)2x27x6用2x27x6除8xmx17xn得：7(m28)0解上式得：m26，故選(a)6. （ ）若不是2x1的倍式，則下列哪一個不可能是a的值？(a)3(b)1(c)1(d)3答案a詳解：用2x1去除得餘式為a3因為不是2x1的倍式所以餘式a3不可能為0即a值不可能為3故選(a)二、填充：1. 已知x2與4x1都是8x2x41x10的因式，

11、則因式分解8x2x41x10 。答案(x2)(4x1)(2x5)詳解：(x2)(4x1)4x29x2用4x29x2除8x2x41x10得商式為2x5所以8x2x41x10(x2)(4x1)(2x5)2. 如圖，翊寧做了一個多項式直式除法，發(fā)現(xiàn)多項式2x3是多項式4xax9xb的因式，其中部分係數(shù)以a、b、c、d、e、f表示，則：(1)a ，b ，c ，d ，e ，f 。(2)4xax9xb的另一個因式為 。答案(1)8，9，1，2，3，0(2)2xx3詳解：(1)由直式除法可知：2c2，c1e3c3d20，d2f0(整除，餘式為0)b90，b9(2)2x2cx32x2x3是4xax9xb的因式

12、3. 若x3xm為5x9xnx12的因式，則m，n。答案2，28詳解：用x3xm除5x9xnx12得：(n5m)180，126m0解得：m2，n284. 已知xx1為xk的因式，則：(1)k 。(2)因式分解xk 。答案(1)1 (2)(xx1)(x1)詳解：(1)用xx1除xk得：k10，故k1(2) 用xx1除xk得到的商式為x1所以xkx1(x1)( xx1)5. 若x1與x2皆為x6xkx6的因式，則：(1)k 。(2)因式分解x6xkx6 。答案(1)11 (2)(x1)(x2)(x3)詳解：(1)(x1)(x2)x23x2用x23x2除x6xkx6得：(k2)90解得：k11(2)

13、用x23x2除x6xkx6得商式為：x3所以x6xkx6(x1)(x2)(x3)6. 已知xxx1有因式x1，則因式分解xxx1 。答案(x1)(x1)詳解：用x0x1(缺項補0)除xxx1得商式為：x1故xxx1(x1)(x1)7. 若xmxnx10為x2與x5的倍式，則：(1)(m , n) 。(2)xmxnx10的因式分解為 。答案(1)(2 , 13)(2)(x2)(x5)(x1)詳解：(1)(x2)(x5)x23x10用x23x10除xmxnx10得：(n10)3(m3)01010(m3)0解得：m2，n13故(m , n)(2 , 13)(2) 用x23x10除x2x13x10得商

14、式為x1所以x2x13x10(x23x10)( x1)(x2)(x5)(x1)8. 已知3x11x27x14是x3x7的倍式，則因式分解3x11x27x14 。答案(x3x7)(3x2)詳解：用x3x7除3x11x27x14得商式為：3x2即3x11x27x14)( x3x7) (3x29. 設(shè)2x1是4xmx6的因式，則：(1)m 。(2)x2是否為4xmx6的因式？答： 。(3)因式分解4xmx6 。答案(1)13 (2)是(3)(2x1)(x2)(2x3)詳解：(1)用2x1除4x0x2mx6(缺項補0)得：6(m1)0解得：m13(2)用x2除4x0x213x6(缺項補0)得商式為4x

15、28x3，餘式為0，整除故)x2是4xmx6的因式(3)由(2)知：4x13x6(x2)( 4x28x3)用2x1除4x28x3得商式為2x3，餘式為0即4x28x3(2x1)( 2x3)故4x13x6(2x1)(x2)(2x3)10. 若xx1是多項式2x5xax3的因式，則a 。答案1詳解：用xx1除2x5xax3得(a2)30故a111. 設(shè)x1及2x3都是6xax13xb的因式，則2ab 。答案2詳解：(x1)(2x3)2x2x3用2x2x3除6xax13xb得：4(a3)0，b(a3)0解得：a5，b12故2ab2×5(12)212. 若多項式(x2)(x2x4x8)有因式

16、x4，則此多項式可因式分解為 答案(x2)(x4)(x2)用x0x4(缺項補0)除x2x4x8得商式為：x2所以x2x4x8(x4)(x2)故(x2)(x2x4x8(x2)(x4)(x2)13. 若xax3xb為x2x1的倍式，則：(1)a。 (2)b。答案(1)0 (2)2詳解：用x2x1除xax3xb得：42(a2)0，b(a2)0解得：a0，b214. 欲使x3x1為x4的倍式，則必須在x3x1中加上常數(shù)k，則k 。答案5詳解：用x4除x3x1k得餘式為：k5因為x3x1為x4的倍式所以k50故k5三、計算：1. 若x2xb為3x2xax12的因式，則：(1)a、b的值分別為何？(2)因

17、式分解3x2xax12？答案(1)a1，b3 (2)(x2x3)(3x4)詳解：(1)因為x2xb為3x2xax12的因式所以x2xb可以整除3x2xax12即(a3b)(8)0a3b8(1)124b0b3(2)將(2)式代入(1)式中，解出a1(2)由上面的除法可知(3x2xax12)÷(x2xb)3x4也就是說3x2xax12可以因式分解為(x2x3)(3x4) 2. 若2x3xb是2x7xax2的因式，則：(1)a、b之值分別為何？(2)承上題，請因式分解2x7xax2。答案(1)a5，b1(2)(2x3x1)(x2)詳解：(1)2x3xb是2x7xax2的因式2x3xb能整除2x7xax2則(2)2x7xax2(2x3xb)(x2)又a5，b12x7x5x2(2x3x1)(x2)3. 已知6x11x19x6是x3與2x1的倍式，則因式分解6x11x19x6？答案(x3)(2x1)(3x2)詳解：因為(x3)(2x1)2x5x3而且6x11x19x6是x3與2x1的倍式所以6x11x19