2021年高考數(shù)學二輪復(fù)習專題18等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題含解析

1、專題18等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題【自主熱身，歸納提煉】1、設(shè)J是等差數(shù)列氐的前n項和，a：4-a>=2, S;+S,=l,則a：°=【答案】8【解析】思路分析列方程組求出a：和d,則a“ = a,+9d.ai0=ai + 9d=8 設(shè)公差為d,則、a】 + d+bi+3d=2.解得F_ 1'所以2& + d+4%+6d=l,d=l.82、已知等差數(shù)列%的前n項和為乩若S產(chǎn)30, a： = l,則S9的值為【答案】一 915X14S = = 15a- +d=30, I a-= 5,9X8解法1（數(shù)列的基本量法）由題意得J J 2解得 戶1 所以 滬如+寸片-

2、45=s： + 6d=l,+ 36=-9.解法2（性質(zhì)法）因為S；三二30,所以店5：吐）=30,包+ %=4,即2直=4,空二2,又因為玄二1,所以 八士9 （ a： + a：）公差 d=l, a? = a-2d=-l, S=9a=-9.乙解后反思解法1利用等差數(shù)列基本量：解法2利用等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列項數(shù)與項數(shù)的關(guān)系在等差數(shù) 列a中，若m, n, p, qN*且卄n=p+q,貝lj込+&"=色+知等差數(shù)列任兩項的關(guān)系在等差數(shù)列/ 中，若皿"EN*且其公差為d,則=%+%”）/3、在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列心中，若比=1, as=as+6a：,則a,的值為.【答案

3、】3【解析】由 as = ae+6ai W a：q6 = a：q + 6a：q 則有 q' q一6 = 0,所以 q= = 3（舍負），又 q>0,所以 q=p5, 則 3s = a：q=5 解后反思等差、等比數(shù)列基本量的汁算是髙考常考題型，熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和 公式是解題的關(guān)鍵，值得注意的是等比數(shù)列的通項公式的推廣“比=旳小>111）”的應(yīng)用.4、已知等比數(shù)列aj的前n項和為Sn,且g= 一警，ata：=y,則as的值為9【答案】【解析】思路分析兩個已知等式均可由&和公比q表示.5、記等差數(shù)列UJ的前n項和為乩若加=10, S= ,=110,

4、則m的值為【答案】6【解析】由 S：a 廠卜+嚴 * (2m1) = a：+ (ml)d (2m1) = (2ml)ax 得，110=10(2ml),解得6、已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列%的前n項和為弘若4創(chuàng)心,6a5成等差數(shù)列，且心=3負則S,=【答案】尋【解析】設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列6的公比為q,則q>0,且Q0,由4“心61成等差數(shù)列，得2去=4ai+6as，即 2a3 = 4a5q+6ajq:,解得 q=* 又由 a,=3a；,解得 a4=|.所以 Ss=a： + a：+as=#+£+吉=尋7. 知©是等比數(shù)列，S“是英前n項和.若q二2,焉二4S6,則偽的值

5、為.【答案】2或6【解析】由當宀左邊42 = 24,右邊二皿“顯然不成立，所以0H1，則有1-扌】=4（1-），即（1一聲）（，-3） = 0,所以護=3或§ = 一1,所以q二冬/二6或2 所以【易錯警示】若用到等比數(shù)列的前"項公式，要討論公比是否為1：方程兩邊，若公因數(shù)不為0,可以同時 約去，若不確左是否為0,要移項因式分解，轉(zhuǎn)化成乘積為0的形式再求解，否則會漏解.8、九章算術(shù)中的''竹九節(jié)”問題現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上而4節(jié)的容積共3升，下而3節(jié)的容積共4升，則該竹子最上而一節(jié)的容積為升.13 【答案】莎4【解析】設(shè)該等差數(shù)

6、列為打，則有5； = 3,令+念+ / = 4, E!卩爰=§,4X32d=3、則有qa： + 7£=§,!&i+6d=3,at + 7</=#,13 解得F9、等差數(shù)列G的前n項和為0,且ar-Sn=n：-16n+15(n2, nEN*),若對任意，總有SWSz則k的值是.【答案】7解法1(特殊值法)在式子"S-=n-16n+ 15 (n5=2, nf DT)"中分別令n=2, 3得魚=13, a=ll.又因為儀)是等差數(shù)列，所以公差d=2, &=13+ (-1)X (-2) = 15-20解得 於7.5,故前7項和 最

7、大，所以=7.解法2 (公式法)在等差數(shù)列心中，設(shè)公差為d,因為式子"生- Ss=a：+ (nl)d- a：n十卩篤衛(wèi) =n: -16n+15(n$：2?的二次項系數(shù)為所臥一家1：即公差戸一2,令n=2得；&.= 13,所以前n項和£=13卄R"以(-2)= 14n-n:=49 -故前7項和最犬，所以=7.10、若等比數(shù)列/的各項均為正數(shù)，且血一戲=2,則茨的最小值為【答案】8Q(/-l)=2 q2 >0©>1)r-i42q° t 1 > 0所=百,即cf =t + 9所以r>2j 2.禺<1J1，設(shè)=8,

8、當且僅當t = .即qW時取到等號.【解析】因為弟一a,=2,所以，即【問題探究，變式訓(xùn)練】 例1、已知公差為d的等差數(shù)列的前項和為乩瑤=3,則三的值為17【答案】百az 別+2” 9ai 9 【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為力 則由|=3得弩號=3,所以d=4a,所以蓋"+ 2 1731 17V 1 s【變式1】設(shè)»是等差數(shù)列©的前門項和，若則護二3 m【解析】S. 1由y = ->得56=3S3,由弘&_弘S 3成等差數(shù)列， 6故,二5,12&,& 二 3$二 3,解得 TT = -晟2【變式2】V1V設(shè)工是等比數(shù)列"的前力項

9、和，若蘭二丄，則乂二S|(> 3S'【解析】Ss 1由=7>得S】u=3S由S,弘- S"仏一 510, £。-弘成等差數(shù)列,九 3115 *所以，S15 = 755, 5 = 15,故尋二5 20【變式3】 設(shè)二是等比數(shù)列“”的前c項和，若®+2£仏=0,則孕二【解析】由 s+20=。，得/=-，則字二2 dio【關(guān)聯(lián)1】設(shè)數(shù)列®的前n項和沁滿足"2十2,則三= 【解析】4思路分析求出a：及比“與血間的遞推關(guān)系.由工=2/2和£h=2亦l(xiāng)2,兩式相減得站心一2比=0,即a=2芯又比=$ = 2,所以數(shù)列

10、UJ是首項為2、公比q=2的等比數(shù)列，所以-=4.<36【關(guān)聯(lián)2】,是等差數(shù)列&的前n項和，若言=；，貝吐=3 【答案】I丄-I Sn/? I 1-2a： I sixin I 1»2 a,2.(舫法1由ST喬巨可得'2n a： +石=齊二=丹'MF時，所以a：=2ai- If2解法2Sa 力+1 萬+刀 Szn 4刀+2 An +2 刀'円 9X33觀察發(fā)現(xiàn)可令 Sn=n+n,則 aK=SnSn i=n：+n （/jl）s（刀一1） =2m 所以亍=二 5=g【關(guān)聯(lián)3】已知等差數(shù)列&和仏的前衛(wèi)項的和分別是兒和弘 且生使得乞為整數(shù)的正整B“

11、 + 3 bn數(shù)n的個數(shù)為.4加1_（2力一1）冷_5><2九一1）十51_5?7十23血_ L8【解析】広5-1以（21）+<所以，石-'一荷，要使得乞為整數(shù)，則為18的因數(shù)，腫1, 2, 5, 8, 17,bn所以，使得乞為整數(shù)的正整數(shù)力共有5個.bn例1、已知數(shù)列%是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項和為S，且走a3 = 15, $ = 16.（1）求數(shù)列G，的通項公式.（2）設(shè)數(shù)列切滿足bi b小一乩=a” a小 求數(shù)列b,的通項公式； 是否存在正整數(shù)血,使得厶，氐b成等差數(shù)列？若存在，求出皿m的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)數(shù)列%的公差為也則Q0.比

12、 + /比+2" =15,由 a： a5=15, 3=16,得（，"4業(yè)+6</= 16,解得比=1,d=2或£二（舍去）所以心宀（4分）(2)因為 h=a,= l,1 a., a., 112”一 1 2n+l 21 2n+l)'"即趙（1一,1( 1H=2”_3累加得"一 12/2 1,（9 分）所以babi=1nl _3n22n 12n 1乂 Ik 1也符合上式,故b=3力一22/21*（11 分）假設(shè)存在正整數(shù)勵忒井汕使得茲L瓦成等差數(shù)列，貝仏+血二2毎3戸一 22n_ 114q231所烽卷=訃去；即*H+去,化簡得+好十禽

13、3分）當jj+1=3,即尸2時Q2（舍去）;當卄1=9,即_n=8R寸丿滬莎符合題意.所以存在正整數(shù)廠3, n=8?使得無b*瓦成等差;數(shù)列.（L6分）解后反思對于研究與整數(shù)有關(guān)的問題，一般地，可利用整數(shù)性或通過求出某個變量的限制范闈，利用整數(shù) 的性質(zhì)進行一一地驗證.199 n【變式1】設(shè)&是公差不為零的等差數(shù)列，3為其前”項和，滿足還一'匸忑一広，$二7（1）求數(shù)列/的通項公式及前力項和弘（2）試求所有的正整如使得豈為數(shù)列&中的項【解析】 （1）設(shè)公差為也則石-石三公-Q0 得dg“aj=dgaj , 因為d H 0,所以q+“3=0，又由，二7得m二1,解得a】=-

14、5, d = 2,所以a =2n-l t Sn = 6n2-6n .a山z （2熄一 7X2加-5）（2）%2m -1,10*z_（r_6Xf_4）斗 24 _令 2jh-1=z ,貝ij d心tt因為r是奇數(shù)，所以r可取的值為±1, 當t = b山二1時，如也= 15,是數(shù)列仗中的項:"曲+3當上二一1時，功二0 （舍）,所以，滿足條件的正整數(shù)加二1.【變式2】已知數(shù)列韻的前力項和為弘 數(shù)列血，滿足（卄1仏（卄2） 6=3加 三仝 nzn其中用N*.（1）若數(shù)列韻是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列胡的通項公式：（2）若存在實數(shù)久，使得對一切/1EN*.有bU求證數(shù)列是等差數(shù)列.

15、思路分析若數(shù)列/是公差為/的等差數(shù)列，則/仝=甲日,對寧小一色=寧孑,所以bz n 乙Zn 厶=*.因此要先證ba=ca= A是常數(shù).【解析】 若數(shù)列&是公差為2的等差數(shù)列，貝強=與蘭.（2分）n Z所以（卄2） q=払：比；"比=卄2,得6=1. 4分）s戲（2）由（z?+l）得"（刀+1） bn=nan，S”n從而（力+1）（刀+2）乩、= （n+l）a«i：兩式相減，得（力+1）（刀+2）亦,一力（力+1） bn= G+ 1）ah-3（力+1）亦“即（刀+2）乩，一也=玄十一虱（*） （6分）又（”+2） 6 S+1）人=土產(chǎn)，所以 2（門+2）一2

16、（力+1）人=（n+2） bnx.nb整理，得6=£（人+2mJ. （9分）因為bW A Wc.,對一切恒成立，所以bW人Wc.,=*（Z>"+5“）£人對一切nWN*恒成立，得 Ca人,且I 1= 2 人.而bW人，bn+W人，所以必有ba= bail人.綜上所述，bn=Cn=入對一切nGN*te成立.（12分）此時，由（*）式，得曰十一如尸2久對一切nGN*恒成立.（14分）對（刀+l）b>=s,= 取n=l,得比一&=2久n綜上所述，一込=2人對一切恒成立.所以數(shù)列G,是公差為2人的等差數(shù)列.（16分）思想根源若數(shù)列是公差為/的等差數(shù)列，

17、則勺是公差為的等差數(shù)列.nZ【關(guān)聯(lián)1已知數(shù)列的前衛(wèi)項和為弘a3,且對任意的正整數(shù)m都有$“=人$+3，其中常數(shù)人>0 設(shè) &(neN*)(1)若久=3,求數(shù)列人的通項公式： 若人H1且久H3,設(shè)6=少+乂3"用10,證明數(shù)列Q是等比數(shù)列;(3) 若對任意的正整數(shù)m都有bW3,求實數(shù)4的取值范囤.【解析】因為$九=人,+ 3” =所以當心2時.,=人工-+33從而a? 1 =人色+2 3”，力22, nN*又在久,+3土中，令n=l,可得龍=久気+2><3',滿足上式，所以 a.=人爲+2 :T nGN* (2 分)(1) 當人=3 時，a,u = 3

18、a,+ 2 3 nEN從而罰4=守+彳，即亦f=彳, 又氏=1,所以數(shù)列人是首項為1,公差為|的等差數(shù)列，所以=¥ (4分)(2) 當久>0且久工3且久工1時，2 26=&+X3”=人 ,+2><3八+X3”2=久么-,+丁二X3"'(久 一3 + 3)2=人(場- ,+ X 3" ') = /I Ca-1, (7 分)63 久一1乂 ©=3_丁二牙=一才0,3Q7）宀 2，人A = 5.所以<4是首項為（8分） /I 1 在(2)中，若久=1,則6=0也可使少有意義，所以當久H3時，6=從而由(1)和(2

19、)可知:二 ，公比為4的等比數(shù)列,(9分)9久=3時，乙=筈2顯然不滿足條件，故3. （10分）14久3,斗40, b«b；“, nWN，b£l, +8）,不符合，舍去.（11 分）若0<4<1,匚弋>0,2二0, bb“ mg且人>0所以只需b=lW3即可，顯然成立故0Z 符合條件：（12分）若4=b人=1,滿足條件.故久=山符合條件：（13分）若1人3,啟<0,因為氏=10故人丘1，2要使EW3恒成立，只需一即可.7所以1 4（15分）綜上所述，實數(shù)久的取值范困是（0, | . （16分）【關(guān)聯(lián)2】已知數(shù)列%的各項均為正數(shù),記數(shù)列aj的前n

20、項和為S“數(shù)列£的前n項和為T”且3幾 =U+2Sh, nEN*.（1）求比的值: （2）求數(shù)列韻的通項公式: 若k, fGN且S” SlS“ S-S,成等比數(shù)列，求£和上的值.思路分析第問，由于式子“3T尸S：+2Sn”涉及數(shù)列%, £的前n項和，常用相鄰項作差法處理，將 其轉(zhuǎn)化為數(shù)列UJ的遞推式，進而構(gòu)造等比數(shù)列求解：第（3）問，由題意，兩個未知量k和t, 一個等式， 屬于不左方程問題，通常有以下思考方法因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估計法、奇偶性分析法，本 題采用奇偶性分析法求解.規(guī)范解答（1）由 3T=S：+2S,得 3a：=a：+2a,即 af=0.因

21、為 a：0,所以 a： = l. （2 分）（2）因為 3L=S；+2S=,所以 3Ta+1=S；（1+2Sntl,，得 3a；n=S；» 1S；+2ann,即 3atn= (Sn+i+Sj (ShlSJ+2亦“艮卩 3a；(Sni-i+Sn)ann+2anu, 因為 anll>0,所以 3&311=5(1+8+2,(5 分)聽以 3an ： = Sn ： 4 Sn 14 21，得 3an 2 3務(wù)小=*2+3=7,即 s=2an 11,所以當nM2時和=2. (8分)又由 3Tz=S：+2S：,得 3(1+&) = (1+a j+2(1+比),即 a=-2ac

22、=0.因為比>0,所以a：=2,所以-=2,a：所以對nWN都有=2成立，an所以數(shù)列&的通項公式為希=2小，neN*. (10分)(3)由(2)可知 9=2" 1.因為$,SlS*成等比數(shù)列，所以(Sl S=SKSl S),即(2-2)=2-2 (12 分)所以 2'= (2于一3 2*+4,即 2r-s= (2>_1)=-3 2廠+1(*).由于忑一$工0,所以&H1,即心2.當 &=2 時，2=8,得 t=3. (14 分)當 妙3時，由(*),得(2'尸一 32廠+1為奇數(shù)，所以t-2=0,即t=2,代入(*)得32小=0,

23、即23,此時&無正整數(shù)解.綜上，4=2, t=3. (16 分)解后反思數(shù)列中不泄方程的常見解題策略有因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估汁法、奇偶性分析法， 這些策略有一個共同的特征，就是對等式兩邊適當?shù)淖冃芜x擇等式一邊的特征進行解題，如整除的性質(zhì)、 范囤上界或下界、因式分解的形式、是否為有理數(shù)、奇偶性等.【關(guān)聯(lián)3】在數(shù)列山中,已知a：=2, a=3去+2n 1.(1)求證數(shù)列費+£為等比數(shù)列： 記乙=込+(1小小且數(shù)列人的前n項和為7；,若7；為數(shù)列加中的最小項，求久的取值范用.思路分析(1)證明等比數(shù)列，一般從等比數(shù)列的徒義出發(fā)，首先要說明它的任意一項均不為0,且相鄰兩

24、項的比值為非零的常數(shù). 由第問求出數(shù)列捺的通項公式，由此得到仏的通項公式，通過分組求和后得到它的前刀項和.注 意到A為數(shù)列力中的最小項，因此，將它轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式恒成立問題，而要研究數(shù)列中的不等式怛成 立問題，研究數(shù)列的單調(diào)性是必然的手段，通過研究數(shù)列的單調(diào)性后來得到變量久的取值范圉.【解析】：（1）因為&-：=3&十初一 1,所以.&：十卄1=（3仏十H ,.a.-： + + 1.故T=3,又魚=2,則.+ 1=3,冬十r故仏+加是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列.（4分）（2）由知冬+jj=3J所以乙=3=亦人（6分）故 兀二3：+3；+ + A （l + 2+3

25、+ - + n） 乂二專（3= 1） 一宀円1'人.（8 分）因為乂為數(shù)列憶中的最小項，貝I對PrE”，有;一1）一一>39-6 A恒成立，即 3""' 81 （n 4-jj12）人對VnE HT*恒成立.（10 分）op?當尸1時'由詐h得人孑三；D當n=2時，由T3T、得人29： （12分）當 ”24 時，/f+c12=（力+4）（刀一3） >0 恒成立，3如一81所以人冬對V刀$4恒成立n +刀12令 f（Q）=，n十門一 12nil ,（、3小 2/一26+162 力+1八葉 +亠則 f（n+l） f（n）二一>0 恒成上3

26、 小一si故f（n） =；+邁在時單調(diào)遞增，O1所以 4A4） =y. （15 分）綜上，9W /ly.解后反思證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用左義法與等比中項法，英他方法只用于選擇、填空題中的判立；若 證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.而研究數(shù)列中的取值范用問題， 一般都是通過研究數(shù)列的單調(diào)性來進行求解.【關(guān)聯(lián)4】已知等差數(shù)列&的公差d不為o,且必，弘，必，-a：<<-<<-）成等比數(shù)列， 公比為q（1）若厶=1, W仏=8,求三的值;a（2）當專為何值時，數(shù)列為等比數(shù)列？ 若數(shù)列歸為等比數(shù)列，且對于任意nGN不等式去+必>2匕恒

27、成立，求站的取值范圍.思路分析（1）通過等比中項，得到比和d的方程，從而斗岀三的值；Q 先由數(shù)列UJ為等比數(shù)列，得岀疋=&蟲，再結(jié)合甜，aZ，也成等比數(shù)列，得方程刊+% 1）司G+ （厶一1）/ = &+（滄一1）護 化簡得號=1,再證明當三=1時，數(shù)列UJ為等比數(shù)列，從而確左三的值為 aaa1： 由（2）中結(jié)論得出 K3H,代入1+也>2厶并分離變量得o<¥<«=#+盞予，再證明E無限小，從而確灑+齊上有下界豈 得到0<丄，從而確泄凸的取值范用是2, +8）qZ Zai qza： Z【解析】（1）由已知可得a：,頭,炭成等比數(shù)列，所以