理論聲學(xué)期末

1、理論聲學(xué)期末試題吳樵 2013180010070251、擴(kuò)張式管道消聲器，如右圖所示，推導(dǎo)其一維近似下的聲強(qiáng)透射系數(shù)（列出推導(dǎo)過(guò)程）。1、 析：由聲阻抗連續(xù)性可知，x=D的左右兩側(cè)聲阻抗相同，為：ZD=0cS1由阻抗轉(zhuǎn)移公式可得，x=0處聲阻抗：Z0=0cS2ZDcos(kD)-j0cS2sin(kD)-jZDsin(kD)+0cS2cos(kD)從而可得X=0處聲壓反射系數(shù)為：Rp=Z0-0cS1Z0+0cS1故有聲強(qiáng)透射系數(shù)為：TI=1-Rp2=44cos2(kD)+S1S2+S2S12sin2(kD)2、傳輸線式揚(yáng)聲器箱，揚(yáng)聲器為動(dòng)圈式揚(yáng)聲器；箱體是一根截面積與揚(yáng)聲器輻射面S相同的長(zhǎng)管，

2、長(zhǎng)度為L(zhǎng)，如圖所示。設(shè)管徑較小，而管長(zhǎng)較長(zhǎng)。畫(huà)出電力聲類比電路，分析其響應(yīng)。（自行定義揚(yáng)聲器電聲參數(shù)）2、 析：類比線路圖為：.最左面為電學(xué)器件部分，中間為力學(xué)器件部份，最后面為聲學(xué)器件部分。其中，Yrf=1/Zrf，Yrc=1/Zrc。根據(jù)阻抗轉(zhuǎn)移公式：3、有一圓柱形房間，高為5m、半徑3m，如室壁都是剛性的，寫(xiě)出房間簡(jiǎn)正波的表達(dá)形式，給出前5階駐波的簡(jiǎn)正頻率和模式？如在墻上和頂棚開(kāi)5個(gè)2X2m2的方形窗口，室內(nèi)其它部分鋪設(shè)吸聲系數(shù)為0.2（擴(kuò)散場(chǎng)）的吸聲材料，求房間混響時(shí)間。3、析：高h(yuǎn)=5m，半徑a=3m。以圓柱體房間軸線為z軸，底面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系。穩(wěn)態(tài)時(shí)，波動(dòng)方程：， S

3、：邊界利用分離變量法：設(shè)P=R(,)Z(z)則：取其中：結(jié)合邊界條件得： (3-1) (3-2)由(3-2)得：再看(3-1)式：設(shè)可得：從而有：,n=0,1,2,3.于是可得V關(guān)于的n階Bessel方程：解之得：帶入邊界條件得：(3-3)(3-3)式是確定極坐標(biāo)方向波數(shù)本征值k的本征方程。記為(3-3)的解，m=1,2,3.。從而有：所以模式為：簡(jiǎn)正波數(shù)：簡(jiǎn)正頻率：找到最小的前5個(gè)即可其中：窗口部分吸聲系數(shù)為1帶入計(jì)算得到：4、設(shè)有一縱波從各向同性固體中以入射角入射于無(wú)限液體中，分析反射、透射波特性并給出各反射、透射系數(shù)。4、析：固體中入射P波位移：UlI=klIklAlejklI·

4、;x固體中反射波位移：P波UlR=klRklBlejklR·xSV波UsR=-z×ksRksBsejksR·x液體中透射波聲壓：PT=Bl'ejk·x其中klI=klcosI,sinI,I:P波入射角；klR=kl-cosR,sinR，R：P波反射角；ksR=ks-cosR,sinR，R：SV波反射角；k=kcosT,sinT，T：液體中P波透射角。kl為固體中縱波波數(shù)；ks為固體中SV波波數(shù)；k為液體中波數(shù)。在x=0處的邊界條件為：ux=ux', xx=-p', xy=0z方向應(yīng)力條件自動(dòng)滿足，可忽略。將液體中的聲壓條件轉(zhuǎn)換為位

5、移條件：PT=Bl'ejk·xVT=1j0PT=k0PTUT=1-jVT=jk02PT由x=0處，ux=ux'：cosIAlejklsinIy-cosRBlejklsinRy+sinRBsejkssinRy=jkcosT02Bl'ejksinTy (4-1)得到角度關(guān)系：klsinI=klsinR=kssinR=ksinTR=I, sinRcs=sinTc=sinIcl其中：cl是固體中P波聲速；cs是固體中SV波聲速；c是液體中聲速。(4-1)式化簡(jiǎn)為：cosIAl-cosRBl+sinRBs= jkcosT02Bl' (4-2)X=0處， xx=-

6、p', xy=0各向同性固體中有：xx=+2uxx+uyyxy=uxy+uyx代入邊界條件得：+2jcos2IAlkl+cos2RBlkl-sinRcosRBsks+jsin2IAlkl+sin2RBlkl+sinRcosRBsks=-Bl' (4-3)cosIsinIAlkl-cosRsinRBlkl+sin2RBsks+sinIcosIAlkl-sinRcosRBlkl-cos2RBsks=0 (4-4)下面為了表示位移反射系數(shù)、透射系數(shù)，需要對(duì)液體中的位移化簡(jiǎn)一下：UT= jk02P T= jk02Bl'ejk·xkkBl"ejk·x

7、其中：Bl"= jk02Bl'是液體中位移的復(fù)數(shù)幅值。記：Rll=BlAl, Rsl=BsAl, Tll=Bl"Al (4-5)其中：Rll為固體中P波位移反射系數(shù)；Rsl為固體中SV波位移反射系數(shù)；Tll為液體中P波位移透射系數(shù)。從而(4-2)變?yōu)椋篶osIAl-cosRBl+sinRBs=cosTBl" (4-6)將(4-5)帶入(4-3)、(4-4)、(4-6)得：化簡(jiǎn)上式并寫(xiě)成矩陣形式：二、分析討論題1、分析上界面自由、下界面剛性的層狀聲波導(dǎo)中的聲波傳播模式，討論聲傳播的相速度、群速度和頻散關(guān)系。解答：設(shè)在兩個(gè)界面之間0<z<a之間是流

8、體介質(zhì)，在與z垂直的方向延伸至無(wú)窮，則波導(dǎo)中的穩(wěn)態(tài)聲場(chǎng)應(yīng)滿足方程：2P+k02P=0其中k0=c，在剛性界面z=0處滿足：Pn|z=0=0在自由界面處滿足：P|z=a=0運(yùn)用分離變量法，設(shè)P=U*Z(z)，U是x、y平面內(nèi)的函數(shù)，在柱坐標(biāo)系中的表示為：U(,)，它滿足：22U+k2U=0Z(z)滿足的方程和邊界條件為：d2Zdz2+kz2Z=0，dZdz|z=0=0，Z|z=a=0其中kz和k滿足：kz2+k2=k02U滿足的方程與無(wú)限大膜的運(yùn)動(dòng)方程是一樣的，滿足該方程的解有兩類，一類是平行波，一類是圓形波。以平行波為例，U的平行波解為：U=expik(xcos+ysin)Z滿足的方程與一端固

9、定一端自由的棒的振動(dòng)方程一致，為了使Z(z)有非零解，kz只能取一系列確定的值：kzm=ma對(duì)應(yīng)的Z(z)為：Zm=cos(kzmz+2)對(duì)于給定的頻率，每一個(gè)kzm確定一個(gè)k值，為km=(c)2-kzm2則該層狀聲波導(dǎo)的傳播模式為：Pm=expikm(xcos+ysin)cos(kzmz+2)聲波導(dǎo)中的一般穩(wěn)態(tài)波動(dòng)可以表示為：P=m=0AmPm每個(gè)模式中的kz取一個(gè)確定的值kzm，則在傳播方向的波數(shù)km=(c)2-kzm2=(c)2-(ma)2上式即為頻散關(guān)系。每一個(gè)傳播模式的相位為kmx-t，令相位保持常數(shù)，則有kmx-t=0，相速度為：cp=xt=km=(c)2-(ma)2=c1-(c)

10、2群速度為波包的傳播速度，cg=k，由頻散關(guān)系可得：kmdkm=dc2可得：cg=k=c1-(c)22、房間聲學(xué)中，可以根據(jù)需要，采用虛源（射線）方法或模態(tài)（簡(jiǎn)正方式）方法討論問(wèn)題。試討論兩種方法的等同性。解答：房間的格林函數(shù)滿足的方程為：2G+k2G=-（r-r'）為了滿足邊界條件，需要在房間以外布置聲源。首先在r'關(guān)于6個(gè)邊界面的對(duì)稱點(diǎn)布置新的相同的虛源，如此不斷重復(fù)，得到一個(gè)三維的虛源點(diǎn)陣。實(shí)際聲源和所有虛源的三個(gè)坐標(biāo)分別為：xm1=2m1l1x'，ym2=2m2l2y'，zm3=2m3l3z'。把實(shí)際聲源和所有虛源輻射的聲場(chǎng)疊加，就得到房間的格林

11、函數(shù)：G=m1=-m2=-m3=-exp(ikRm1m2m3±)4Rm1m2m3±式中Rm1m2m3±=(x-xm1)2+y-ym22+(z-zm3)2。上式中的每一項(xiàng)代表一條射線，代表著實(shí)際聲源或者一個(gè)虛源的輻射聲場(chǎng)，為房間受迫振動(dòng)的射線解。下面來(lái)推導(dǎo)房間聲學(xué)的模式解：上式中的格林函數(shù)可以表示為：123-expikxx-xm1+kyy-ym2+kz(z-zm3)kx2+ky2+kz2-2c2dkxdkydkz代入射線解中，交換積分和求和的順序，其中對(duì)m1的求和為：m1=-expikxx-2m1l1-x'+expikxx-2m1l1+x'=2exp

12、(ikxx)cos(kxx)m1=-exp(-2im1kxl1)同樣，對(duì)m2和m3部分求和，一并代入射線解中，得到：n1,n2,n3=0expi(n1xl1+n2yl2+n3zl3)cosn1x'l1cosn2y'l2cosn3z'l3Vn1l12+n2l22+n3l32-2c2上式可以表示為：Gr,r'=n1,n2,n3=0Pn1,n2,n3(r)Pn1,n2,n3(r')n1,n2,n32-2上式將點(diǎn)源激發(fā)的聲場(chǎng)表示為各個(gè)模式之和，共振頻率和聲源頻率接近的模式的貢獻(xiàn)比較大。這里我們從射線解出發(fā)，推導(dǎo)出了房間受迫振動(dòng)的模式解，由此可見(jiàn)，射線解與模式解在

13、結(jié)果上是等同的。實(shí)際上，射線解中的直達(dá)波和各個(gè)多次反射波都分解在了各個(gè)模式中，而模式解中各個(gè)模式的貢獻(xiàn)也都分解在了各個(gè)射線中。3、用速度勢(shì)函數(shù)方法，根據(jù)邊界條件，推導(dǎo)討論各項(xiàng)同性固體的穩(wěn)態(tài)表面波的傳播速度和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)特性；若同時(shí)有兩個(gè)反向傳播的穩(wěn)態(tài)表面波存在，二者頻率、幅度均一致，分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)特性。解答：設(shè)聲表面波的解為：=ae-xej(t-ksz)=y=ae-xej(t-ksz)將上式代入聲波方程2t2=(+2)22t2=2可得到：2=ks2-kL22=ks2-kT2這里ks=cs，cs為表面波聲速。令g=cscT2q=cTcL2=+2=1-22-2用g、q表示、：=cs1-qg=cs1-g由

14、固體表面自由可得：Txx（x=0）=0Txz（x=0）=0將上述邊界條件用勢(shì)函數(shù)來(lái)表示：2t2-2cT22xz+2x2(x=0)=02x2-2z2+22xz(x=0)=0代入勢(shì)函數(shù)，整理得：21-2(cTcs)2a+2jcT2csa=02csa-j2+2cs2a=0若該方程有非零解，則行列式應(yīng)該等于0，即21-2(cTcs)22jcT2cs2cs-j2+2cs2=0上式可化為：g3-8g2+83-2qg+16q-1=0考慮到大部分固體的泊松比小于0.5，則參數(shù)q在0.50的范圍內(nèi)，因此可以算出上式有3個(gè)實(shí)根，兩個(gè)實(shí)根大于1，一個(gè)實(shí)根小于1，顯然，小于1的實(shí)根是我們要求的解。則表面波聲速cs=g

15、cT聲表面波可以看作為表面縱波與表面橫波的合成。聲表面波的質(zhì)點(diǎn)位移為：=1jx-z=1jz+x化簡(jiǎn)整理得到：=ae-x-22cs22+2cs2ej(t-ksz+2)=acse-x-22+2cs2ej(t-ksz)由上式可以看出，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程滿足：2A2+2B2=1其中A=ae-x-22cs22+2cs2, B=acse-x-22+2cs2。因此質(zhì)點(diǎn)沿著固體表面做橢圓偏振運(yùn)動(dòng)。若同時(shí)有兩個(gè)反向傳播的穩(wěn)態(tài)表面波存在，二者頻率、幅度均一致，那么質(zhì)點(diǎn)應(yīng)該做垂直振動(dòng)。4、從理想氣體的基本方程出發(fā)，推導(dǎo)一維非線性聲傳播的黎曼解；分析起始為正弦波的波形傳播畸變過(guò)程和斷裂距離。解答：設(shè)非線性一維行波的各個(gè)物理量都隨空間和時(shí)間變化，即：p=px,t, v=vx,t, =x,t對(duì)于給定的v，有確定的與之對(duì)應(yīng)，也就確定的p，即p，可看做v的函數(shù)，p=pv, =v將上式代入一維的連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程，可得：ddvvt=-d(v)dvvxvt=-(c2ddv+v)vx上兩式中，消去vt和vx，得到vddv+=(c2ddv+v)ddv，展開(kāi)后得到：cddv=±1則vt