經(jīng)典層次分析法分析及實(shí)例教程

1、t.l.saaty一一 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 日常生活中有許多決策問(wèn)題。決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。例1 購(gòu)物 買(mǎi)鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買(mǎi)飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面的因素選擇某種飯菜。例2 旅游 假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會(huì)依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。例3 擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。例4 科研課題的選擇 由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時(shí)不能同時(shí)開(kāi)展幾

2、個(gè)課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。 面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過(guò)程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題帶來(lái)不便。t.l.saatyt.l.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了一種能有效處理這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)用方法。 層次分析法（analytic hierarchy process, ahp)analytic hierarchy process, ahp)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過(guò)去研究自然和社會(huì)現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)經(jīng)典的數(shù)學(xué)

3、工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過(guò)大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。層次分析法的基本思路：與人們對(duì)某一復(fù)雜決策問(wèn)題的思維、判斷過(guò)程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€(gè)鋼筆的質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買(mǎi)哪支鋼筆買(mǎi)鋼筆質(zhì)量顏色價(jià)格外形實(shí)用可供選擇的筆1 1 建立層次結(jié)構(gòu)模型建立層次結(jié)構(gòu)模型 一般分為三層，最上面為目標(biāo)層目標(biāo)層，最下面為方案層方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1 的層次結(jié)

4、構(gòu)模型 準(zhǔn)則層 方案層目標(biāo)層選擇旅游地景色費(fèi)用居住飲食旅途蘇州、杭州、桂林例2 層次結(jié)構(gòu)模型層次結(jié)構(gòu)模型 準(zhǔn)則層a 方案層b目標(biāo)層z若上層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱(chēng)為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱(chēng)為不完全層次結(jié)構(gòu)。設(shè)某層有個(gè)因素，n nxxxx,21 ijaijjiijaa1 nnnnnnnnijaaaaaaaaaaa212222111211an2 2 構(gòu)造成對(duì)比較矩陣構(gòu)造成對(duì)比較矩陣要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個(gè)因素對(duì)上層某一目標(biāo)的影響程度排序）用 表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的比較結(jié)果，則則稱(chēng)為成對(duì)比較

5、矩陣成對(duì)比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取1919尺度。尺度。尺度第 個(gè)因素與第 個(gè)因素的影響相同ij第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響稍強(qiáng) 第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響強(qiáng) 第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響明強(qiáng)第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響絕對(duì)地強(qiáng) iiiijjjj含義比較尺度：（1919尺度尺度的含義）2,4,6,8表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的影響介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。jijiijaa1由上述定義知，成對(duì)比較矩陣 nnijaa 0 1ijajiijaa1 2則稱(chēng)為正互反陣正互反陣。比如，例2的旅游問(wèn)題中，第二層a a的各因素對(duì)目標(biāo)層z z的影響兩

6、兩比較結(jié)果如下：滿足一下性質(zhì)11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/53111 3iia54321,aaaaa分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。由上表，可得成對(duì)比較矩陣 1135131112513131211714155712334211a旅游問(wèn)題的成對(duì)比較矩陣共有6個(gè)（一個(gè)5階，5個(gè)3階）。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對(duì)上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？3 層次單排序及一致性檢驗(yàn)層次單排序及一致性檢驗(yàn)nnwww,21層次單排序：層次單排序：確定下層各因素對(duì)上層某因素影響程度的過(guò)程。確定下層各因素對(duì)上層某因素影響程度的過(guò)程。用權(quán)

7、值表示影響程度，先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子看如何確定權(quán)值。例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對(duì)比較矩陣 11121212121wwwwwwwwwwwwannnn由右面矩陣可以看出，jkkijiwwwwww 即，nji, 2 , 1,1321231321234, 2, 7aaaaaa aijkjikaaa ijkjikaaa anjiaaaiijiij,2, 1, 1,1 .1也是一致陣ta . 2 1 . 3aranka的各行成比例，則但在例2的成對(duì)比較矩陣中，在正互反矩陣 中，若 ,則稱(chēng) 為一致陣。一致陣的性質(zhì)：。特征根均等于個(gè)其余的最大特征根（值）為0 1,

8、. 4n-n aa5. 的任一列(行)都是對(duì)應(yīng)于特征根 的特征向量。n作業(yè)作業(yè)若成對(duì)比較矩陣是一致陣，則我們自然會(huì)取對(duì)應(yīng)于最大特征根 的歸一化特征向量 ，且定理定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當(dāng)且僅 當(dāng) 時(shí)， 為一致陣。annwww,2111 niiwiwinnn a表示下層第 個(gè)因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對(duì)比較矩陣不是一致陣，saatysaaty等人建議用其最大特征根對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量 ，則wwwanwww,21w（為什么？）這樣確定權(quán)向量的方法稱(chēng)為特征根法特征根法. .1nnci由于 連續(xù)的依賴(lài)于 ，則 比 大的越多， 的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作

9、為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用 數(shù)值的大小來(lái)衡量 nijanaa的不一致程度。定義一致性指標(biāo)一致性指標(biāo)其中 為 的對(duì)角線元素之和，也為 的特征根之和。anari50021,aaa50021,cicici15005005002150021nnciciciri則可得一致性指標(biāo) 定義隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣隨機(jī)一致性指標(biāo) ri 的數(shù)值：1 .0ricicraa一致性檢驗(yàn)一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率0.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì) 進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。 一般，當(dāng)一致性比率 的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可

10、用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，對(duì) 加以調(diào)整。時(shí)，認(rèn)為a4 4 層次總排序及其一致性檢驗(yàn)層次總排序及其一致性檢驗(yàn) 確定某層所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值過(guò)程，確定某層所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值過(guò)程，稱(chēng)為層次總排序?qū)哟慰偱判?從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)： z1a2ama1b2bnb,21maaama個(gè)因素層對(duì)總目標(biāo)z的排序?yàn)閙aaa,21jaanb中因素為個(gè)因素對(duì)上層層的層次單排序?yàn)?, 2 , 1( ,21mjbbbnjjj即 層第 個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：bnmmnnnmmmmbabababbabababbababab2211222221121

11、1221111:bimjijjba1層的層次總排序?yàn)椋簃aaa,21maaa,21nbbb2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21ab111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1層次總排序的一致性檢驗(yàn)層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè) 層 對(duì)上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為 ，則層次總排序的一致性比率為：bnbbb,21a), 2 , 1(mjajjcijrimmmmriariariaciaciaciacr221122111 . 0cr當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。1.1.建立層次

12、結(jié)構(gòu)模型建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟基本步驟歸納如下3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣構(gòu)造成對(duì)比較矩陣從第二層開(kāi)始用成對(duì)比較矩陣和19尺度。對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過(guò)，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。計(jì)算最下層對(duì)最上層總排序的權(quán)向量。4.4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)1 . 0crcr進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過(guò)，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策

13、，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率 較大的成對(duì)比較矩陣。mmmmriariariaciaciaciacr22112211利用總排序一致性比率z1a2a3a4a5a1b2b3b54321,aaaaa321,bbb 旅游問(wèn)題旅游問(wèn)題 (1)建模分別分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。 （2）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣1135131112513131211714155712334211a1215121215211b1383113813112b131313113113b114111314314b144411141115b(3)計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn)a073.

14、 5110. 0 ,099. 0 ,055. 0 ,475. 0 ,263. 0018. 0155073. 5ci12. 1ri1 . 0016. 012. 1018. 0cra成對(duì)比較矩陣 的最大特征值表明 通過(guò)了一致性驗(yàn)證。故則該特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量 對(duì)成對(duì)比較矩陣 可以求層次總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，結(jié)果如下： 54321,bbbbbk1k2k3kkkcikri12345595. 0082. 0429. 0633. 0166. 0277. 0236. 0429. 0193. 0166. 0129. 0682. 0142. 0175. 0668. 0005. 3002. 330

15、09. 33003. 0001. 000005. 058. 058. 058. 058. 058. 0計(jì)算 可知 通過(guò)一致性檢驗(yàn)。kcr54321,bbbbb對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：1b3 . 0110. 0166. 0099. 0633. 0055. 0429. 0475. 0082. 0263. 0595. 032,bb,456. 0 ,246. 0456. 0 ,246. 0 , 3 . 01 . 0015. 058. 0/)0110. 0005. 0099. 00055. 0001. 0475. 0003. 0263. 0(cr（4）計(jì)算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn)又決策層對(duì)總目標(biāo)的權(quán)向量為：

16、同理得， 對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值分別為：故，層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)?？勺鳛樽詈蟮臎Q策依據(jù)。456. 0 ,246. 0 , 3 . 0213bbb321,bbb故最后的決策應(yīng)為去桂林桂林。又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權(quán)重排序?yàn)樗乃?層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策 ，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)分析的重要工具。 2 實(shí)用性 層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來(lái)，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無(wú)法著手的實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用范圍很廣，同時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，

17、決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。3 簡(jiǎn)潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便，并且所得結(jié)果簡(jiǎn)單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來(lái)，沒(méi)有辦法得出更好的新方案。第二第二 該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過(guò)程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問(wèn)題。第三第三 從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人主觀 因素對(duì)整個(gè)過(guò)程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓 所有的決策者接受。當(dāng)然采取專(zhuān)家群體判斷的辦法 是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑。思考：多名

18、專(zhuān)家的綜合決策問(wèn)題思考：多名專(zhuān)家的綜合決策問(wèn)題五五 正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法用定義計(jì)算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時(shí)；成對(duì)比較矩陣是通過(guò)定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對(duì)它的精確計(jì)算是沒(méi)有必要的。尋找簡(jiǎn)便的近似方法。定理定理對(duì)于正矩陣 a （a的所有元素為正）1） a 的最大特征根為正單根 ；2） 對(duì)應(yīng)正特征向量 w（w的所有分量為正）；3）weaeeaktkklim其中t, ,)(111 ew是對(duì)應(yīng) 的歸一化特征向量。1 冪法冪法 步驟如下a) 任取 n 維歸一化初始向量)(0wb) 計(jì)算,)()(2101kkkaww)(1kwc) 歸一化，即令nikikkw1111)()()(/wwd) 對(duì)于預(yù)先給定的精度 ，當(dāng)下式成立時(shí)n,iwwkiki,21 )()1()(1kw即為所求的特征向量；否則返回b；e) 計(jì)算最大特征值nikikiwwn111)()(這是求特征根對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法迭代方法，其收斂性由定理的3）保證。2 和法和法 步驟如下a) 將a的每一列向量歸一化得b) 對(duì)c) 歸一化niijijijaaw1/ijw按行求和得njijiww1tnwww),(