無窮級數(shù)求和的若干方法畢業(yè)論文

1、 陜西理工學院函授本科畢業(yè)論文題目 無窮級數(shù)求和的若干方法 學生姓名 于 濤 專業(yè)名稱 數(shù)學與應用數(shù)學 無窮級數(shù)求和的若干方法 于 濤（陜西理工學院 ）摘 要：本文介紹了十種無窮級數(shù)求和的方法，并通過舉例說明這些方法的應用. 關(guān)鍵詞：無窮級數(shù)；級數(shù)收斂；級數(shù)發(fā)散；求和無窮級數(shù)包括數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù).它是表示函數(shù)性質(zhì)的一個重要工具，也是對函數(shù)進行數(shù)值計算的一個重要手段.我們較常見到的無窮級數(shù)求和多為數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)的求和，無窮級數(shù)求和問題是無窮級數(shù)中的難點，因此這里給出的十種方法主要是針對上述兩種級數(shù)，并通過例題講述這些求和方法的應用.1 定義法1這是利用無窮級數(shù)和的定義來求級數(shù)和的一種方法，

2、這種方法用于級數(shù)前項部分和數(shù)列比較好求的級數(shù)，在此我又把其分為以下三類.(1) 直接法：適用于為等差或等比級數(shù)或通過簡單變換易化為這兩種級數(shù).例1 求級數(shù) 的和，.解 (1)中各項的系數(shù)1、3、5、是公差為2的等差數(shù)列，(1)的兩邊同乘以得： (2)(1)(2)得： 因為，所以.(2) 拆項法：. 例2 求級數(shù)的和.解 ,即 .(3) 遞推法：是利用問題本身所具有的遞推關(guān)系來求解問題的一種方法.例3 求級數(shù)的和.解 由數(shù)學歸納法可證： ,故.2 阿貝爾法2（即構(gòu)造冪級數(shù)法）若級數(shù)收斂，則.由構(gòu)造一個冪級數(shù)是很簡單的，而冪級數(shù)的和函數(shù)可通過逐項微分或積分得到，故易得的和.例4 級數(shù)的和.解 令,

3、. 之所以這樣構(gòu)造冪級數(shù),是為了消去系數(shù)中的因子.逐項積分 ,即.上式兩邊對求導: ,故.3 逐項微分法2由于冪函數(shù)在微分時可以產(chǎn)生一個常系數(shù)，這便為我們處理某些冪函數(shù)求和問題提供方法.當然從實質(zhì)上講，這是求和運算與求導（微分）運算交換次序問題，因而應當心冪級數(shù)的收斂區(qū)間（對后面的逐項積分法亦如此）.例5 級數(shù) 的和函數(shù)，其中.解 令,.由,則;類似地,故.有時候，所求級數(shù)的通項為另一些函數(shù)的導數(shù)，而以這些函數(shù)為通項的級數(shù)易于求和，則可將這些函數(shù)逐項求導.例6 求級數(shù)的和函數(shù)，在區(qū)間內(nèi).解 .4 逐項積分法同逐項微分法一樣，逐項積分法也是級數(shù)求和的一種重要方法，這里當然也是運用函數(shù)積分時產(chǎn)生的

4、常系數(shù)，而使逐項積分后的新級數(shù)便于求和.例7 求級數(shù)的和函數(shù)，這兒.解 令,.而,故,則.5 逐項微分、積分有時在同一個級數(shù)求和式中既需要逐項微分,又需要逐項積分,這往往是將一個級數(shù)求和問題化為兩個級數(shù)求和問題才會遇到.例8 求級數(shù)的和函數(shù)，這兒.解 .6 通過函數(shù)展開法數(shù)項級數(shù)的求和也可通過函數(shù)冪級數(shù)或傅里葉級數(shù)展開后賦值而得到（當然它們常與冪級數(shù)逐項微分、積分技巧配合使用）.(1) 冪級數(shù)的賦值法：根據(jù)所給數(shù)項級數(shù)的特點構(gòu)造一個容易求和的冪級數(shù)，在此冪級數(shù)的收斂域內(nèi)有一點，當時所得的常數(shù)項級數(shù)恰是要求和的級數(shù).設所求級數(shù)的和為，冪級數(shù)的和為，則.例9 求級數(shù)的和.解 作,由,則 令,則.(

5、2) 傅里葉級數(shù)的賦值法：利用函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開再賦值是求數(shù)項級數(shù)和的一個重要手段.例10 求級數(shù)的和.解 把在上展成余弦級數(shù) 令,則 ,故.7 復數(shù)法1（三角級數(shù)求和法）這是求三角級數(shù)和常用的方法，為了求級數(shù)及的和，常把它們視為復數(shù)域內(nèi)的冪級數(shù)（其中）的實部和虛部.如果的和好求，則級數(shù)及級數(shù)的求和問題就已解決.例11 求級數(shù)的和函數(shù).解 ,其中令 ,故 .8 積分法(1) 2積分概念實際上可視為無窮級數(shù)求和概念的拓廣，但相對來說，定積分較無窮級數(shù)好處理，因而有些級數(shù)求和問題可化為定積分問題去考慮，但它與定積分的遞推公式有關(guān).例12 求級數(shù)的和.解 令,考慮到.當時，由于，故,于是，即，又，

6、即.綜合上兩式有 ,故.再者遞推可有 , (3)又.將(3)式兩邊取極限且則.(2)3利用公式，.來求無窮級數(shù)的和，當、為非負整數(shù)時，利用此公式求級數(shù)的和特別簡單，下面我們驗證此公式的正確性.作函數(shù) 由于，故.而,所以.例13 求級數(shù)的和.解 此級數(shù)與上面公式比較知從而.9 化為微分方程求解有些級數(shù)的和函數(shù)經(jīng)過微分后，再與原來的級數(shù)作某種運算后，可以組成一個簡單的微分方程，這樣級數(shù)求和問題就化為微分方程的求解問題.例14 求的和函數(shù)，.解 設,考慮到,則,于是.又，則，這樣可有.10 利用無窮級數(shù)的乘積2有些級數(shù)可視為兩個無窮級數(shù)的乘積，這時便可將所求級數(shù)和問題化為先求兩個級數(shù)積（當然它們應該好求），再計算它們的乘積，當然這基于下面的結(jié)論：若級數(shù)與均收斂，又也收斂，其中,則.若,都收斂且至少其中之一絕對收斂，其中收斂于.例15 求級數(shù)的和函數(shù)，其中.解 考慮為絕對收斂級數(shù)，且收斂，這里. 又,則,再由,故.無窮級數(shù)求和的方法遠不止這十種，還有待于繼續(xù)探索和總結(jié)，有些求和問題用一種方法求解很麻煩，甚至不可能，它需要多種方法的靈活交錯使用，有些題目則可以多種方法求解，比如例13用定義法求和也可以(拆項相消就可求出部分和),這就要求我們熟練掌握上述方法,根據(jù)具體的題型尋找簡單可行的途徑來求解.參考文獻：1 陳文燈，黃先開，曹顯兵，施明有高等數(shù)學復習指導m北京：清華大學出版社，