不等式,函數與導數的解題方法,分類整理

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載【考向預測】函數是整個高中數學的主線，導數是研究函數性質的重要工具，函數的單調性是函數最重要的性質之一，它與不等式的聯系非常密切本部分考查的內容主要有：函數的概念和性質，基本初等函數的圖象、性質、應用，導數的概念和應用，不等式的性質、一元二次不等式、簡單的線性規(guī)劃、均值不等式考查學生的抽象思維能力、推理論證能力，運算求解能力及數學應用意識從高考卷來看，對這一部分內容的考查注重考查基礎知識和基本方法預測20XX 年四川高考關于不等式、函數與導數，仍會以考查函數的圖象與性質，利用導數解決函數、方程、不等式的綜合問題為熱點，知識載體主要是二次函數、三次函數、指數函數、對數函數及分

2、式函數綜合題主要題型：(1) 利用導數研究函數的單調性、極值與最值問題或逆求參數取值范圍；(2) 不等式、函數與導數綜合問題【問題引領】1函數 y ax 3 2( a 0，且 a1) 的圖象恒過定點A，若點 A 在直線 x y 1 上，且 m>0， n>0，則 3mn 的mn最小值為 ()A13B 16C11 6 2D28【解析】 函數 y ax 3a0，且 a 1) 恒過定點 ( 3， 1)，又因為點xy3 11， 2(A在直線 1 上，所以 mnm n所以3 (3 )(313m 3n3m3n的最小值為 16. ) 10 102· 16，所以 3 m nm nm nn

3、mn mm n【答案】 Bx2y 0，2設 z xy，其中實數 x， y 滿足 xy 0， 若 z 的最大值為6，則 z 的最小值為 () 0y k，A3 B2 C1 D0x 2y 0，【解析】由zxy得yx，作出x y 0， 的區(qū)域如圖所示，平移直線yx，由圖象可知zBCOz0 y k當直線經過 C點時，直線的截距最大，此時y x，x 3，z6，由解得所以 k 3，解得 B( 6， 3) ，代入 zy x 6，y 3， x y 得最小值為z 6 3 3.【答案】 A優(yōu)秀學習資料歡迎下載3若函數f ( x) loga( x3 ax)(a>0，且a 1) 在區(qū)間1( 2， 0) 內單調遞增

4、，則a 的取值范圍是() 1A 4， 1) B3 4，1) C9 4， ) D9( 4，1)【解析】設 ( x) x3 ax，當a (0 ， 1) 時，依題意有 ( x) x3 ax13在區(qū)間 ( 2， 0) 內單調遞減且( x) x ax1在( 2，0) 上大于0.2(x)3x a即 1( x) 0 在 ( ， 0) 恒成立 ?221a3x 在 ( ， 0) 上恒成立2 x ( 12，0) ， 3x2 (0 ， 34) ， a 34，此時 ( x)>0 ， 34 a<1.121當 a>1 時， ( x) 在區(qū)間 ( 2， 0) 內單調遞增， ( x) 3x a 在 ( 2，

5、 0) 上大于 0.21233 a3x在 ( 2， 0) 上恒成立又3x (0，4) ， a 0 與 a>1 矛盾綜上， a 的取值范圍是 4， 1) 【答案】 B4過點 P(2 ， 2) 且與曲線 y3x x3 相切的直線方程是 _【解析】設點 ( a， b) 是曲線上的任意一點，則有b 3a a3. 導數 y 3 3x2，則切線的斜率k3 3a2，所以切線方程為y b (3 3a2 )( x a) ，即 y (3 3a2) x a(3 3a2) b (3 3a2) x 3a3 3a 3a a3，整理得y (323P(2 ， 2) 代入得2332324323 3a ) x 2a ，將點

6、22(3 3a ) 2a2a 6a 6，即 a 3a 0，即 a1 3a 3 ( a1) 3(2 1) 0，整理得 ( 1)( 2) 2 0，解得2或 1，代入切線方程得y9 16或y 2.aaaaax【答案】 y 9x 16 或 y 25設函數 f ( x)( x R) 滿足 f ( x) f ( x) ，f ( x) f (2 x) ，且當 x0 ，1時，f ( x) x3. 又函數 g( x) | xcos( 1 3x )| ，則函數 h( x) g( x) f ( x) 在 2， 2 上的零點個數為 _【解析】原題轉化為函數13f ( x) 為偶函數，故f ( x)f ( x) 與 g

7、( x) 的圖象在 ， 上有幾個交點問題可知函數22(2 ) (x2) ，所以函數f(x) 是周期為 2的函數當x311) 0，當x1 時，(x) 1，0， 時， (fxf222g xg且 g( x) 是偶函數，且函數值為非負，由此可畫出函數y g( x) 和函數 y f ( x) 的圖象如圖所示，由圖可知兩圖象有6 個交點【答案】 616設函數f ( x) (2 a)lnxx 2ax.(1) 當 a 0 時，求 f ( x) 的極值；(2) 當 a 0 時，求 f ( x) 的單調區(qū)間【解析】 (1)函數 f ( x) 的定義域為 (0 ， ) ，當 0時，f(x) 2lnx1f (x212

8、x 1 ，) 22.axx xx優(yōu)秀學習資料歡迎下載由 f ( x) 0，得 x21. f ( x) ， f ( x) 隨 x 變化如下表：x111(0， )(， )222f ( x)0f ( x)極小值f1由上表可知，( )極小值() 2 2ln 2，沒有極大值xf22ax2（ 2 a） x 111(2) 由題意， f ( x) x2. 令 f ( x) 0，得 x1 a，x22.11若 a 0，由 f ( x) 0，得 x(0 ， 2 ；由 f ( x) 0，得 x 2， ) 111111若 a 0,當 a 2 時， a2， x (0 ， a 或 x 2， ) ， f ( x) 0； x

9、a，2 ， f ( x) 0.當 2時，f( ) 0.ax111111當 2 a0 時， a 2， x (0 ， 2 或 x a， ) ， f ( x) 0； x 2， a ， f ( x) 0.綜上，當 a0 時，函數的單調遞減區(qū)間為11(0 ， 2 ，單調遞增區(qū)間為 2， );當 2 時，函數的單調遞減區(qū)間為1111(0， ， ) ，單調遞增區(qū)間為 ， ;aa2a2當 a 2 時，函數的單調遞減區(qū)間是(0， )；當 2 a 0 時，函數的單調遞減區(qū)間為1111(0 ， 2 ， a， ) ，單調遞增區(qū)間為 2， a.【診斷參考】1在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其

10、滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件才能應用，否則會出現錯誤解題時應根據已知條件適當進行添( 拆 ) 項，創(chuàng)造應用基本不等式的條件2線性規(guī)劃的逆向問題，解題的關鍵在于用數形結合思想確定何時取得最大值，從而建立不等關系求參數m的范圍解此題時很多學生因為目標函數中含參數而又無數形結合思想的應用意識，導致無從下手3已知函數的單調性求參數的取值范圍，首先要考慮定義域，即定義域優(yōu)先的原則其次要注意復合函數的單調性，一定要注意內層與外層的單調性問題復合函數的單調性的法則是“同增異減” 本題的易錯點為忽略函數的定義域，或僅考慮復合函數的內層函數的單調性4利用導數的幾何意義求曲線的切線是導數的重要應用之一

11、，求曲線切線方程需注意以下幾點：確定已知點是否為曲線的切點是解題的關鍵；基本初等函數的導數和導數運算法則是正確解決此類問題的保證；熟練掌握直線的方程與斜率的求解是正確解決此類問題的前提5函數的奇偶性、周期性以及單調性是函數的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調性相結合，而周期性常與抽象函數相結合，并以結合奇偶性求函數值為主在這類題目中，往往需借助函數的奇偶性或周期性來實現區(qū)間的轉換對于判斷函數零點的問題要注意特殊點，如第 5 題中要注意到 x 0 是函數 h( x) 的一個零點，此處極易被忽視；同時要正確畫出函數的圖象，將零點問題轉化為函數圖象的交點問題6含參數的

12、導數問題是歷年高考命題的熱點由于含參數的導數問題在解答時往往需要對參數進行討論，因而它也是絕大多數考生答題的難點，具體表現在他們不知何時開始討論、怎樣去討論一般地，含參數的導數問題有三個基本討論點：(1) 求導后，導函數為零有實根( 或導函數的分子能分解因式) ，但不知導函數為零的實根是否落在定義域內，從而引起討論(2) 求導后，考慮導函數為零是否有實根( 或導函數的分子能否分解因式) ，從而引起討論(3) 求導后，導函數為零有實根( 或導函數的分子能分解因式) ，導函數為零的實根也落在定義域內，但不知這些實根的大小關系，從而引起討論優(yōu)秀學習資料歡迎下載【知識整合】一、不等式的性質不等式共有六

13、條性質兩條推論，要注意：1可加性： a>b? a c>bc.推論：同向不等式可加，a>b， c>d? ac>b d.2可乘性： a>b， c>0? ac>bc；a>b， c<0? ac<bc.推論：同向 ( 正 ) 可乘， a>b>0， c>d>0? ac>bd.二、不等式的解法1一元二次不等式的解法：求不等式ax2>0(0) 的解集，先求ax2bx 0 的根，再根據二次函數bx cac2y ax bx c 的圖象寫出解集3一元三次不等式，用“穿針引線法”求解( 穿根時要注意“奇穿偶不穿”)

14、三、線性規(guī)則1解答線性規(guī)則的應用問題，其一般步驟如下：(1) 設：設出所求的未知數；(2) 列：列出約束條件及目標函數；(3) 畫：畫出可行域；(4) 移：將目標函數轉化為直線方程，平移直線，通過截距的最值找到目標函數的最值；(5) 解：將直線的交點轉化為方程組的解，找到最優(yōu)解2求解整點最優(yōu)解有兩種方法：(1) 平移求解法：先打網格，描整點，平移目標函數所在的直線l，最先經過的或最后經過的整點便是最優(yōu)整點解；(2) 調整優(yōu)值法：先求非整優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程的知識調整最優(yōu)值，最后篩選出整點最優(yōu)解四、基本不等式1a， b 都為正數， ab ab，當且僅當 a b 時，等號成立22使用基本不

15、等式時要注意“一正，二定，三相等”五、不等式常用結論1不等式恒成立問題的轉化方向：(1) 分離參數，向最值轉化；(2) 向函數圖象或轉化2已知x>0，>0，則有： (1) 若乘積xy為定值p，則當xy時，和xy有最小值 2； (2) 若和xy為定值s，yp12則當 x y 時，乘積 xy 有最大值 4s .六、函數的概念及其表示函數的三要素：定義域、值域、對應關系常用的函數表示法：解析法、列表法、圖象法七、函數的性質1函數解析式的常用求法：(1) 待定系數法；(2) 代換 ( 配湊 ) 法； (3) 構造方程 ( 組 ) 法2函數定義域的常用求法：(1) 根據解析式的要求：偶次根式

16、的被開方數不小于零、分母不能為零、對數中的真數大于零、對數中的底數大于零且不為1、零次冪的底數不為零等；(2) 實際問題中要考慮變量的實際含義3函數值域 ( 最值 ) 的常用求法： (1) 配方法 ( 常用于二次函數 ) ； (2) 換元法； (3) 有界性法； (4) 單調性法； (5) 數形結合法； (6) 判別式法； (7) 不等式法； (8) 導數法4函數的單調性：(1) 定義法； (2) 導數法； (3) 復合函數法； (4) 圖象法優(yōu)秀學習資料歡迎下載5函數的奇偶性： (1) 定義法； (2)圖象法； (3) 性質法6函數的周期性： (1)f(x ) (x)( 0) ，周期是；(2

17、)f(x ) (x)( ) ，周期是 | ；(3)f(xTfTTa fb a bb a11 f （x） a) f ( x)( a0) ，周期是2a；(4)若 f ( xa) f （x） ( a 0，且 f ( x) 0) ，周期是 2a；(5) f ( x a) 1 f （x）( a 0 且 f ( x) 1) ，周期是4a.7函數圖象的畫法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換八、指數函數和對數函數的圖象與性質九、導數及其應用1函數 y f ( x) 在點 x0 處的導數的幾何意義是曲線y f ( x) 在點 P( x0， f ( x0) 處的切線的斜率2設

18、函數 y f ( x) 在某個區(qū)間可導，如果f ( x)>0 ，則 f ( x) 為增函數；如果 f ( x)<0 ，則 f ( x) 為減函數3可導函數在極值點處的導數值為零且左右導數值異號( 左正右負極大值，左負右正極小值) 4可導函數在閉區(qū)間內的最值：將閉區(qū)間內的極值與端點處的函數值相比較，大的就是最大值，小的就是最小值【考點聚焦】熱點一：不等式的性質、解法和應用不等式的性質、 簡單不等式的解法、 基本不等式是高考經常考查的內容， 常見于選擇題或填空題中， 以容易題、中等難度題為主， 主要考查利用不等式的性質比較大小， 解一元二次不等式、 分式不等式， 利用基本不等式求最值，

19、求解過程中要注重對相關性質變形形式的理解和應用，同時注意思維的嚴謹性1 x2(1)(2013 湖北卷 ) 已知全集為 R，集合 A x|(2)1 ，B x| x 6x 80 ，則 A RB () A x| x 0 B x|2 x 4C x|0 x<2 或 x>4 D x|0< x2 或 x48(2) 已知兩條直線 l 1：y m和 l 2：y2m 1( m0) ，l 1 與函數 y|log 2x| 的圖象從左至右相交于點A，B，l 2 與函數 |log 2 | 的圖象從左至右相交于點， . 記曲線段和在x軸上的投影長度分別為，. 當變化時， b的yxC DAC BDa bma

20、最小值為 _優(yōu)秀學習資料歡迎下載【分析】 (1) 分別利用指數的運算性質、一元二次不等式解法，求出集合A、 B.(2)將，四點的橫坐標利用變量表示出來，根據a，b為曲線段和在軸上的投影長度，將b利ABCDmACBD xa用變量 m表示出來，然后利用基本不等式求出最值【解析】 (1) 易知集合 |x0 ， |2 4，故 R |x<2 或x>4 ，從而 Rx|0 <2 或AxB xxBxABxx>4 故選 C.(2) 在同一坐標系中作出y ，8(>0) ， |log 2| 圖象如圖所示，my2m 1myx由 |log21m2m28x| m，得 x 2， x 2 ， |

21、logx| 2 1，m8141173b m 2m 1m 21 2 4 22，當且僅當m 2時，取“”號，( a) min 8 2.m2【答案】 (1)C(2)82【歸納拓展】 (1) 一元二次不等式的解法常與函數的零點、函數的值域、方程的根及指數函數、對數函數、抽象函數等交匯綜合考查解決此類問題可以根據一次、二次不等式，分式不等式，簡單的指數、對數不等式的解法進行適當的變形求解，也可以利用函數的單調性把抽象不等式進行轉化求解(2) 基本不等式多以函數、方程、立體幾何、解析幾何、數列等知識為載體考查基本不等式求最值問題解決此類問題的關鍵是正確利用條件轉換成能利用基本不等式求解的形式，同時要注意基

22、本不等式的使用條件如本題中要能用拼湊法將m28 1( m>0) 化成利用基本不等式求最值的形式m變式訓練 1(1) 已知 a Z，關于 x 的一元二次不等式 x2 6xa 0 的解集中有且僅有3 個整數，則所有符合條件的 a 的值之和是 () A13 B 18 C 21 D 26221(2) 已知正實數 a， b 滿足 a 2b 1，則 a 4b ab的最小值為 () 716117A.2 B 4 C.36D.2【解析】 (1)設f (x) x2 6x a，其圖象是開口向上、對稱軸是x3 的拋物線，如圖所示關于x 的一元二次不等式的解集中有且僅有3 個整數，則即解得 5<a 8，又

23、a Z，所以 a優(yōu)秀學習資料歡迎下載 6， 7，8. 則所有符合條件的a 的值之和是6 7 821. 選 C.1122111(2) 因為 1 a 2b 22ab? ab8，當且僅當 a 2b2時取等號又因為 a 4b ab 2a·(2 b) ab 4abab.111171令 t ab，所以 f ( t ) 4t t ，又 f ( t ) 在 (0，8 上單調遞減，所以f ( t ) min f ( 8) 2 . 此時 a 2b2.選D.【答案】 (1)C(2)D熱點二：線性規(guī)劃線性規(guī)劃常出現在選擇題或填空題中，主要考查：已知約束條件，求目標函數的最值；已知目標函數的最值，求約束條件或

24、目標函數中的參變量的取值范圍有時在解答題中考查以實際問題為背景求目標函數的最值一般為中等難度題，解決這類問題的關鍵是靈活應用數形結合思想定義在 R 上的函數yf ( x) 是減函數，且函數y f ( x 2) 的圖象關于點 ( 2，0) 成中心對稱， 若 s，t滿足不等式組 錯誤 !則當 2 s 3時， 2s t 的取值范圍是 () A3 ， 4 B3 ，9 C 4 ，6 D 4 ，9【分析】要求2 t的取值范圍，并且兩個變量s，t不存在等量關系，需要利用線性規(guī)劃求解因此要根據函s數的性質和題意挖掘出兩個變量間的不等關系【解析】因為y f ( x2) 的圖象關于點 ( 2， 0) 成中心對稱，

25、所以函數f ( x) 關于原點對稱設 z 2s t ，作出不等式組對應的區(qū)域優(yōu)秀學習資料歡迎下載由 z 2s t1z得 s 2t 2，平移直線1zs 2t 2，由圖象可知，當直線1zs 2t 2經過點C(0 ， 2) 時截距最小，此時 z 2st 4；即 E(3 ， 3) ，此時直線z 2s t 的截距最大，為z 2s t 2×3 3 9. 所以 4 2s t 9. 所以選 D.【答案】 D【歸納拓展】本題命題角度新穎，不是直接給出線性約束條件和目標函數求最值，而是需要將所給不等式組進行合理轉化后，約束條件才明朗對于這類問題，要通過兩個變量不存在確定關系，確定利用線性規(guī)劃求解，然后通

26、過題目條件尋找兩個變量存在的所有不等關系，同時要注意深入挖掘題目條件變式訓練 2設x，y滿足約束條件若目標函數z( 0， 0) 的最小值為2，則ab的最axby ab大值為 ()111A1 B. 2C.4D.6【解析】由z ax by( a 0，b 0) 得azy bxb，可知斜率為ab 0，作出可行域如圖，由圖象可知當直線yaz bxb經過點D時，直線azy bx b的截距最小，此時z 最小為2.即 D(2 ，3) ，代入直線111ax by2，得2a 3b2，又2 2a 3b 26ab，所以ab 6，當且僅當2a 3b1，即a 2，b 3時取等號，所以 ab 的最大值為16. 選D.【答案

27、】 D熱點三：函數的圖象與性質函數的圖象與性質作為高中數學的一個“重頭戲”，常考常新， 主要從以下幾個方面考查：單調性的確定與應用，應用單調性求最值( 值域 ) 、比較大小、求參數的取值范圍等；奇偶性、周期性與函數的其他性質( 如圖象的對稱性)的綜合問題；求函數的最值或應用函數的最值問題；函數圖象的判斷，及利用函數圖形研究函數性質考題既有選擇題、填空題，又有解答題，難度一般為中等偏上x(1) 函數 y sinx 的圖象大致是 () 優(yōu)秀學習資料歡迎下載(2) 已知函數 f ( x) 則 f ( x) 的零點是 _； f ( x) 的值域是 _(3)已知函數 f ( x) 在實數集 R 上具有下

28、列性質：直線x 1 是函數的一條對稱軸；f ( x 2) f ( x) ；當 1 x1x23 時， f(x2) (x1) ·( 21) 0，則f(2011) 、(2012)、(2013) 從大到小的順序為 _fx xff【分析】 (1)根據函數的奇偶性、單調性、正負性、零點，利用排除法，逐項排除(2) 根據 f ( x) 為分段函數，分段求出函數的零點和值域，但是要注意 f ( x) 的值域是兩段的并集(3) 根據確定函數的周期， 根據確定函數在該區(qū)間的單調性，然后利用函數的周期性將f (2011) 、 f (2012)、 f(2013) 轉化到同一個單調區(qū)間，得出大小關系x【解析】

29、 (1)函數 y f ( x) 3sin x 為奇函數，所以圖象關于原點對稱，排除B.111當 x時， y 0，排除 D. f ( x) 3 cos x，由 f ( x) 3 cos x 0，得 cos x 3，所以函數 y f ( x)x 3 sin x 的極值有很多個，所以選C.1(2) 當 0 x9 時，由 x2 0，得 x 0；當 2 x 0 時，由 x2 x 0，得 x 1，所以函數零點為 1 和 0.1當 0 x 9 時， f ( x) x2，所以 0 f ( x) 3；21211x) 2.當 2 x 0 時， f ( x) x x ( x ) ，所以此時 f (2441f ( x

30、) 3，即函數的值域為1綜上， ，344(3) 由 f ( x 2) f ( x) 得 f ( x 4) f ( x) ，所以周期是4，所以 f (2011) f (3) ， f (2012) f (0)， f (2013)f(1)因為直線x1 是函數f(x) 的一條對稱軸，所以f(2012) (0) f(2) 由 f( 2)(x1) ·(x21) 0，可fxfx知當 1x1 x2 3時，函數單調遞減所以f (2013) f (2012) f (2011) 【答案】 (1)C(2) 1和 01(3) f(2013) f(2012) f (2011) ，34【歸納拓展】 (1) 函數圖

31、象的變換包括平移變換、伸縮變換和對稱變換，要記住它們的變換規(guī)律左加右減但要注意加、減指的是自變量，否則不成立；識圖時，要留意它們的變化趨勢，與坐標軸的交點及一些特殊點，特別是對稱性、周期性等特點，應引起足夠的重視(2) 求函數的值域要記住各種基本函數的值域；要記住具有什么結構特點的函數用什么樣的方法求值域；對各種求函數值域的方法要熟悉， 遇到求值域的問題， 應注意選擇最優(yōu)解法； 求函數的值域， 不但要重視對應法則的作用，而且要特別注意定義域對值域的約束作用；函數的值域常?；瘹w為求函數的最值問題(3) 抽象函數型綜合問題，一般通過對函數性質的代數表述，綜合考查學生對數學符號語言的理解和接受能力，

32、考查對函數性質的代數推理和論證能力，考查學生對一般和特殊關系的認識一般要先確定函數在某一個周期內的特點，再通過函數的對稱性、周期性確定函數在整個定義域上的特點，從而確定函數的性質優(yōu)秀學習資料歡迎下載變式訓練3(1) 設 ab，函數2y ( x a) ( x b) 的圖象可能是() (2) 若函數 f ( x) 是 R上的單調遞減函數，則實數a 的取值范圍為 () A( ， 2) B ( ，13813C(0 ，2) D 8 ，2)(3) 已知定義在 R 上的奇函數f ( x) 滿足 f ( x 4) f ( x) ，且當 x 0 ， 2 時， f ( x) log 2( x 1) ，給出下列四種

33、說法：f(3) 1；函數f(x) 在 6， 2 上是增函數；函數f( ) 關于直線 4 對稱；若(0 ，1) ，則xxm關于 x 的方程 f ( x) m 0 在 8， 8 上所有根之和為8. 其中正確的序號有 _【解析】 (1) 由圖象可知0 ab. y f ( x) ( x a)2( x b) ，則 f (0) a2b0，排除 A， C.當 a xb 時， f ( x) ( xa)2( x b) 0，排除 D，選 B.(3) 由 f ( x 4) f ( x) 得 f ( x8) f ( x) ，所以函數的周期是8. 又函數為奇函數，所以由f ( x4) f ( x)f ( x) ，所以函

34、數關于x 2 對稱同時 f ( x 4) f ( x) f (4 x) ，即 f ( x) f (4 x) ，函數也關于 x 2對稱，所以不正確又x 0 ，2 ，函數 f ( x) log 2( x 1) 單調遞增，所以當 x 2，2 時函數遞增，又函數關于直線 x 2 對稱，所以函數在 6， 2 上是減函數，所以不正確f ( 3) f (1) log 22 1，所以 f (3) 1，故正確若 m (0 ， 1) ，則關于 x 的方程 f ( x) m 0在 8， 8 上有 4 個根，其中兩個根關于x 2 對稱，另外兩個關于 x 6 對稱，所以關于 x 2 對稱的兩根之和為2× 2 4，關于