雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(公開課) 公開課 一等獎(jiǎng)

1、撫州一中撫州一中 張志恒張志恒開普勒開普勒伽利略伽利略華羅庚華羅庚牛頓牛頓生活中的雙曲線生活中的雙曲線開普勒開普勒伽利略伽利略華羅庚華羅庚牛頓牛頓第第1關(guān)：關(guān)：請(qǐng)同學(xué)們指出請(qǐng)同學(xué)們指出下面圖中的雙下面圖中的雙曲線曲線.開普勒開普勒伽利略伽利略華羅庚華羅庚牛頓牛頓第第2關(guān)：關(guān)：請(qǐng)同學(xué)們通請(qǐng)同學(xué)們通過下面實(shí)驗(yàn)過下面實(shí)驗(yàn)得出雙曲線得出雙曲線定義定義.生活感知生活感知11取一條拉鏈，拉取一條拉鏈，拉開，在兩支上各選開，在兩支上各選一不對(duì)稱兩點(diǎn)；一不對(duì)稱兩點(diǎn)；22如圖把它固定在如圖把它固定在 板上的兩點(diǎn)板上的兩點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2；3 3 筆尖套住拉鏈筆尖套住拉鏈頭拉動(dòng)；頭拉動(dòng)；思考思考：筆尖運(yùn)

2、動(dòng)的：筆尖運(yùn)動(dòng)的 軌跡是什么？軌跡是什么？生活感知生活感知 觀察觀察AB兩圖探究雙曲線的定義兩圖探究雙曲線的定義 如圖如圖(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a如圖如圖(B)， |MF2|- -|MF1|=|F1F|=2a由可得：由可得： | |MF1|- -|MF2| | = 2a （差的絕對(duì)值）差的絕對(duì)值）上面上面 兩條合起來叫做雙曲線兩條合起來叫做雙曲線右支右支左支左支同學(xué)們：恭喜通過第二關(guān)同學(xué)們：恭喜通過第二關(guān)開普勒開普勒伽利略伽利略華羅庚華羅庚牛頓牛頓第第3關(guān)：關(guān)：請(qǐng)同學(xué)們請(qǐng)同學(xué)們探究出雙探究出雙曲線的標(biāo)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)方程.二、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 建系建系1F2F使使

3、 軸經(jīng)過兩焦點(diǎn)軸經(jīng)過兩焦點(diǎn) ， 軸為線段軸為線段 的垂直平分線的垂直平分線.x21,FF1 2FFyxyO 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè) 是雙曲線上任一點(diǎn)，是雙曲線上任一點(diǎn)，),(yxMM 焦距為焦距為 ，那么，那么 焦點(diǎn)焦點(diǎn) )0(2cc)0,(),0,(21cFcF 列式列式aMFMF221將上述方程化為：將上述方程化為： aycxycx22222移項(xiàng)兩邊平方后整理得：移項(xiàng)兩邊平方后整理得： 222ycxaacx兩邊再平方后整理得：兩邊再平方后整理得： 22222222acayaxac由雙曲線定義知：由雙曲線定義知： ac22 即：即：ac 022ac設(shè)設(shè) 0222bbac代入上式整理得：代入上式整理得：

4、 122222acyax兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以 得：得：222aca)0,0(12222babyax化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ，它所表示的雙曲線的焦，它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在點(diǎn)在x軸軸上，焦點(diǎn)是上，焦點(diǎn)是 F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0). 其中其中c2=a2+b2.類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)思考焦點(diǎn)在類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)思考焦點(diǎn)在y軸軸上的雙上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.這個(gè)方程叫做雙曲線的這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 ，它所表示的雙曲線的焦，它所表示的雙曲

5、線的焦點(diǎn)在點(diǎn)在y軸軸上，焦點(diǎn)是上，焦點(diǎn)是 F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c).)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax三三. .雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程 如果如果 的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在 軸上；如果軸上；如果 的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在 軸上。軸上。2xx2yyOMF2F1xyF2 2F1 1MxOy通過描點(diǎn)大致畫出圖像通過描點(diǎn)大致畫出圖像感受標(biāo)準(zhǔn)方程感受標(biāo)準(zhǔn)方程1422yx同學(xué)們：恭喜通過第三關(guān)同學(xué)們：恭喜通過第三關(guān)開普勒開普勒伽利略伽利略華羅庚華羅庚牛頓牛頓第第4關(guān)：關(guān)：同學(xué)們，考考同學(xué)們，考考你們你們.求出

6、求出 及焦點(diǎn)坐標(biāo)及焦點(diǎn)坐標(biāo)cba, 222222221121422314 23642xyxyxyxy 答案：答案： 12,2,6(6,0),(6,0)abc 22,1,3(3,0),( 3,0)abc 32,2,6(0,6).(0,6)abc 43,2,5 ( 5,0),(5,0)abc變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練題后反思：求標(biāo)準(zhǔn)方程要做求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到先定型，后定到先定型，后定量。量。例例1、已知雙曲線的焦點(diǎn)、已知雙曲線的焦點(diǎn) F1(-5,0), F2(5,0)，雙曲線上，雙曲線上一點(diǎn)一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于8，求雙曲線的，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。標(biāo)準(zhǔn)方程。若若|PF1|-|PF2|=8呢？呢？221(0)169xyx 求焦點(diǎn)在求焦點(diǎn)在 軸上，經(jīng)過點(diǎn)軸上，經(jīng)過點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 .x)2,315(),3,2(思考思考: :如果方程如果方程 表示雙表示雙曲線，求曲線，求m的取值范圍的取值范圍. .22121xymm解解: :22121xymm 例例2 ：21得或mm (2)(1)0由m m 2m 同學(xué)們：恭喜通過第四關(guān)同學(xué)們：恭喜通過第四關(guān)雙曲線的定義雙曲線的定義雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程選做題：選做題：課