2013-2014學年高中數(shù)學321復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義教案新人教A版選修1-2(DOC)

1、13. 2.1復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義敷空教法分析陰漏赫方築解讀觀“數(shù)法戶聲魯號（教師用書獨具）三維目標1知識與技能掌握復數(shù)加減運算的法則及運算律，理解復數(shù)加減運算的幾何意義.2. 過程與方法在問題探究過程中，體會和學習類比、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法，感悟運算形成的基本 過程.3. 情感、態(tài)度與價值觀通過探究復數(shù)加減運算法則的過程，感悟由特殊到一般的思想， 同時由向量的加減法與復數(shù)的類比，理解復數(shù)加減的運算法則，知道事物之間是普遍聯(lián)系的哲學規(guī)律.重點難點重點：理解和掌握復數(shù)加減運算的兩種運算形式及加法運算律，準確進行加減運算， 初步運用加減法的幾何意義解決簡單問題.難點：復數(shù)加減法的幾

2、何意義及其應用.2授古略流程細躊同較 ”教案設計區(qū)I教學建議（教師用書獨具）3建議本節(jié)課采取自主探究式教學，這節(jié)課主要是復數(shù)的加減法運算，學生可以類比實數(shù)的加減法運算理解復數(shù)的加減法運算，讓學生自主探討例題 1 及變式訓練的解法，總結規(guī)律方法.在討論復數(shù)加法的幾何意義時，引導學生聯(lián)想向量的加法并運用平行四邊形法則來進行運算，復數(shù)減法的幾何意義， 可聯(lián)想向量的減法運用三角形法則來進行運算.教學中應讓學生對復數(shù)的加法與向量的加法是怎樣聯(lián)系起來并得到統(tǒng)一的過程做出探究.對于一些簡單的問題讓學生動手去做，讓學生起到主體作用，教師起到主導作用.教學流程創(chuàng)設問題情境，引出問題，引導學生思考兩個復數(shù)的和與差

3、的運算.讓學生自主完成填一填，使學生進一步了解復數(shù)加減運算的方法，及其滿足的運算律.由學生自主分析例題 1 的運算方法并求解， 教師只需指導完善解答疑惑. 并要求學生獨立完成變式訓練.學生分組探究例題 2 解法，通過引導學生畫圖， 認識復數(shù)與向量的對應關系，聯(lián)想向量運算的幾何意義，求出Z1+Z2，完成互動探究.完成當堂雙基達標，鞏固所學知識及應用方法并進行反饋矯正.歸納整理，進行課堂小結，整體認識本節(jié)所學知識，強調重點內容和規(guī)律方法.學生自主完成例題 3 變式訓練，老師抽查完成情況，對出現(xiàn)問題及時指導.讓學生自主分析例題 3，老師適當點撥解題思路，學生分組討論給出解法老師組織解法展示，引導學生

4、總結解題規(guī)律.1.熟練掌握復數(shù)的代數(shù)形式的加減法運算法則.（重點）2理解復數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結合”的思想解題.（難點）1心1復數(shù)代數(shù)形式的加減運算【問題導思】已知復數(shù)Z1=a+bi ,Z2=c+di（a,b,c,d R）.1多項式的加減實質是合并同類項，類比想一想復數(shù)如何加減？【提示】 兩個復數(shù)相加（減）就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加（減），即（a+bi） 土（c+di） = （ac） + （bd）i.2復數(shù)的加法滿足交換律和結合律嗎?理數(shù)材 白毬白測 固”基咄”自主學習恆I課標解讀4【提示】 滿足.5運算法則：設zi=a+bi ,Z2=c+di(a、b、c、d R)，則

5、1zi+Z2=(a+c)+ (b+d)i ,2zi-Z2= (ac) + (bd)i.(2)加法運算律：交換律Zi+Z2=Z2+Z1結合律(Zi+Z2) +Z3=乙 + (Z2+Z3). J復數(shù)加減法運算的幾何意義【問題導思】如圖，OiZ,OiZ分別與復數(shù)a+bi ,c+di 對應.1.試寫出OZ,OZ及OZ+OZ, OZOZ的坐標.【提示】OZ= (a,b),OZ= (c,d),OZ+OZ= (a+c,b+d),OZ-OZ= (ac,bd).2向量OiZ+OiZ,OiZOZ對應的復數(shù)分別是什么？【提示】OiZ+OiZ對應的復數(shù)是a+c+ (b+d)i ,OiZ(對應的復數(shù)是ac+ (bd)i

6、.6(1)復數(shù)加法的幾何意義如圖 3 2 1:設復數(shù)zi,Z2對應向量分別為OZ,OZ,四邊形OZZZ為平行四邊形,則與Zi+Z2對應的向量是OZ(2)復數(shù)減法的幾何意義7如圖 3 2 2 所示，設OZ,OZ分別與復數(shù)zi=a+bi ,Z2=c+di 對應，且OZ,OZ不 共線，則這兩個復數(shù)的差ziZ2與向量OZOZ(即NZi)對應，這就是復數(shù)減法的幾何意義.這表明兩個復數(shù)的差乙一Z2(即OZOZ)與連接兩個終點Zi,乙,且指向被減數(shù)的向量對應(1)(2 ,3i) + ( . 2 + #i) + 1 ;i 1 i 1(2)(23)(32)+i；(3)原式=(5 2 3) + 6+ ( 2) 3

7、i = 11i.I規(guī)律方法I復數(shù)的加減法運算就是把復數(shù)的實部與實部，虛部與虛部分別相加減.亜武 am已知復數(shù)z滿足z+ 1 + 2i = 10 3i，求z.【解】z+ 1 + 2i = 10 3i ,【思路探究】解答本題可根據復數(shù)加減運算的法則進行.【自主解答】(1)原式=(.2 .2) + ( ,3+2)i + 1= 1-i.(5 6i) + ( 2 2i) (3 + 3i).1 1 11 1鋸總互動探究頑垠難師生至動找“期竝. .*復數(shù)的加減運算例計算下列各題:13+2)+(23+1)i=6+6i.原式=(8 z= (10 3i) (2i + 1) = 9 5i.9復數(shù)加減法的幾何意義例設

8、OZ及0Z分別與復數(shù)Z1= 5 + 3i 及復數(shù) 乙=4 + i 對應，試計算Zi+Z2,并在復平面內作出OZ+OZ.【思路探究】利用加法法則求Z1+Z2,利用復數(shù)的幾何意義作出OZ+OZ.【自主解答】TZ1= 5+ 3i ,Z2= 4+ i ,zi+Z2= (5 + 3i) + (4 + i) = 9+ 4i OZ= (5,3) ,OZ= (4,1),由復數(shù)的幾何意義可知，OZ+OZ與復數(shù) 乙+Z2對應,OZ+OZ= (5,3) + (4,1) = (9,4).作出向量OZ+OZ=OZ如圖所示.1根據復數(shù)加減運算的幾何意義可以把復數(shù)的加減運算轉化為向量的坐標運算.2禾 U 用向量進行復數(shù)的加

9、減運算時，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.3復數(shù)加減運算的幾何意義為應用數(shù)形結合思想解決復數(shù)問題提供了可能.在題設不變的情況下，計算Zi-Z2,并在復平面內作出Oz-OZ.【解】Zi-Z2= (5 + 3i) (4 + i) = (5 4) + (3 1)i = 1+ 2i.OZOZ=Z2Z1,故OZOZ即為圖中Z2Z1.10復數(shù)加減法的綜合問題例 已知|z+ 1 i| = 1，求|z 3+ 4i|的最大值和最小值.【思路探究】利用復數(shù)加減法的幾何意義，以及數(shù)形結合的思想解題.【自主解答】法一一設w=z 3+ 4i , z=w+ 3 4i , z+ 1 i =w+ 4 5i.又 |z+1

10、i| = 1, - |w+ 4 5i| = 1.可知w對應的點的軌跡是以(一 4,5)為圓心，1 為半徑的圓.如圖所示，|可-=0+1,網min=411.(1)(2)法二由條件知復數(shù)z對應的點的軌跡是以(一 1,1)為圓心，1 為半徑的圓,而|z 3 + 4i| = |z (3 4i)|表示復數(shù)z對應的點到點(3 , 4)的距離， 在圓上與(3 , 4)距離最大的點為 A,距離最小的點為B,如圖 所示，所以 |z 3 + 4i|max=y41+ 1 , |z 3+ 4i|min= ! 41 1.I規(guī)律方法I|Z1Z2|表示復平面內Z1,Z2對應的兩點間的距離.利用此性質，可把復數(shù)模的問題轉化為

11、復平面內兩點間的距離問題，從而進行數(shù)形結合，把復數(shù)問題轉化為幾何圖形問題求解.孌武訓塔設Z1,Z2 C,已知 |Z1| = |Z2| = 1, IZ1+Z2| =2，求 |Z1Z2|.【解】 法一 設Z1=a+bi ,Z2=c+di(a,b,c,d R).由題意，知a2+b2= 1,c2+d2= 1.(a+c)2+ (b+d)2= 2,- 2ac+ 2bd= 0.2 2 2|Z1Z2| = (ac) + (bd)2222=a+c+b+d 2ac 2bd= 2.|Z1Z2| = 2.11法二 設復數(shù)Z1,Z2,Z1+Z2分別對應向量OZ,OZ,OZ12TIZi|=|Z2|=1,|Zi+Z2|=

12、2,平行四邊形0ZZZ2為正方形.| 乙一Z2| = | 乙乙| = |OZ=2.理思路硏甄禱法由”技巧”數(shù)形結合思想在復數(shù)中的應用典例復平面內點A, B, C對應的復數(shù)分別為 i,1,4 + 2i ,由g 4C-D按逆時針順序作?ABCD貝 U |BD|等于（）A. 5B. 13C. 15D. 17【思路點撥】出點D的坐標.首先由A、C兩點坐標求解出AC的中點坐標，然后再由點B的坐標求解y叫） （1,0）工【規(guī)范解答】3如圖，設D（x, y）,F為？ABCD勺對角線的交點，則點F的坐標為（2 ,） ,即X=3,y=3.所以點D對應的復數(shù)為z= 3 + 3i ,所以BD= OD 0B=3+ 3

13、i 一 1 = 2 + 3i ,所以 |BD= ,13.【答案】 B思維啟迪數(shù)與形是數(shù)學中兩個最古老、也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化.數(shù)形結合，不僅是一種重要的解題方法， 而且也是一種重要的思維方法.本章中有關復 數(shù)的幾何意x+ 1 = 4,所以y+ 0 = 3,13義包括三個方面： 復數(shù)的表示（點和向量）、復數(shù)的模的幾何意義及復數(shù)運算的幾14何意義.復數(shù)的幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結合這一重要的數(shù)學思想方法, 研究代數(shù)問題.解決此類問題的關鍵是由題意正確地畫出圖形，然后根據三角形法則或平行四邊形法則借助復數(shù)相等即可求解.1復數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結合律，復數(shù)的減法是加

14、法的逆運算.2復數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則復數(shù)減法的幾何意義就是向 量減法的三角形法則.當 童AZ基達標陡堂鐮生生工動達”趙標1. (2013濰坊市高二檢測)(2 2i) ( 3i + 5)等于()A. 2 iB. 3+ iC. 5i 7D. 2 + 3i【解析】(2 2i) ( 3i + 5) = (2 5) + ( 2+ 3)i = 3+ i.【答案】B2.在復平面內，點A對應的復數(shù)為 2+ 3i，向量寸應的復數(shù)為一 1 + 2i，則向量A對應的復數(shù)為()A. 1+ 5iB. 3 + iC. 3 iD. 1 + i【解析】EBA=OA-OB BA 寸應的復數(shù)為(2 + 3

15、i) ( 1 + 2i) = (2 + 1) + (3 2)i = 3+ i.故選 B.【答案】B3._ 實數(shù)x,y滿足(1 + i)x+(1 i)y= 2，貝 Uxy的值是_即通過幾何圖形來15【解析】/ (1 + i)x+ (1 i)y= 2,/xy= 1.【答案】14.設z1= 2+bi ,Z2=a+ i，當Z1+Z2= 0 時，求復數(shù)a+bi.【解】T乙 +Z2= 0, (2 +a) + (b+ 1)i = 0,2+a= 0,a= 2,b+1 = 0,b= 1.一、選擇題1 .設復數(shù)Z1= 2+ i ,z2= 1+ 2i，則復數(shù)z1Z2在復平面內對應點所在的象限是()A.第一象限B.第

16、二象限C.第三象限D.第四象限【解析】 乙一Z2= ( 2+ i) (1 + 2i) = ( 2 1) + (i 2i) = 3 i，故Z1z對應點的坐標為(一 3, 1)在第三象限.【答案】 C2.向量OZ對應的復數(shù)是 5 4i，向量OZ對應的復數(shù)是一 5+ 4i，則OZ+OZ對應的復數(shù)是()A. 10+ 8iC. 0【解析】 由題意可知OZ= (5 , 4) ,OZ= ( 5,4), OZ+OZ對應的復數(shù)是 0.【答案】 C3.復數(shù)滿足 1 z+ 2i (3 i) = 2i，貝Uz=()X+y= 2,xy= 0.解得 e xy= i.復數(shù)i.a+bi靜方知能檢測潯下測自我評怙捉“老麻B.

17、10 8iD. 10 + 8i0Z+0Z= (5 ,4) + ( 5,4) = (5 5, 4+ 4) = (0,0)16A. 1 iC. 2+ 2i【解析】z= 1 + 2i 3+ i 2i = 2 + i.【答案】B4.已知復平面內的平面向量OA云B表示的復數(shù)分別是一 2+ i,3 + 2i，則向量3斷表示 的復數(shù)的模為( )A. 5B. 13 C. 10 D. 26【解析】OB= OAFAB向量OB寸應的復數(shù)是(一 2+ i) + (3 + 2i) = 1 + 3i，且 |1 + 3i| = 1 + 9= 10.【答案】C5.復數(shù)Z1=a+ 4i ,Z2= 3 +bi，若它們的和為實數(shù)，

18、差為純虛數(shù)，則實數(shù)a,b的值 為()A.a= 3,b= 4B.a= 3,b= 4C.a= 3,b= 4D.a= 3,b= 4【解析】由題意可知 乙+Z2= (a 3) + (b+ 4)i 是實數(shù)，Z1Z2= (a+ 3) + (4 b)i 是純虛數(shù)，故七+ 4 = 0,a+ 3 = 0,解得a= 3,b= 4.,4 bz 0,【答案】A二、填空題6._ 復數(shù)Z1、Z2分別對應復平面內的點M、M,且|Z1+Z2| = |Z1Z2|，線段MM的中點M對應的復數(shù)為 4 + 3i，則|乙|2+ |Z2|2等于=.【解析】根據復數(shù)加減法的幾何意義，由|乙+Z2| = |Z1Z2|知，以OM OM為鄰邊的

19、平行四邊形是矩形(對角線相等)，即/MOM為直角，M是斜邊MM的中點，|OM=訂 42+ 32= 5,|MM| = 10.| 乙|2+ |Z2|2= |3M2+ |OM|2= |2= 100.【答案】100B. 2+ iD. 2+ i17圖 3 2 37. (2013大連高二檢測)在平行四邊形OABC中，各頂點對應的復數(shù)分別為ZO=0,ZA=2 +|i ,ZB=2a+ 3i ,ZC=b+ai，則實數(shù)ab為_ .18【解析】 因為OA+OC=OB所以 2 + 2i + ( b+ai) = - 2a+ 3i ,所以2b=2a,*a得ab= 4.尹a=3,【答案】 48.A B分別是復數(shù)Zi、Z2在

20、復平面上對應的兩點，0是原點，若|zi+Z2I = |ziZ2I ,則厶AOB勺形狀是_ .【解析】 由|zi+Z2| = |ziZ2|知，以OA OB為鄰邊的平行四邊形是矩形，即OAL 0B故厶AOB是直角三角形.【答案】 直角三角形三、解答題9. 計算：(1) (1 + 2i) + (3 4i) (5 + 6i);(2) 5i (3 + 4i) ( 1 + 3i)；(3) (a+bi) (2a 3bi) 3i(a、b R .【解】(1)(1 + 2i) + (3 4i) (5 + 6i)=(1 + 3 5) + (2 4 6)i = 1 8i.(2) 5i (3 + 4i) ( 1 + 3

21、i) = 5i (4 + i) = 4 + 4i.(3) (a+bi) (2a 3bi) 3i = (a 2a) + b ( 3b) 3i=a+ (4b 3)i.10. 已知Z1= (3x+y)+ (y 4x)i ,Z2=(4y 2x) (5x+ 3y)i(x,yR)，設z=Z1乙=13 2i，求Z1,Z2.【解】Z=乙一Z2=(3x+y) + (y 4x)i (4y 2x) (5x+ 3y)i=(3x+y) (4y 2x) + (y 4x) + (5x+ 3y)i=(5x 3y) + (x+ 4y)i ,又Tz= 13 2i，且x,y R, Z1=(3X21)+(14X2)i=59i,Z2=

22、4X(1)2X25X2+3X(1)i= 87i.5x 3y= 13,x+ 4y= 2,解得x=2,y= 1,1911 .設f(z) =z 2i ,Z1= 3+ 4i ,Z2= 2 i，求：(1)f(Z1Z2)的值；(2)f(Z1+Z2)的值.【解】/ 乙=3 + 4i ,Z2= 2 i , Z1Z2= (3 + 4i) ( 2 i) = (3 + 2) + (4 + 1)i = 5 + 5i ,zi+Z2= (3 + 4i) + ( 2 i) = (3 2) + (4 1)i = 1 + 3i.-f(z)=z 2i ,- (1)f(ZiZ2)=乙一Z2 2i = 5 + 5i 2i = 5+ 3i ;(2)f(Z1+Z2) =Z1+Z2 2i = 1 + 3i 2i = 1 + i.敷申 fi?i果資源易拓展兇封施數(shù)爾“視弩戶蠱畏節(jié)（教師用書獨具）簽選題在厶ABC中，角A B C所對的邊分別為a、b、c,設復數(shù)Z=COSA+ isinA且滿 足 |z+ 1| =1.（1）求復數(shù)z；bc求訐的值.acus b U +C【思路探究】 本題主要考查復數(shù)的概念、代數(shù)運算及以復數(shù)為載體解三角形的知識.把復數(shù)z+ 1 的模轉化為它對應的向量的模，從而求出A,第問利用正弦定理把邊轉化為