2021屆浙江省百校高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題(解析版)

1、2021屆浙江省百校高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題_、單選題1. 已知集合P = xgR|0<x<4,集合Q = xeRx2-2x<0，則M0=( ) A. x|0<x<2 Bx|0<x<2 Cx|0<a-<4 d. x2<x<4【答案】B【分析】解不等式確定集合0,然后由交集定義計算.【詳解】由題意可得e = x|0<x<2, Pr>Q = x<x<2.故選：B.2. 已知aeRf若學聖= 3 + 1,則()1 + 1A. 2B. -2C. 3D. 4【答案】D【分析】將三¥ = 3 +

2、1,變形為2 + «1 =(3+1)(1 + 1),利用復數(shù)相等求解.【詳解】因為士1 = 3 + 1,1 + i所以 2 + ai =(3 + i)(l + i) = 2 + 4i,所以a = 4.故選：D.3. 在九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬. 已知四棱錐S-ABCD為陽馬，SD丄底面ABCD,其三視圖如圖所示，正視圖是等腰 直角三角形,其直角邊長為2,俯視圖是邊長為2的正方形，則該陽馬的表面積為( )俯視圖A. 4>/2 + 8B. 4>/2+4C. 8【答案】A8第1頁共19頁l:2x-y=05. 已知函數(shù)/（x） = x2-

3、log2|%|,其圖象可能是（）【答案】A【分析】利用奇偶性排除B和C,利用不等式放縮判斷D【詳解】根據題意，函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，有兩個零點為X = ±l, 排除 B 和 C,又當 x>2 時 /（x） = x2-log2 |x|>X2,排除 D 故選：A.【點睛】方法點睛：由解析式判斷圖像主要從定義域，奇偶性，單調性，特殊值等方面 考慮6. 已知abeR,條件":a>bf條件q： lg«>lg/?+l,則卩是q的（）A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據充分性、必

4、要性的定義，結合對數(shù)的運算性質和對數(shù)函數(shù)的性質進行判斷第3頁共19頁即可.【詳解】若lgo>lgb+l,則有l(wèi)gd>lglOb,因此有o>10b>0,故d>b；反之，若a>b,當其中有負數(shù)時，Q不成立，故P是Q的必要不充分條件.故選：B7. 設仟，&分別是橢圓G和雙曲線C,的公共焦點，P是的一個公共點，且11 <11，線段PF的垂宜平分線經過點若G和C,的離心率分別為勺，S，則股的值為（【答案】A【分析】設雙曲線G的方程為卡卡=1,根據題意，得到| = | = 2c,又由雙曲線的定義，求得所以可= 2c-2d,根據橢圓的定義，求得長半軸af =

5、 2c-a, 結合離心率的定義，即可求解.2 2【詳解】設雙曲線C,的方程為二一=1（°0丄>0）,焦點代仏0）, 因為線段PR的垂直平分線經過點F,可得PF2 =応耳| = 2c , 又由用<|啓根據雙曲線的定義可得竹|；| = 2c可=2 所以用=2。一2°,設橢圓的長軸長為2N,根據橢圓的定義,可得可+|P/l = 2c+2c-2a = 2a,解得ar = 2c-af11 a a ?c a a故選：A.【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的解題策略：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率J2、齊次式法：由已知條件得出關于d,c

6、的二元齊次方程，然后轉化為關于e的一元二 次方程求解：3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.&已知數(shù)列是首項為d,公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列$滿足切嚴寧.若對任意的/?gN都有b>b5成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A. -6,-5B. (-6,-5)C. -5,-4D. (-5,-4)【答案】D【分析】依題意，由對n g N4都有bn > b5成立，即丄 >,利用數(shù)列仇的單調性, 建立不等量關系，進一步利用。6>°，求出實數(shù)。的取值范I韋1.1+匕1.【詳解】由己知® = =+1 仇 5對皿M都有bn>b5成立,即丄4丄+】，

7、即旦丄an 勺又數(shù)列。”是首項為公差為1的等差數(shù)列, :.an=a + n-l且數(shù)列色是單調遞增數(shù)列，當"is時，-0,5 + a lvO所以a5 <0,儀。，即彳，j 解得一5vg<-4.6 + a-l>0即實數(shù)"的取值范圍是(一5,-4)故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列通項公式及數(shù)列單調性的應用，解題的關鍵是 要利用數(shù)列的單調性結合已知條件得到a5 <0,。6>°，建立關于a的不等式，考查學 生的轉化思想與邏輯思維能力及運算能力，屬于中檔題.、ax2 -2x + l(x<0),9已知函數(shù)f) = x 、仁有兩個零

8、點，則實數(shù)。的取值范圍是()-e +ax-e (x> 0)A. (e,-Ko)B. (e2,+co)c.(0,e2)D.(0,e)【答案】B【分析】分離變量，利用導函數(shù)應用得到函數(shù)在x<0無零點，則x>0有兩個零點，利用函數(shù)最值得到參數(shù)范【韋I【詳解】當x = 0時，/(O)= -l-e2, AX= 0不是函數(shù)/(x)的零點當xvO時，由/(x) = 0,得。=召二，設/?(/)=彳二，/f(x)= 2(一 ')<0,則(x)在(一迪0) X"X-' '開 3上單調遞減，且/?(¥)<0.所以XV0時無零點 d 

9、3;( 八川“ 丁 £' +£， 人 z x ex + e2 - 、 xex -ex -e2 占x>0時，/(兀)=0等價于° = 一-一,令g(x) = 一-一，g (x) =二,X久得g(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,4-00)上單調遞增，g(X)込=g(2) = e2,g(x)>e2.因為f(x)有2個零點，所以r/>e2.故選：B.【點睛】分離變量法，利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，極值是解題關鍵.10. 在正四面體ABCD中，M, N分別為ADf BC的中點，P為線段MB上的動點(包括端點)，記PN與CD所成角的最小值為PN與平面

10、BCD所成角的最大值為“，則()A. a = pB. a> /3c. a<pd. a + 0 = f【答案】c【分析】由最小角、最人角定理得到PN與CD所成最小角為CD與平面3CM所成的角，PN與平面3CD所成最人角為二面角M - BC-D求解.【詳解】如圖所示：由最小角、最大角定理得：PN與CD所成最小角為CD與平面BCM所成的角,在正四面體中，因為AD丄MC.AD丄=所以4D丄平面BCM,所以CD與平面BCM所成的角為ZDCW ,所以 tan a = tan NDCM =出2 =,MC 3PN與平面3CQ所成最大角為二面角M BCD,同理得：丄平面MND,所以二面角M BCDd

11、平面角為ZMVD,所以 tan 0 = tan N DNM =MD yf2吊_T因為a、卩w第17頁共19頁所以a<p.故選：c.二、填空題11. 若實數(shù)X, y滿足條件T 一b = 2,且氏+ vM,則M的最小值為.2對 x【答案】2【分析】由%2-r = 2可將+變形，然后利用換元法結合二次函數(shù)的單調性即2對 x可求解.【詳解】因為%2-r = 2,所以令2f x2 對x 4 (x 丿+ 2上+丄令丄二，有才尸=2,則扌=厶0,因此re(-1,1),x1-r則z = -r+ 2r+-<2,所以m的最小值為2.44故答案為：2【點睛】本題主要考查函數(shù)最值及其幾何意義，解題的關鍵是

12、利用換元法將本題轉化成 二次函數(shù)求最值問題，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題.12. 已知平面向量 a, b f c, 2 滿足 a = b =1, |c| = 2 , ab = O » c d = 1,則 2方+ D +可的取值范圍為.【答案】0,石+3【分析】用幾何意義求解.不妨設= (1,O), h = (O,l), 2 = (x,y),則C(x, y)在圓心在原點，半徑為2的圓上，設J = (</),則D(x'，V)在以C為圓心半徑為1的圓 上，C運動后，D形成的軌跡是圓心在原點，大圓半徑為3,小圓半徑為1的圓壞， 莎+乙+可表示圓環(huán)內的點D與定點P(2,-1)的

13、距離，由圖形可得最大值和最小值. 【詳解】令a = (1,0), g = (o,l), c = (x,y)，設C的坐標為(兀,y), C的軌跡為圓心 在原點，半徑為2的圓上.設J = (</), D的坐標為(兒)/), D的軌跡為圓心在原點，大圓半徑為3,小圓半 徑為1的圓環(huán)上.宙+方+ 2卜卩一(一2, 一 1)|表示D與點P(-2,-l)的距離， 由圖可知，故陋+乙+可的取值范圍為0“+3故答案為：+ 3【點睛】本題考查向量模的幾何意義，考查模的最值,解題關鍵是設方=(1,0), 5 = (0,1), c = (x,y), ? = (/,/)，固定&上后得出了 CQ的軌跡，然

14、后由模莎+ 5 +可的幾 何意義得出最值.則°的最小值為3【答案】e【分析】不等式等價變形4x - lii（3x） <必' 一 In a O 3x - lii（3a ） < aex - In （a"）,利用同構函數(shù)/（x） = x-liix的單調性得解【詳解】4x-ln（3x） <aex -InaO3x-ln（3x） <aex-naxO 3a - lii（3a ） < aex 一 In （aw'）令f（x） = x-nxf f（x） = l一丄=乞丄,f（X）在l,+8）上單調遞增 T d > 1, X G j-KX）/.

15、 3x,aex w1,七),.- <=>3x<aex O <a恒成立， ex2r2_ a r令 (X)=,只需 Cl >, g'(x) = ,ee x w g,l),g'(x) > O,g(x)單調遞增， X e (l,+oo), gx) < 0, g(x)單調遞減，：.X = 1時，g(x)的最大值為一，e33: aX $ ： a的最小值為ee3故答案為：-【點睛】不等式等價變形，同構函數(shù)f(x) = x-nx是解題關鍵.三、雙空題14-已知S*各且計彳），貝T=sin 2x+l +cos 2x【答案】|6羽【分析】根據X的范圍利用平

16、方關系求出余弦，即可求得正切,sill2牙 +1 + cos2x_ 2忑(sillXC0SX+cos2 x)利用二倍角公式化簡冗、7tcos2 x-sinxcosx,利用商SillXSillX< 2丿<4丿數(shù)關系求解【詳解】由題：且所以gsx=巫,2 sin x cos x+2 cos2 x/ / 、7V71XSillX1 2丿<4丿sm2x+l + cos2x沁cosx(smx-cos2>/2 (sin x cos x+cos2 x)cos" x-smxcosx2 ->/2 (tanx + 1)1 一 tan x= 6y/2故答案為：6忑15, 已知(

17、l + x)(2-x)4 = a0 + aAx+a2x2 + n3x3 + a4x4 + ci5x5,則$ =>a + ci2 + a4 =.【答案】161【分析】根據(1 + %)(2-x)4 =+a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5,由(2-x)4 第三項和第四項兩類求解：分別令x=l和x = -l求解.【詳解】因為(l + x)(2-x)4 =+ ax+a2x2 + ci3x3 + a4x4 + a5x5,所以好 C：2(T)+ C：2i,令兀=1得兔+厲+冬+厲=2 ,令兀=一1 得。0-4+冬一偽 +。4 一= 0,所以 aQ + a2+a4 = i,故答案為：1

18、6, 116. 拋物線 尸-4亍的焦點在直線/： 2x+® + l = 0上，則加=,若焦點在y軸上的雙曲線的一條漸近線與直線/平行，則雙曲線的離心率為【答案】16局【分析】寫出拋物線方程的標準形式，可知拋物線的焦點坐標，代到直線中即可求出 用的值；由的結果可求出直線的斜率，又雙曲線焦點在y軸，可知漸近線方程為: y = ±：x,根據平行可求出的關系，從而求出離心率.b1(1 【詳解】解：拋物線方程為十=-y ,焦點坐標為0薔,在直線4，I16丿2x+y + l = 0 上，則有加= 16；：直線/為2x+16y + l = 0,斜率為R = -一，因為雙曲線焦點在y軸上，

19、所以雙曲8線漸近線方程為：y = ±yx,即y = -,則有2 = 8,所以離心率為：' b b 8aV &丿故答案為：16； V65.【點睛】易錯點睛：（1）求拋物線焦點坐標，先寫出拋物線的標準形式：（2 ）已知雙曲線的漸近線方程，必須先討論雙曲線焦點的位置，當焦點在X軸時，漸 近線為y = ± x,當焦點在），軸時，漸近線為y = ±-x.ab17一袋中有除顏色不同其他都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球，從中任意取出 3個，有黃球的概率是,若纟表示取到黃球球的個數(shù)，則£（歹）=【答案】-105【分析】從中任意取出3個，基本事件總數(shù)“

20、=C；=10,其中有黃球包含的基本事件 個數(shù)?=C；C； + C；C；=9.由此能求出有黃球的概率；g表示取到黃球的個數(shù)，則g 的所有可能取值為0, 1, 2,分別求出相應的概率，由此能求出E ©.【詳解】一袋中有除顏色不同其他都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球，從中任意取出3個，基本事件總數(shù)n= C； =10,其中有黃球包含的基本事件個數(shù)w=c；q + cjc； =9. 有黃球的概率是p= =U90 g表示取到黃球的個數(shù)，則g的所有可能取值為o, I, 2,P (g=0) p (g=l)P (g=2)636.E© =0x- + lx_ + 2x- = -.故答案為：善,

21、？【點睛】思路點睛：先求出基本事件總數(shù)，再求出黃球包含的基本爭件個數(shù)，由古典概型的概率公式運算即可広表示取到黃球的個數(shù)可能取值為0, 1, 2,分別求出相應的概 率，則求出E (©)sin A - sin C bsin B sin C a + c四. 解答題18. 在A3C中，角4, B, C的對邊分別為b, c,(I)求角4的大小;(U)若43C為銳角三角形，且a = 2,求厶ABC周長的取值范圍.【答案】(I ) 4 =彳：(II)(2 + 2點6).【分析】(I )根據=利用正弦定理化簡得到b2+c2-a2=bc sin B 一 sin C a + c然后再利用余弦定理求解.(

22、II)結合a = 2, A = -,在43C中利用正弦定理得到3/?+c = sm+smf -"|=4sinf F + 芻,再根據A3C為銳角三角3 3 I 3丿 I 6丿形，求得B的范憐I,利用三角函數(shù)的性質求解.【詳解】(I)因為sin A - sin Csin B - sin C由正弦定理可得 =L,即為b2 + c2-cr=bc. b-c a + c由余弦定理可得® =所以A=-3a b c(II)在厶ABC中由正弦定理得龍一 smB 一 sinC ，又a = 2, sm 3用7以“ =isinB, c =sinC =sinf b333 I 3 丿所以b+c=芋訕+

23、羋沁耳一町=4 sill因為ABC為銳角三角形,所以<所以-<B<-且工蘭,623所以<sinf B + 蘭vl,2 I 6丿所以 b + ce (25/3,4), 所以“WC周長d+b+c的取值范圍是(2 + 273,6).【點睛】易錯點點睛：第二問在確定角B的范I制時，容易忽視sinSsinCHO,結合 4 =亍即B工彳的條件.19. 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，TAPE = ZBPD = ZAPD = 60。,PB = PD = BC = CD = 4, AP = 6.(I )證明：AP丄BD；(D)求PC與平面PAD所成角的正弦值.【答案】證明見解析；5)

24、畔【分析】(【)由線面垂直證得線線垂直；(II)根據條件證得ED，E4，EP兩兩垂直,以此建立空間直角坐標系，利用向量 法求線面角的正弦值.【詳解】解：(I )因為= APD = 60°, PD=PB,所以所以4T)= AZr取3D的中點E，連接AE，PE，所以4E丄3£>, PE丄BD,又AEcPE = E,所以BD丄平面FAE.又APu平面FAE，所以A尸丄3£>.AB(II)在ZVIPB 中，根據余弦定理得 AB2 = AP2 + PB-7. AP PB-cos60° = 28 »所以AB = 2打,又因為BE = 2,所以A

25、E = 2書,PE = 2*,所以 AP2 = AE2 4- PE2» 即 4E丄 PE又因為 PE 丄 DB，AEcDB = E, AE, D3u 平面 ABCD,所以PE丄平面ABCD.如圖，以E為原點，分別以£Q, EA,空所在直線為x軸、)'軸、Z軸建立空間直 角坐標系E-xyz,y則 A（0,2>/6,0）, £>（2,0,0）, P（0,0,2省）,C（0,-2$,0）, AD =（2,-26,0）, dP = （2,0,25/J）, 疋=（0,-2前,一2笛）. 設平面PAD的法向量為；=（x, y, z）,2x-2>/6y

26、 = 0,nDP = O,亠+2辰=。令円則7'設PC與平面PAD所成角為0,sin& =cos俘，和2f；護=2 + >/26所以PC與平面町所成角的正弦值為菩.【點睛】利用向量求直線與平面所成的角有兩個思路：（1）分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向屋，轉化為求兩個方向向量的夾 角（或其補角）.（2）通過平面的法向量來求.若直線/與平面Q的夾角為0,直線/的方向向量7與平面&的法向量；;的夾角為0,則0 = -fl或& = 0-蘭，故有sm0=|cos0| =2 220. 已知數(shù)列a的前川項和為s”，且q =6f/r+1 = 25 +l（/ie

27、7VJ,數(shù)列$滿足 A = l,（1）求數(shù)列、$的通項公式；（2）若數(shù)列匕滿足=且q + °+。腫（2乞一1）幾+ 1對任意wN+恒O9l S+1成立，求實數(shù)兄的取值范圍.【答案】（1） a”=3”T（wN+）,億=丄一 叫一亍.【分析】（1）本題首先可根據a”+i = 2S” +1得出= 2S”t + 1,然后兩式相減，得出%嚴3% 再根據冬=3勺即可得出6 = 3 最后根據題意得出b卄=通過+1累加法即可求出/? =” 2（2）本題首先可根據C=T-得出,=2J然后通過裂項相消 億如U】+ 1 3'+1丿法求出數(shù)列c”的前川項和人，再然后將盜（2Z?z,-1）2 + 1對

28、任意“ G N+恒成立轉化2為aw 一 一、,最后令（3“ + 1）3“ 1'）minf = 3"T，取21，即可求出>1的最人值以及取值范闈.【詳解】（1）因為勺=1, % = 2Sn + 1（/ wN）所以毎=2SW + 1（heN存n>2）,則Q卄=2（S廠Sj 即%廠勺= 2%, an+1=3a/t（neNn>2）9因為 = 2q + 1 = 3, ci2 = 3 ,所以數(shù)列色是以1為首項.3為公比的等比數(shù)列，«zl =3（/? eTVj,因為s+叫,所以即gm則 9 =（“勺 J + g-巾2 ） + + （E - 也）+ 玄=3心+3心

29、 + + 3° + 1 =3°x（l-3t）+1 =1-33心+ 12C -5-（1” *嘰"3心 + 1、（3心 + 1）（3”+1）< 3"T + 1< 2 J1 2丿（2）13”+1 丿,令 7L=q + q + C3 +3° + 1 3X + 1 丿W + 1 32+14F則 Tn=23+1 丿23+1因為7；,>（2-1）2 + 1對任意mgN+恒成立,> 2x1 幾+ 1對任意 w N*恒成立,2 -2令=_（3” +1） 3心=3（3”t+ 3心'r = 3，_1-b則尸暑，當曰時，即當心時取到最小

30、值冷,故"V，實數(shù)兄的取值范圍為【點睛】方法點睛：常見的數(shù)列的通項公式求法有：公式法、S”與關系法、累加法、 累乘法、構造法，常見的數(shù)列的前項和求法有：等差等比公式法、裂項相消法、錯位 相減法、分組求和法、倒序相加法.2 221. 已知橢圓C： 2 + £ = l（db0）的長軸長為4,焦距為2婦cr b（I）求橢圓C的標準方程；（H）設直線/： y = kxm與橢圓C交于P, 0兩個不同的點，且O POQ = Ot 0為 坐標原點，問：是否存在實數(shù)兄，使得|范| =彳麗卜|苑|恒成立？若存在，請求出實 數(shù)1,若不存在，請說明理由.【答案】（I ） +r = 1； （II）

31、存在，入=邑4 -2【分析】（I）根據橢圓的長軸長公式、焦距公式進行求解即可；（II）根據平面向量垂直的性質，結合三角形面枳公式、點到直線距離公式、一元二次 方程根與系數(shù)關系進行求解即可.【詳解】解：（I ）由題意可知0 = 2, c = JT，=/c'=l，r*橢圓C的標準方程為一 + y2=l.4丿（II）因為OPOQ = 0,所以OP0為直角三角形，設原點到直線/的距離為d, 由S世冷網冷阿岡,要求實數(shù)兄，使得岡=2阿網恒成立，即2 = 1.工 + 2=設點P（“yJ, 0（召，“），聯(lián)立方程5 4 +）'y = kx + m,:.（1 + 4£'）扌

32、+ 8燈農+4腫 一4 = 0 ,-Skin1 + 4 = （8如7）24（1 + 4疋）（4屛4）0二vl + 4/,所以有-4第18頁共19頁: OP oQ = 0 , ： xYx2 + yy2 =4nr - 4 -4k2 + /n2 l + 4k2 + l + 4k25” 一4一4£2l + 4k2:=4 + 4k2，45廠 .z x4m2k2 -4k2 -Sk2m2 +nr + 4k2nr -4k2 + nr1 + 4*2開兒=k"、+ 如7 (% + xj + nr =第20頁共19頁【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是通過三角形面積公式由S“。0嶺網7 =扌網回|與已知網沖阿網相聯(lián)系，得到A = l.22. 已知函數(shù)f(x) = c'-ax+snix-L.(I)當a = 2時，求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間;(U)當l"v2時，證明：函數(shù)/'(x)有2個零點.【答案】(I)/(x)在(y>,0單調遞減，在(0,+“)單調遞增；(1【)證明見解析.【分析】(I)代入Q的值，求出函數(shù)的導數(shù)，確定導數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調 區(qū)間；(H) x = 0是/'(x)的一個零點，通過討論;I的范圍，結合a的取值范圍，求出廣(x) 的單調性，得到/(x)在(-龍,0)上有1個零點，從而證明結論.【詳解】(I )當67