對面積的曲面積分基礎(chǔ)教學(xué)

1、第四節(jié)第四節(jié) 對面積的對面積的曲面積分曲面積分概念的引入概念的引入對面積的曲面積分的定義對面積的曲面積分的定義對面積的曲面積分的計(jì)算法對面積的曲面積分的計(jì)算法第一類曲面積分第一類曲面積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分1蒼松優(yōu)選蒼松優(yōu)選引例引例: 設(shè)光滑曲面形構(gòu)件有連續(xù)面密度設(shè)光滑曲面形構(gòu)件有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用采用可得可得求質(zhì)求質(zhì) “大化小大化小, 近似代替近似代替, 求和求和, 求極限求極限” 的方法的方法,量量 m.其中其中, 表示表示 n 小塊曲面的直徑的小塊曲面的直徑的 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距

2、離的最大者). 最大值最大值),(iii ),(zyx 一、概念的引入一、概念的引入對面積的曲面積分對面積的曲面積分 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都即曲面上各點(diǎn)處都有切平面有切平面, ,且當(dāng)點(diǎn)在且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí)曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí), ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng). .1. 定義定義is (上上為為設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)iiiis ),(,),(iiiisf ,),(1iiiniisf ,0時(shí)時(shí) is 函數(shù)函數(shù) f(x, y, z)在在上上任意取定的點(diǎn)任意取定的點(diǎn),并作和并作和如果當(dāng)各小塊曲面的直徑如果當(dāng)各小塊曲面的直徑這和式的極限存在這和式的極限存在,則則的最大值的最大值對面積的曲面積分

3、對面積的曲面積分二、對面積的曲面積分的定義二、對面積的曲面積分的定義 第第i 小塊曲面的面積小塊曲面的面積),作乘積作乘積設(shè)曲面設(shè)曲面是光滑的是光滑的,同時(shí)也表示同時(shí)也表示有界有界.把把 任意分成任意分成n小塊小塊xyoz ),(:yxzz ),(iii ) ,(ii is xydxyi)( 在在),(zyxf或或.d),( szyxf記為記為即即如曲面是如曲面是 曲面面積元素曲面面積元素被積函數(shù)被積函數(shù)則積分號(hào)寫成則積分號(hào)寫成iiiniisf ),(lim10 szyxfd),(積分曲面積分曲面iiiniisf ),(1稱稱極限為函數(shù)極限為函數(shù)上上在曲面在曲面 對面積的曲面積分對面積的曲面積

4、分第一類曲面積分第一類曲面積分. .閉曲面閉曲面, ,對面積的曲面積分對面積的曲面積分則則及及可可分分為為分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21 1d),( szyxf szyxfd),(2. 對面積的曲面積分的性質(zhì)對面積的曲面積分的性質(zhì) 2d),(szyxf3. 對面積的曲面積分的幾何意義對面積的曲面積分的幾何意義表示空間曲面表示空間曲面的面積的面積. . sad1時(shí)，當(dāng)1),(zyxf對面積的曲面積分對面積的曲面積分 表示以曲面表示以曲面為頂為頂,它在坐標(biāo)面的投影為它在坐標(biāo)面的投影為底的曲頂柱體的體積底的曲頂柱體的體積.5蒼松優(yōu)選蒼松優(yōu)選 4.對面積的曲面積分的物理意義對面積的曲面積分的物

5、理意義表示面密度為連續(xù)函數(shù)表示面密度為連續(xù)函數(shù);d),( szyxm的質(zhì)量的質(zhì)量m: 的光滑曲面的光滑曲面),(zyx對面積的曲面積分對面積的曲面積分其質(zhì)心坐標(biāo)為其質(zhì)心坐標(biāo)為:,d),(1 szyxxmx,d),(1 szyxymy.d),(1 szyxzmz6蒼松優(yōu)選蒼松優(yōu)選, yxf szyxfd),(: 若曲面若曲面則則按照曲面的不同投影方向分為以下三類：按照曲面的不同投影方向分為以下三類：思想是思想是:化為二重積分計(jì)算化為二重積分計(jì)算. .),(yxzyxzzyxdd122 xyd),(yxzz (1)對面積的曲面積分對面積的曲面積分三、三、對面積的曲面積分的計(jì)算法對面積的曲面積分的計(jì)

6、算法 ,zxf szyxfd),(則則 ,zyf szyxfd),(：若曲面若曲面 則則xzdyzd),(zyxzyxxzydd122 (2)(3),(zyxx : 若若曲曲面面),(zxyy ),(zxyzxyyzxdd122 對面積的曲面積分對面積的曲面積分2 2、確定投影域并寫出、確定投影域并寫出 并并算出曲面面積元素算出曲面面積元素d ds.s.3、將曲面方程代入、將曲面方程代入被積函數(shù)被積函數(shù), ,計(jì)算面積的曲面積分的解題步驟：計(jì)算面積的曲面積分的解題步驟：1 1、應(yīng)根據(jù)、應(yīng)根據(jù)化為二化為二曲面曲面選好投影面選好投影面. .曲面曲面的顯函數(shù)形式的顯函數(shù)形式, ,重積分進(jìn)行計(jì)算重積分進(jìn)

7、行計(jì)算. .對面積的曲面積分對面積的曲面積分xyzo例例解解yz 5投影域投影域:25| ),(22 yxyxdxy5,d)( zyszyx為平面為平面其中其中計(jì)算計(jì)算 2522 yx被被柱柱面面所截得的部分所截得的部分.: 曲面曲面 szyxd)(xydy 52yxdd故故 )(yx xydyxxdd)5(2 2125 xydyxdd52二重積分二重積分的對稱性的對稱性 補(bǔ)充補(bǔ)充設(shè)分片光滑的設(shè)分片光滑的 szyxfd),(x的奇函數(shù)的奇函數(shù)x的偶函數(shù)的偶函數(shù).d),(21 szyxf. 0),(:1 zyxx 其中其中 , 0則則曲面曲面關(guān)于關(guān)于yoz面對稱面對稱, ,為為當(dāng)當(dāng)),(zyxf

8、為為當(dāng)當(dāng)),(zyxf對面積的曲面積分對面積的曲面積分解解 依依對稱性對稱性知知 成成立立 1 422yxz | xyz.為偶函數(shù)為偶函數(shù)、關(guān)于關(guān)于xy ,d|sxyz計(jì)算計(jì)算).10(22 zyxz為拋物面為拋物面其中其中 例例面均對稱；面均對稱；面、面、關(guān)于關(guān)于yozxoz拋物面拋物面有有對面積的曲面積分對面積的曲面積分被積函數(shù)被積函數(shù)1 為第一卦限部分曲面為第一卦限部分曲面.xyzoyxyxsdd)2()2(1d22 sxyzd41 xy4極坐標(biāo)極坐標(biāo)12222004dcos sin14drrrr rxyd )(22yx yxyxdd)2()2(122 sxyz d| 投影域：投影域：0

9、, 0, 1| ),(22 yxyxyxdxy2152002sin2 d14drrr uuud)41(41251 42015125 u對面積的曲面積分對面積的曲面積分積分曲面積分曲面22:(01)zxyz例例所圍成的空間立體的表面所圍成的空間立體的表面. ,dsx計(jì)算計(jì)算, 122 yx是圓柱面是圓柱面其中其中 02 zxz及及平面平面對面積的曲面積分對面積的曲面積分zxyozxyozxyo解解 2d sx 1 2 3 1d sx dyxxdd0 dyxxdd110 0 z2 xz122 yx投影域投影域1:22 yxd對面積的曲面積分對面積的曲面積分例例所圍成的空間立體的表面所圍成的空間立體

10、的表面. ,dsx計(jì)算計(jì)算, 122 yx是圓柱面是圓柱面其中其中 02 zxz及及平面平面對稱性對稱性zxyozxyo(左右兩片投影相同左右兩片投影相同)zxyyszxdd1d22 zxxdd112 sxd1:223 yx 將將投影域投影域選在選在面上面上xoz注注21xy 分成左、右兩片分成左、右兩片 3d sx sxd31 sxd32 31 2 x2xzdzxxdd112 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 zxxxdd122 01 2 x12 xz sxd 00對稱性對稱性xzo11 zxyo計(jì)算計(jì)算,d)(23szyxx 其中其中為球面為球面222yxaz 之位于平面之位于平面 曲面曲

11、面的方程的方程在在xoy面上的面上的投影域投影域2222:hayxdxy 解解222yxaz 2222:hayxdxy )0(ahhz 上方的部分上方的部分.對面積的曲面積分對面積的曲面積分zxyo2222:hayxdxy 因曲面因曲面于是于是)(22haa szd00 222yxa yxyxaadd222 x3是是x的奇函數(shù)，的奇函數(shù)， x2y是是y的奇函數(shù)的奇函數(shù).szyxxd)(23 222yxaz xyd關(guān)于關(guān)于yoz面及面及xoz面對稱面對稱; 對面積的曲面積分對面積的曲面積分xyxyxz22222 在柱體在柱體為錐面為錐面設(shè)設(shè) .d, sz求曲面積分求曲面積分內(nèi)的部分內(nèi)的部分解解 積分曲面積分曲面22:yxz 在在xoy面上的面上的投影域投影域xyxdxy2:22 22yxz 由由2222yxyyz d2d s對面積的曲面積分對面積的曲面積分,2222yxxxz zxyo szd xyd22yx d22cos2022ddrr r2932322316 積分曲面積分曲面,:22yxz d2d sxyxdxy2:22 對面積的曲面積分對面積的曲