石油衍生品的定價(jià)模型——跳擴(kuò)散過(guò)程

1、第4組 金融、銀行 字?jǐn)?shù)：9658石油衍生品的定價(jià)模型作者：姚慧，女，1978年11月，復(fù)旦大學(xué)，博士研究生跳擴(kuò)散過(guò)程姚慧1 （1.復(fù)旦大學(xué) 博士研究生）【摘要】石油作為世界能源儲(chǔ)備中最重要的一族，它的價(jià)格波動(dòng)及隨之而來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)管理一直廣受矚目。因此在模型基礎(chǔ)上定價(jià)石油期貨以及其它石油衍生產(chǎn)品有助于在石油市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)加劇的今天更有效的進(jìn)行石油風(fēng)險(xiǎn)管理。本文根據(jù)石油特有的供求關(guān)系建立了石油現(xiàn)貨價(jià)格的兩類跳擴(kuò)散連續(xù)時(shí)間模型，并在此基礎(chǔ)上定價(jià)了石油期貨、遠(yuǎn)期、石油期貨的歐式期權(quán)、上限期權(quán)、下限期權(quán)、雙限期權(quán)和一類考慮兩個(gè)期貨合約價(jià)差的奇異期權(quán)。關(guān)鍵詞 石油 衍生品定價(jià)中圖分類號(hào)： f2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：aoi

2、l derivative pricing-based on jump diffusion modelabstract：in this paper, we are aimed at studying derivative pricing based on jump diffusion models for crude oil, which is suitable for oils special conditions of demanding and supplying. we price futures, european options on futures and some one kin

3、d of exotic options using risk neutral pricing methods. crude oil is one of the most important world energy products, therefore its turbulent behavior in price and consequent risk management attract world wide focus. our motivation for pricing oil derivatives basing on models is to help risk managem

4、ent for crude oil more efficiently, especially now more risk and challenge in world oil market.key words： crude oil , pricing models for crude oil derivatives石油衍生品的定價(jià)模型跳擴(kuò)散模型石油工業(yè)是我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)支柱產(chǎn)業(yè)之一。作為上游產(chǎn)業(yè)，石油工業(yè)為下游產(chǎn)業(yè)提供原材料保證，石油工業(yè)的健康發(fā)展直接影響到一系列下游產(chǎn)業(yè)的發(fā)展隨著我國(guó)國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，我國(guó)已經(jīng)成為石油的消費(fèi)大國(guó)。雖然我國(guó)原油年產(chǎn)量已經(jīng)達(dá)到了1.7億噸，居世界第5位，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)無(wú)法滿

5、足國(guó)內(nèi)需求。自1993年開始，我國(guó)已經(jīng)成為石油凈進(jìn)口國(guó)，每年要從國(guó)外進(jìn)口大量原油和成品油。2004年我國(guó)進(jìn)口原油1.2億噸、成品油3786萬(wàn)噸，同比分別增長(zhǎng)34.8%和34.1%。從2003年5月起，我國(guó)石油消費(fèi)量已經(jīng)超過(guò)日本，日均石油消費(fèi)量達(dá)546萬(wàn)桶，成為僅次于美國(guó)的世界第二大石油消費(fèi)國(guó)。我國(guó)對(duì)石油的進(jìn)口依存度已經(jīng)超過(guò)40%，相對(duì)于巨大的國(guó)內(nèi)需求，我國(guó)已經(jīng)重新進(jìn)入“貧油國(guó)”的行列，對(duì)國(guó)際石油市場(chǎng)的依賴性越來(lái)越強(qiáng)，而且這種趨勢(shì)肯定將在21世紀(jì)內(nèi)一直延續(xù)下去。而在世界石油市場(chǎng)上，自1997年之后又出現(xiàn)了金融危機(jī)與能源危機(jī)雙重沖擊的新形勢(shì)。油價(jià)由穩(wěn)定多年的1518美元/桶，先急劇下跌到最低8美元

6、/桶，然后又反彈到38美元/桶，自2004年以來(lái)更是一直刷新石油價(jià)格的最高紀(jì)錄，強(qiáng)烈的沖擊波嚴(yán)重影響了各國(guó)的經(jīng)濟(jì)安全。在如此嚴(yán)峻的國(guó)內(nèi)外形勢(shì)之下，通過(guò)模型預(yù)測(cè)石油價(jià)格，并在此基礎(chǔ)上對(duì)石油期貨及其他衍生品定價(jià)，由此進(jìn)行石油風(fēng)險(xiǎn)管理，已經(jīng)具有越來(lái)越重要的理論及實(shí)際意義。本文的目的正是要給出石油期貨及其它石油衍生品的連續(xù)時(shí)間模型的定價(jià)公式。1模型的經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)影響原油價(jià)格的因素不勝枚舉，其中最主要的是供給、需求、地緣政治、天氣等因素。從下面對(duì)這些因素的簡(jiǎn)單敘述中可以看到這些因素都存在一個(gè)共同特點(diǎn)：跳躍。（1）供給 由于世界石油生產(chǎn)在地域分布上的極端不平衡，以中東產(chǎn)油國(guó)為主的opec組織在世界石油市場(chǎng)的供

7、應(yīng)端起著非常重要的作用。每次世界石油供應(yīng)總量和結(jié)構(gòu)的重大變化都與opec組織在“限產(chǎn)保價(jià)”和“降價(jià)保產(chǎn)”政策之間的戰(zhàn)略選擇直接相關(guān)。除此之外，非opec產(chǎn)油國(guó)在油價(jià)高位時(shí)的石油增產(chǎn)使石油價(jià)格價(jià)格呈現(xiàn)一定的均值回歸特性。因?yàn)榉莖pec國(guó)家高成本的石油只有在價(jià)格高的條件下生產(chǎn)才有利可圖，當(dāng)供過(guò)于求時(shí)，價(jià)格將出現(xiàn)回落。石油供給，受資源稟賦和產(chǎn)能建設(shè)條件的制約，一般的生產(chǎn)者很難在油價(jià)上漲時(shí)快速增加產(chǎn)量，而沉沒成本的發(fā)生使得生產(chǎn)者也不愿意在油價(jià)下跌時(shí)快速削減產(chǎn)量；更何況石油生產(chǎn)不是一個(gè)充分競(jìng)爭(zhēng)的生產(chǎn)領(lǐng)域，寡頭壟斷的生產(chǎn)格局容易形成價(jià)格聯(lián)盟和投機(jī)和約。（2）需求 石油消費(fèi)變化同全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間存在一定的量

8、比關(guān)系。價(jià)格水平會(huì)引起石油消費(fèi)彈性系數(shù)的變化。但是到目前為止，石油仍然難以被取代，這使得消費(fèi)者即使在石油價(jià)格劇烈波動(dòng)時(shí)也不可能在短時(shí)間內(nèi)找到替代能源或采取有效的節(jié)能措施，而一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的調(diào)整也是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程；在極端的情況下，消費(fèi)者由于心理預(yù)期的作用，甚至?xí)谟蛢r(jià)居高不下時(shí)搶購(gòu)囤積，而在油價(jià)下跌是反而持幣觀望，加劇了市場(chǎng)的波動(dòng)。（3）其他短期因素 20世紀(jì)的戰(zhàn)爭(zhēng)多數(shù)是因?yàn)闋?zhēng)奪能源尤其是石油引發(fā)的，而在1970年以后，幾乎任何一次突發(fā)性的政治經(jīng)濟(jì)事件都會(huì)不同程度的影響到世界石油價(jià)格。例如，1990年的伊拉克入侵科威特，國(guó)際油價(jià)陡漲至30多美元，隨后美國(guó)出兵將伊拉克趕出科威特，油價(jià)又回落至

9、15美元左右。2002年委內(nèi)瑞拉發(fā)生工人大罷工，受其影響和美英威脅對(duì)伊拉克采取軍事行動(dòng)的影響，世界石油價(jià)格大幅上升。作為國(guó)際上頗具影響力的兩大能源組織之一，而國(guó)際能源機(jī)構(gòu)擁有大量的石油儲(chǔ)備，能在短時(shí)期內(nèi)改變市場(chǎng)供求格局。庫(kù)存對(duì)油價(jià)的影響，從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，是供給和需求之間的一個(gè)緩沖，對(duì)穩(wěn)定油價(jià)有積極作用。但從短期看，石油庫(kù)存又會(huì)對(duì)市場(chǎng)油價(jià)波動(dòng)起到推波助瀾的作用。因?yàn)閹?kù)存石油往往是在油價(jià)看漲時(shí)購(gòu)進(jìn)，短期內(nèi)將推動(dòng)油價(jià)加劇上升；油價(jià)看跌時(shí)拋出，短期內(nèi)又會(huì)推動(dòng)油價(jià)加劇下跌。特別是當(dāng)幾個(gè)國(guó)家同時(shí)購(gòu)進(jìn)或拋出庫(kù)存石油時(shí)，石油市場(chǎng)將產(chǎn)生劇烈波動(dòng)?，F(xiàn)在，石油庫(kù)存對(duì)油價(jià)的影響越來(lái)越明顯，甚至在一定程度上成為油價(jià)變動(dòng)的信號(hào)

10、。20世紀(jì)90年代以來(lái)國(guó)際石油市場(chǎng)的特征是期貨市場(chǎng)的影響顯著增強(qiáng)，作為一種重要的金融衍生工具，石油期貨交易的迅猛發(fā)展使得石油價(jià)格短期走勢(shì)可以在一定程度上擺脫石油供求關(guān)系的束縛，而呈現(xiàn)出其獨(dú)有的價(jià)格運(yùn)動(dòng)規(guī)律。美元一向作為世界原油市場(chǎng)的權(quán)威標(biāo)價(jià)和結(jié)算貨幣，美元對(duì)歐元的持續(xù)貶值，使得石油輸出國(guó)組織的石油美元收益在國(guó)際上的實(shí)際購(gòu)買力下降，只能以維持原油高價(jià)作為有效措施。歐美許多國(guó)家用石油作為取暖的燃料，因此，當(dāng)氣候變化異常時(shí)，取暖油需求會(huì)在短期內(nèi)增加，從而帶動(dòng)原油和其他油品的價(jià)格走高。2石油價(jià)格模型的建立我們認(rèn)為到目前為止，不同時(shí)間段的石油價(jià)格呈現(xiàn)出兩種截然不同的變化趨勢(shì)：均值回歸過(guò)程和幾何布朗過(guò)程。

11、bessembinder et al.(1995)中，作者給出明顯的證據(jù)證實(shí)石油價(jià)格具有均值回復(fù)的特性。從影響石油價(jià)格的最主要因素供給、需求來(lái)看，似乎也存在著均值回歸的特性。但是，從2003年起石油價(jià)格屢創(chuàng)新高，已經(jīng)突破100美元/桶大關(guān)，并且這種上漲勢(shì)頭仍在持續(xù)。我們對(duì)此給出的解釋是：當(dāng)石油需求沒有超出某個(gè)閥值(取決于各產(chǎn)油國(guó)的最大產(chǎn)能)時(shí)，opec國(guó)家為了穩(wěn)定油價(jià)會(huì)采取一定的減產(chǎn)或增產(chǎn)措施，因此，此時(shí)的油價(jià)由于受到一些突發(fā)的短期因素影響和調(diào)整的時(shí)滯影響呈現(xiàn)出均值回歸特性；而當(dāng)石油需求超出某個(gè)閥值時(shí)，由于現(xiàn)有產(chǎn)能已經(jīng)充分利用，沒有剩余產(chǎn)能可以緩解價(jià)格上漲的壓力，只有當(dāng)價(jià)格的上漲水平足以刺激邊

12、際油田的開發(fā)時(shí)，資金才會(huì)因?yàn)橛欣蓤D而流向勘探開發(fā)領(lǐng)域，使新增儲(chǔ)量增加，大量的新的區(qū)塊投入生產(chǎn)，從而增加石油供應(yīng)總量。但是根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)，在礦產(chǎn)和能源領(lǐng)域的新投資一般需要3-5年時(shí)間才能正式投入生產(chǎn)。因此，在這一階段，再加上恐慌心理、投機(jī)需求和其他政治經(jīng)濟(jì)因素的推波助瀾，油價(jià)呈現(xiàn)一路上升的幾何布朗運(yùn)動(dòng)的特性。因此，我們建立兩個(gè)不同的模型，首先是均值回歸模型： 我們引入了在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，強(qiáng)度為的泊松過(guò)程n，我們假設(shè)為正。我們還假設(shè)n獨(dú)立于布朗運(yùn)動(dòng)z。j被定義為當(dāng)跳躍發(fā)生時(shí)的隨即跳躍幅度，是獨(dú)立于布朗運(yùn)動(dòng)和泊松運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)變量，我們假設(shè)它服從正態(tài)分布n(,2)。令x=lns其中和幾何布朗模型：同樣的

13、，n是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，假設(shè)為正，n獨(dú)立于布朗運(yùn)動(dòng)z，j服從正態(tài)分布n(,2)。令x=lns其中我們分析了同現(xiàn)貨價(jià)格極為接近的石油期貨主力合約日價(jià)格的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)(1997.1.24-2007.12.20)。表1統(tǒng)計(jì)量均值標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度最大值最小值價(jià)格36.7519.580.89-0.2098.1810.72對(duì)數(shù)價(jià)格3.470.520.132.114.592.37對(duì)數(shù)價(jià)格變化0.00490.023-0.27026.290.14-0.17跳躍的存在是對(duì)數(shù)價(jià)格變化中出現(xiàn)的高峰度以及對(duì)數(shù)價(jià)格中的正偏度的一種合理解釋。雖然這并不是解釋這種現(xiàn)象的唯一途徑，但是從影響石油價(jià)格的經(jīng)濟(jì)背景來(lái)看，跳越確實(shí)存在。3石

14、油遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)公式遠(yuǎn)期和期貨都是在當(dāng)前時(shí)間下，簽訂的在未來(lái)某個(gè)確定的時(shí)間，按照當(dāng)前確定的價(jià)格買入或賣出一項(xiàng)資產(chǎn)的合約。合約中確定的在未來(lái)的這個(gè)時(shí)間為了得到這項(xiàng)資產(chǎn)需要支付的價(jià)格稱為遠(yuǎn)期或期貨價(jià)格。但是，遠(yuǎn)期和期貨的不同交易形式，使得他們的理論定價(jià)公式也不相同。遠(yuǎn)期，由交易雙方直接商議達(dá)成，作為標(biāo)的物的資產(chǎn)的交割將在未來(lái)的一個(gè)指定時(shí)間發(fā)生。期貨，在期貨交易所進(jìn)行交易，最主要的特征是逐日盯市，每天結(jié)算收益。因此，定價(jià)公式分別為：fst,t=et*sthst,t=s(t)p(t,t)=et*(e-ttrsdsst)1p(t,t)其中，f(st,t)是在t時(shí)刻到期的t時(shí)刻的期貨價(jià)格，簡(jiǎn)稱為f(t,

15、t)。同樣的，h(st,t)是t時(shí)刻到期的t時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)格，簡(jiǎn)稱為ht,t。s(t)是t時(shí)刻的商品價(jià)格。r(t)是t時(shí)刻的瞬時(shí)利率。p(t,t)是在t時(shí)刻到期的t時(shí)的折現(xiàn)債券。又因?yàn)閜t,t=et*(e-ttrsds)，由上述公式可知，當(dāng)r(t)是非隨即變量；或者r(t)是隨機(jī)變量，但是同s(t)不相關(guān)時(shí)，遠(yuǎn)期的價(jià)格和期貨的價(jià)格相等。（1）我們先考慮當(dāng)現(xiàn)貨價(jià)格是均值回歸時(shí)的期貨價(jià)格：x=lnsdektx=kektx+ekt-kxdt+ektdz+ektjdndektx=ektdt+ektdz+ektjdnektxt=ektxt+ttekudu+ttekudz(u)+j=1nekujjj就=44

16、4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444xt=e-k(t-t)xt+tte-k(t-u)du+tte-k(t-u)dz(u)+j=1ne-k(t-uj)jj就=55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555

17、5555555555etxt|n ,u1,un=e-k(t-t)xt+k1-e-kt-t+i=1ne-k(t-uj)vtxt|n ,u1,un=tte-2k(t-u)2dt+i=1ne-2k(t-uj)2etst|n ,u1,un=expetxt|n ,u1,un+1/2vt(xt|n ,u1,un)etst|n ,u1,un=expe-kt-txt+k1-e-kt-t+i=1ne-kt-uj+12(tte-2kt-u2dt+i=1ne-2kt-uj2)ft,t=etst=n=0qt,t,nttttetst|n ,u1,un(ui)/ttudundu1dun=n=0ne-(t-t)n!tttt

18、etst|n ,u1,undu1dun其中qt,t,n=(tt(u)du)ne-ttudun!期貨的隨機(jī)過(guò)程：dft,t=fxdx+ftdt+12fxx(dx)2+(fxt-f(xt-)dnfx=fe-k(t-t)fxt-fx(t-)=f(expe-kt-tj-1)因?yàn)槠谪泝r(jià)格是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的鞅，因此(7從期貨價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程，我們可以發(fā)現(xiàn)，雖然在每一時(shí)刻現(xiàn)貨價(jià)格發(fā)生跳躍的幅度服從完全相同的隨機(jī)分布，但是期貨價(jià)格的跳躍卻出現(xiàn)了期限結(jié)構(gòu)，跳躍幅度隨著到期日的延長(zhǎng)而遞減，這似乎更符合現(xiàn)實(shí)中的情況，離到期日越近的期貨價(jià)格的變動(dòng)越頻繁，當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)巨幅波動(dòng)時(shí)，也同樣是離到期日越近的期貨價(jià)格的變動(dòng)越明顯。

19、（2）當(dāng)現(xiàn)貨價(jià)格是幾何布朗時(shí)的期貨價(jià)格x=lns：ft,t=etst=n=0qt,t,nttttetst|n ,u1,un(ui)/ttudundu1dun=n=0ne-(t-t)n!ttttetst|n ,u1,undu1dun其中qt,t,n=(tt(u)du)ne-ttudun!期貨的隨機(jī)過(guò)程： （8）（3）遠(yuǎn)期 我們知道，如果描述利率的隨機(jī)過(guò)程同描述石油價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程存在相關(guān)性，那么我們就沒有辦法確定這樣一個(gè)兩維隨機(jī)變量的分布，從而也無(wú)法進(jìn)一步推導(dǎo)歐式期權(quán)的公式，因此，下面的所有模型中，我們都假設(shè)用來(lái)描述無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率隨機(jī)過(guò)程的布朗運(yùn)動(dòng)是完全獨(dú)立的。顯然這一個(gè)假設(shè)也是在一定意義上符合現(xiàn)實(shí)情

20、況的1：1.1997年1月到2007年7月，美元一個(gè)月期的libor利率同石油主力合約價(jià)格的相關(guān)系數(shù)為-0.1；2.從決定兩者變化趨勢(shì)的經(jīng)濟(jì)基本面來(lái)看，主要因素也是不相同的，石油價(jià)格主要由石油的供求狀況決定，利率主要由貨幣的供求狀況決定。我們對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的模型假設(shè)是最常見的hull white模型，并且通過(guò)一定的約束條件，還可以證明這同hjm模型也是相一致的。分別表示t時(shí)刻無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，t時(shí)刻的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率和t時(shí)刻到期的無(wú)信用風(fēng)險(xiǎn)的零息債券的價(jià)格。并且，其中為正的常數(shù)，根據(jù)初始的期限結(jié)構(gòu)給定，在這里我們假設(shè)為已知。又根據(jù)和數(shù)量關(guān)系我們可以得到的另一種同hjm模型相一致的表達(dá)方式為了計(jì)算歐式期權(quán)，

21、我們需要的表達(dá)式因此，是一個(gè)滿足正態(tài)分布的隨機(jī)過(guò)程，其期望和方差分別為 (9)4石油期貨的歐式期權(quán)定價(jià)公式石油期貨作為一種非?；钴S的金融產(chǎn)品，石油期貨的期權(quán)作為風(fēng)險(xiǎn)管理的重要工具也存在非常廣泛的市場(chǎng)。一般情況下，標(biāo)的物為期貨的期權(quán)到期日總是比期貨到期日早幾天，因此我們假設(shè)期權(quán)的到期日為。（1）現(xiàn)貨價(jià)格為均值回歸：令其中服從正態(tài)分布，均值為方差為。令再令，上式等于，同理可得，其中，。 (10)（2）現(xiàn)貨價(jià)格為幾何布朗運(yùn)動(dòng)：同理可得：。，其中，。 (11)（3）石油期貨的上限期權(quán)(cap)，下限期權(quán)(floor)和雙限期權(quán)(collar)在世界能源市場(chǎng)中，能源價(jià)格的cap，floor，和colla

22、r都是非常受歡迎的有助于風(fēng)險(xiǎn)控制的金融產(chǎn)品。在得到的歐式期權(quán)價(jià)格公式的基礎(chǔ)上，這些金融衍生品的價(jià)格就是一系列標(biāo)準(zhǔn)的歐式期權(quán)的組合，非常容易獲得。一個(gè)石油價(jià)格的上限期權(quán)限制了石油價(jià)格波動(dòng)的上限，cap持有人將在事先指定的時(shí)間內(nèi)支付不超過(guò)k的價(jià)格購(gòu)買石油。顯然，一個(gè)上限期權(quán)就是歐式看漲期權(quán)的組合 (12)在這里期貨的到期日同期權(quán)的到期日是同一天，也就是說(shuō)既是上述各小節(jié)中的t，也是。相反的，一個(gè)石油價(jià)格的下限期權(quán)限制了石油價(jià)格波動(dòng)的下限，floor持有人可以在指定時(shí)間內(nèi)以不低于k的價(jià)格賣出石油。這顯然是一個(gè)歐式看跌期權(quán)的組合。一個(gè)石油價(jià)格的雙限期權(quán)的就是一個(gè)上限期權(quán)的多頭和一個(gè)下限期權(quán)的空頭的組合。

23、看漲期權(quán)c和看跌期權(quán)p的平價(jià)公式為，根據(jù)對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的假設(shè)。 (13)5石油期貨的歐式奇異期權(quán)定價(jià)模型商品市場(chǎng)中一個(gè)最大的特點(diǎn)是“奇異”期權(quán)的交易非常活躍，在石油期貨市場(chǎng)也同樣如此，在紐約商品交易所就有很多石油奇異期權(quán)品種，例如，定義在不同石油產(chǎn)品（wti和dubai油）價(jià)差上的歐式期權(quán)稱為裂解價(jià)差期權(quán)(crack spread option)，定義在具有不同到期日的相同商品價(jià)差上的歐式期權(quán)稱為日歷套利期權(quán)(calendar spread option)。我們要定價(jià)的期權(quán)涉及到兩個(gè)不同的期貨合約，可能是同一種商品不同到期日，也可以是不同商品；期權(quán)可以是定義在商品價(jià)格差之上，也可以定義在商品價(jià)格

24、比率之上；在這一部分我們不需要進(jìn)行任何的關(guān)于兩個(gè)合約之間關(guān)系的假設(shè)，例如假設(shè)兩個(gè)合約的價(jià)格差服從一定的分布，所運(yùn)用的技巧是fourier變換。下面我們就給出期權(quán)的定義。假設(shè)石油期貨的歐式奇異期權(quán)滿足：其中是第i種到期日為的期貨合約在時(shí)的價(jià)格，為期權(quán)合約執(zhí)行日，。當(dāng)，時(shí)，上述公式定義了裂解價(jià)差期權(quán)(crack spread options)，在實(shí)際市場(chǎng)中，這種期權(quán)一般是定義在不同商品期貨同一天的報(bào)價(jià)之上，即。如果，我們要考慮的期權(quán)是現(xiàn)貨期權(quán)，那么只需要使，。當(dāng)時(shí)，上述公式可以用來(lái)表示價(jià)格比率的期權(quán)。當(dāng)時(shí)，上述公式是日歷套利期權(quán)(calendar spread option)，一般下，。顯然，我們

25、所定義的通用公式還可以用來(lái)描述很多不同的奇異期權(quán)，甚至可以不是整數(shù)或零。因?yàn)樯鲜銎跈?quán)可能涉及到兩個(gè)不同的不同的石油產(chǎn)品，而這兩個(gè)不同品種的長(zhǎng)期走勢(shì)可能不同，下面的定價(jià)過(guò)程中，我們假定兩者的現(xiàn)貨價(jià)格為均值回歸過(guò)程，其他的情況，例如兩者的現(xiàn)貨價(jià)格均為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，或者一個(gè)是幾何布朗運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是均值回歸過(guò)程的定價(jià)公式都可以按照相同的方法獲得；并且現(xiàn)貨價(jià)格為均值回歸的情況似乎比幾何布朗運(yùn)動(dòng)的情況更常見。其中首先，先通過(guò)fourier變換，對(duì)進(jìn)行變化定義，也可以由fourier逆變換表示為其中z是復(fù)數(shù)。根據(jù)lewis(2001)，sepp(2003)的結(jié)論，對(duì)進(jìn)行fourier變換，假設(shè)（z的復(fù)部），

26、那么把上式代入，表示如下其中我們可以用fubini定理證明積分和求期望的交換是合理的。因此令我們有 其中條件均值和方差分別為： 假設(shè)，由于r，分別服從正態(tài)分布，因此-r也服從正態(tài)分布，條件均值和方差分別為因此 其中因?yàn)楹蛂是正態(tài)分布，因此a也是正態(tài)分布 令6參數(shù)估計(jì)用極大似然估計(jì)方法對(duì)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，其中n是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，j服從正態(tài)分布n(,2)。結(jié)果如下表2估計(jì)值0.27523608803303-0.00610.04990.0729t統(tǒng)計(jì)量1.14541.882319.822-1.88603.71081.5471注：所用數(shù)據(jù)是1997年1月2日到2002年12月31日的wti主力和約。用極

27、大似然估計(jì)方法對(duì)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，結(jié)果如下表3估計(jì)值0338903198-0.01890.03540.0336t統(tǒng)計(jì)量1850216.005-1.5930287414779注：所用數(shù)據(jù)是2003年1月2日到2007年7月3日的wti主力和約。7.總結(jié)當(dāng)今世界的能源市場(chǎng)風(fēng)起云涌，特別是在石油能源市場(chǎng)中，世界原油價(jià)格一路飆升，在紐約商品交易所，原油期貨的報(bào)價(jià)已經(jīng)突破100美元大關(guān)，很多金融機(jī)構(gòu)和媒體都稱低油價(jià)時(shí)代已經(jīng)過(guò)去；并且影響石油價(jià)格變化的因素趨于多元化，市場(chǎng)波動(dòng)進(jìn)一步加劇；各國(guó)的石油外交政策層出不窮；幾乎每一天，我們都會(huì)在各種媒體獲得與石油相關(guān)的信息。因此，本文對(duì)石油和一些非常常見的石油衍生品價(jià)

28、格進(jìn)行比較系統(tǒng)的建模、定價(jià)，確是具有現(xiàn)實(shí)意義的。原油期貨、歐式期權(quán)和一些簡(jiǎn)單的石油衍生品都是石油風(fēng)險(xiǎn)管理的有效金融工具。在建立了具有直觀經(jīng)濟(jì)含義的石油現(xiàn)貨價(jià)格的隨機(jī)模型之后，我們通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)中性的方法定價(jià)了一系列有助于石油風(fēng)險(xiǎn)控制的簡(jiǎn)單石油衍生品期貨、標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)、cap、floor和以兩個(gè)不同期貨合約價(jià)格的差異為標(biāo)的物的歐式期權(quán)。當(dāng)石油現(xiàn)貨價(jià)格存在均值回歸特性時(shí)，期貨價(jià)格的跳躍出現(xiàn)期限結(jié)構(gòu)，跳躍幅度隨著到期日的臨近而遞增，這似乎更符合現(xiàn)實(shí)情況，離到期日越近的期貨價(jià)格的變動(dòng)越頻繁，當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)巨幅波動(dòng)時(shí)，也同樣是離到期日越近的期貨價(jià)格的變動(dòng)越明顯。并在期權(quán)定價(jià)中考慮了隨機(jī)利率的影響?？傊?，本文對(duì)石油

29、的單因子跳擴(kuò)散模型進(jìn)行較深入的研究。參考文獻(xiàn)1 bertus m. j., multerfactor valuation models of energy futures ans options on futures, dissertation for phd, 20032 bessembinder h., coughenour j.f., senguin p. j. and smoller m. m., mean-reversion in equilibrium assest prices: evidence: evidence from the futures term structure

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