隨機過程汪榮鑫版第一二四章習題答案pdf

1、第一章隨機過程的基本概念1設隨機過程 x (t) = x cosw0 t,-¥ < t < +¥ ，其中w0 是正常數(shù)，而 x 是標準正態(tài)變量。試求 x （t）的一維概率分布解： 當 cosw0 t = 0即w0 t = (k +1)p即 t =1(k +1)p 時2w02px(t) = 0= 1若c o ws0 t ¹ 0即t ¹1(k +1)p 時2w0f (x, t) = px (x) £ x= px cosw0t £ x當c o ws0 t > 0 時此時若 c o ws0 t同理有ìxü

2、1x-x 22f (x, t) =píx£ý=cosw0t edxîcosw0tþ2p ò0¶f (x, t )1-x21f (x, t) =e2 c o 2sw0t׶xc o sw0 t2p< 0 時ìxüìxüf (x, t) =píx ³ý= 1 - píx <ýîcosw0t þîcosw0t þ1xe-x 2= 1 -cosw0t2 dx2pò

3、01-x21f (x, t) = -e2 c o 2swt×0c ows0 t2p綜上當： cosw0 t ¹ 0即t ¹1(k +1)p 時w0211-x2f (x, t) =e2 cos2w0t| cosw0 t |2p2利用投擲一枚硬幣的試驗，定義隨機過程為1ìcospt, 出現(xiàn)正面x (t) = íî 2t, 出現(xiàn)反面1假定“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為 1 2 。試確定 x (t) 的一維分布函數(shù) f (x, 2)和 f (x,1) ，以及二維分布函數(shù) f (x1 , x2 ; 12 ,1)解：（1）先求 f (x,1

4、)2ìp出現(xiàn)正面 ì0æ1 öïcos2,出現(xiàn)正面顯然 x ç÷ = í= í1出現(xiàn)反面è2 øï2 -,出現(xiàn)反面 î12îæ1 ö隨機變量 x ç÷ 的可能取值只有 0，1 兩種可能，于是è2 øìæ1 öü1ìæ1 öü1píx ç÷= 0ý=píx ç&

5、#247;= 1ý=îè2 øþ2îè2 øþ2所以ì0x < 0æ1 öï1f ç x,÷=í0 £ x < 1è2 ø2ï1x ³ 1î再求 f（x,1）ìcosp出現(xiàn)正面ì-1出現(xiàn)正面顯然 x (1) = í= íî2出現(xiàn)反面 î2出現(xiàn)反面px (1) = -1= px (1) = 2=12所以

6、36;0x < -1ï1f (x,1) =ï-1 £ x < 2í2ïï1x ³ 2î1(2)計算 f (x1 , x2 ; 2 ,1)10出現(xiàn)正面-1出現(xiàn)正面ììx () = í出現(xiàn)反面, x (1) = í出現(xiàn)反面2î1î2于是2æ1öìæ1 öüfx ç x1, x2;,1÷=píx ç÷ £ x1 ; x (1) &#

7、163; x2 ýè2øîè2 øþì0x1 < 0- ¥ < x2 < +¥ï或 x1³ 0,x2 < -1ïï10 £ x1 < 1,2 £ x2= í2ï或 x1 > 1,ï-1 £ x2 < 2ïî1x1 > 1,x2³ 23設隨機過程 x (t ),-¥ < t < +¥共有三條

8、樣本曲線x (t,v1 ) = 1,x (t,v 2 ) = sin t,x (t,v 3 ) = cos t且 p(v1 ) = p(v 2 ) = p(v 3 ) =1, 試求隨機過程 x (t )數(shù)學期望 ex(t) 和相關函數(shù)3rx(t1,t2)。解：數(shù)學期望mx (t) = ex (t) = 1×1+ sin t ×1+ cost ×1=1+1(sin t + cost)33333=1(1 + sin t + cost)3相關函數(shù)r(t , t) = f x (t ) x (t) = 1×1+ sin t ×sin t×1+

9、1costcostx12123123312=11 + cos(t- t)3124設隨機過程x (t) = e- xt(t > 0)其中 x 是具有分布密度 f(x)的隨機變量。試求 x(t)的一維分布密度。 解：對于任意 t>0 因為fx (x, t) = p(x(t) £ x) 當 x>0 時- xtìln x üfx (x, t) = pe£ x= p- xt £ ln x= píx ³ -ýît þìln x ü- ln x= 1 - píx

10、 < -ý= 1 -ò-¥ tf (x )dxît þ¶æln x ö1f x(x, t) =fx(x, t) =f ç-÷׶xxtèt ø3當 x £ 0 時 fx (x, t) = pe- xt £ x= 0 隨機過程 x (t) 的一維分布密度為1æln x öf x(x, t) =f ç-÷xtèt ø5在題 4 中，假定隨機變量 x 具有在區(qū)間（0，t）中的均

11、勻分布，試求隨機過程的數(shù) 字期望 ex (t) 和自相關函數(shù) rx (t1 , t2 )解： 隨機變量 x 的概率密度函數(shù)為ì 1f x (x) =ïx Î (0,t )ít其它ï 0î因此：ex (t) =t e-xt f(x)dx = t e-xt ×1dx =1t e-xt dx =1(-1)e-xttxò 0ò 0tt ò 0tt0=11 - e-tt> 0tttrx (t1 , t2 ) = ex (t1 ) x (t2 )= ee- xt1 e- xt2 = ee- x (t1

12、 +t2 ) = ò 0t e -x(t1 +t2 ) f x(x)dx =1(1 - e -t (t1 +t2 ) )t (t1 + t2 )6設隨機過程 x (t),-¥ < t < +¥在每一時刻 t 的狀態(tài)只能取 0 或 1 的數(shù)值，而在不同時刻的狀態(tài)是相互獨立的，且對于作意固定的 t 有px (t) = 1= ppx (t) = 0= 1 - p其中 0<p<1。試求 x(t)的一維和二維分布，并求 x(t)的數(shù)學期望和自相關函數(shù)解：一維分布px(t) = 1= ppx(t) = 0= 1 - p二維分布：px (t1 ) = 1

13、, x (t2 ) = 1= p 2px (t1 ) = 1, x (t2 ) = 0= p(1 - p) px (t1 ) = 0, x (t2 ) = 1= (1 - p) p px (t1 ) = 0, x (t2 ) = 0= (1 - p)2x(t)的數(shù)字期望4mx (t) = ex (t) = 1× px (t) = 1+ 0 × px (t) = 0= p隨機過程 x (t)的自相關函數(shù)為rx (t1 , t2 ) = ex (t1 ) x (t2 )= 1× px (t1 ) = 1, x (t2 ) = 1+0 × px (t1 ) =

14、 1且 x (t2 ) = 0 ； x (t1 ) = 0 且 x (t2 ) = 1 ； x (t1 ) = 0 且 x (t2 ) = 0= px (t1 ) = 1 × px (t2 ) = 1= p 27設 x n , n ³ 1是獨立同分布的隨機序列，其中 x j 的分布列為xj1-1j=1，2，1-1p22n定義yn = å x j 。試對隨機序列yn , n ³ 1求j =1（1）y1 的概率分布列；（2）y2 的概率分布列；（3）yn 的數(shù)字期望；（4）yn 的相關函數(shù) ry（n, m）。解：（1） y1=x1故概率分布則為 py = 1

15、=1py = -1=11212（2） y2 = x 1 + x 2y2 可能的取值為 0 或 2，-2py2 = 0= px1 + x 2 = 0= px1 = 1, x 2 = -1+ px1 = -1, x 2 = 1= px1 = 1px 2 = -1+ px1 = -1px 2 = 1=1+1=1442py = 2= px+ x= 2= px= 1, x= 1=1212214py = -2= px+ x= -2= px= -1, x= -1=1212214n（3）yn = å x j的數(shù)字期望為j =1eyn（4）自樣關函數(shù)æån= eçç x è j =1ry (m, n)ön÷= åex jj ÷øj =1= ey (m)y (næ11ö= åç1×+(-1)÷= 022j =1èøn)=émmùeêå x j å x kúë j =1k =1û當 mn 時énæår (m, n) = eêçxyç