人教A_選修2-3課件3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想及應(yīng)用(一)1

1、2021-10-28鄭平正 制作3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初基本思想及其初步應(yīng)用（一）步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-3 第三章第三章 統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)案例2021-10-28鄭平正 制作2 2定定量量變變量量回回歸歸分分析析（畫畫散散點(diǎn)點(diǎn)圖圖、相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)r r、變變量量 相相關(guān)關(guān)指指數(shù)數(shù)R R 、殘殘差差分分析析）分分類類變變量量研究?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)關(guān)系：定量變量：體重、身高、溫度、考試成績(jī)等等。定量變量：體重、身高、溫度、考試成績(jī)等等。變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、 宗教信仰、國(guó)籍等等。宗教信仰、國(guó)籍等等。

2、兩種變量：獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？ 性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。2021-10-28鄭平正 制作問題問題: 數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買一塊買一塊1000g 的面包，并記錄下買回的面的面包，并記錄下買回的面包的實(shí)際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)包的實(shí)際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為95

3、0g。于是龐。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。加萊推斷這家面包店的面包分量不足。假設(shè)假設(shè)“面包份量足面包份量足”，則一年購(gòu)買面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)，則一年購(gòu)買面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于的平均值應(yīng)該不少于1000g ；“這個(gè)平均值不大于這個(gè)平均值不大于950g”是一個(gè)與假設(shè)是一個(gè)與假設(shè)“面包份量面包份量足足”矛盾的小概率事件；矛盾的小概率事件；這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。2021-10-28鄭平正 制作一一: :假設(shè)檢驗(yàn)問題的原理假設(shè)檢驗(yàn)問題的原理 假設(shè)檢驗(yàn)問題由兩個(gè)互斥的假設(shè)構(gòu)成，其假設(shè)檢驗(yàn)問題由兩個(gè)互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個(gè)叫做原假設(shè)

4、，用中一個(gè)叫做原假設(shè)，用H0表示；另一個(gè)叫做備表示；另一個(gè)叫做備擇假設(shè)，用擇假設(shè)，用H1表示。表示。例如，在前面的例子中，例如，在前面的例子中， 原假設(shè)原假設(shè)為：為： H0：面包份量足，：面包份量足，備擇假設(shè)備擇假設(shè)為：為： H1：面包份量不足。：面包份量不足。這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題可以表達(dá)為：這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題可以表達(dá)為： H0：面包：面包份份量足量足 H1：面包：面包份份量不足量不足2021-10-28鄭平正 制作二二: :求解假設(shè)檢驗(yàn)問題求解假設(shè)檢驗(yàn)問題考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題：考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題： H0：面包分量足：面包分量足 H1：面包分量不足：面包分量不足 在在H0成立的條件下，構(gòu)造與成立的條件下，

5、構(gòu)造與H0矛盾的小概矛盾的小概率事件；率事件； 如果樣本使得這個(gè)小概率事件發(fā)生，就能如果樣本使得這個(gè)小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒有成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。相矛盾的證據(jù)。求解思路：求解思路：2021-10-28鄭平正 制作 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計(jì)總計(jì)98749874919199659965為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某

6、腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了地調(diào)查了99659965人，得到如下結(jié)果（單位：人）人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。肺癌的可能性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探究探究2021-10-28鄭平正 制作不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙7775427817吸煙吸煙2099492148總計(jì)總計(jì)98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖

7、不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出從三維柱形圖能清晰看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小。各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例?；挤伟┑谋壤哂诓换挤伟┑谋壤?。通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：2021-10-28鄭平正 制作不吸煙吸煙00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸煙不吸煙吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例。2021-10-28鄭平正 制作 上面我

8、們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來考察這個(gè)問題。來考察這個(gè)問題。 現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)為此先假設(shè) H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計(jì)總計(jì)a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用

9、字母表示的列聯(lián)表 用用A表示不吸煙，表示不吸煙，B表示不患肺癌，則表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價(jià)于等價(jià)于“吸煙與患肺癌獨(dú)立吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)，即假設(shè)H0等價(jià)于等價(jià)于 P(AB)=P(A)P(B).2021-10-28鄭平正 制作因此因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱； |ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計(jì)總計(jì)a+cb+da+b+c+dadbc即aa+ba+caa+ba+c

10、nnnnnna+ba+bP(A),P(A),n na+ca+cP(B),P(B),n n.a aP(AB)P(AB)n n其中為樣本容量，即n n = =a a+ +b b+ +c c+ +d d在表中，在表中，a恰好為事件恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；發(fā)生的頻數(shù)；a+b和和a+c恰好分別為事恰好分別為事件件A和和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條成立的條件下應(yīng)該有件下應(yīng)該有(a+b+c+d)a(a+b)(a+c),2021-10-28鄭平正 制作 為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，

11、基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量-卡方統(tǒng)計(jì)量卡方統(tǒng)計(jì)量22(),()()()()其中為樣本容量。n adbcKab cdac bdnabcd（1） 若若 H0成立，即成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則，則K2應(yīng)很小。應(yīng)很小。根據(jù)表根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為：的觀測(cè)值為：那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？242 209956.6327817 2148 9874 91k9965(7775 49）（2） 獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)2021-10-28鄭平正 制作在在H

12、0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率 即在即在H0成立的情況下，成立的情況下，K2的值大于的值大于6.635的概率非常小，近似的概率非常小，近似于于0.01。2(6.635)0.01.P K （2） 也就是說，在也就是說，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過測(cè)，觀測(cè)值超過6.635的頻率約為的頻率約為0.01。思考 206.635?KH如果，就斷定不成立，這種判斷出錯(cuò)的可能性有多大答：判斷出錯(cuò)的概率為0.01。2009965 7775 49 42 2099566327817 2148 9874 9

13、1().kHH 現(xiàn)現(xiàn)在在觀觀測(cè)測(cè)值值太太大大了了，在在成成立立的的情情況況下下能能夠夠出出現(xiàn)現(xiàn)這這樣樣的的觀觀測(cè)測(cè)值值的的概概率率不不超超過過0 0. .0 01 1，因因此此我我們們有有9 99 9% %的的把把握握認(rèn)認(rèn)為為不不成成立立，即即有有9 99 9% %的的把把握握認(rèn)認(rèn)為為“吸吸煙煙與與患患肺肺癌癌有有關(guān)關(guān)系系”。2021-10-28鄭平正 制作判斷判斷 是否成立的規(guī)則是否成立的規(guī)則0H如果如果 ，就判斷，就判斷 不成立，即認(rèn)為吸煙與不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷 成立，即認(rèn)為吸煙成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系。與患肺癌有關(guān)系。6.635k

14、 0H0H獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義 上面這種利用隨機(jī)變量上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上來確定在多大程度上可以認(rèn)為可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩的方法，稱為兩個(gè)分類變量的個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)。在該規(guī)則下，把結(jié)論在該規(guī)則下，把結(jié)論“ 成立成立”錯(cuò)判成錯(cuò)判成“ 不不成立成立”的概率不會(huì)差過的概率不會(huì)差過0H0H2(6.635)0.01,P K 即有即有99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為 不成立。不成立。0H獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法反證法）(1)(1)假設(shè)結(jié)論不成立假設(shè)結(jié)論不成立, ,即即 “ “兩個(gè)分類變量沒有

15、關(guān)系兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”. .0:H(2)(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量 K K2 2 應(yīng)該很小應(yīng)該很小, ,如果由如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K K2 2的觀測(cè)值的觀測(cè)值k k很大很大, ,則在一定可信程度上則在一定可信程度上說明說明 不成立不成立. .即在一定可信程度上認(rèn)為即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有兩個(gè)分類變量有關(guān)系關(guān)系”；如果；如果k k的值很小，則說明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反的值很小，則說明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對(duì)對(duì) 的充分證據(jù)。的充分證據(jù)。0H0H(3)(3)根據(jù)隨機(jī)變量根據(jù)隨機(jī)變量K K2 2的含義的含義, ,可以通過評(píng)

16、價(jià)該假設(shè)不合理的可以通過評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度程度, ,由實(shí)際計(jì)算出的由實(shí)際計(jì)算出的, ,說明假設(shè)合理的程度為說明假設(shè)合理的程度為99%,99%,即即“兩兩個(gè)分類變量有關(guān)系個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.99%.2021-10-28鄭平正 制作怎樣判斷怎樣判斷K K2 2的觀測(cè)值的觀測(cè)值k是大還是小呢？是大還是小呢？ 這僅需要確定一個(gè)正數(shù)這僅需要確定一個(gè)正數(shù) ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)就認(rèn)為時(shí)就認(rèn)為K K2 2的觀測(cè)的觀測(cè)值值 k大。此時(shí)相應(yīng)于大。此時(shí)相應(yīng)于 的判斷規(guī)則為：的判斷規(guī)則為：0k0kk0k如果如果 ，就認(rèn)為，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系兩個(gè)分類變量

17、之間有關(guān)系”；否則；否則就認(rèn)為就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)系兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)系”。0kk0k-臨界值臨界值按照上述規(guī)則，把按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類變量之間有沒關(guān)系兩個(gè)分類變量之間有沒關(guān)系”錯(cuò)誤的判斷錯(cuò)誤的判斷為為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的概率為的概率為P( ).20Kk在實(shí)際應(yīng)用中，我們把在實(shí)際應(yīng)用中，我們把 解釋為有解釋為有的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；把；把 解釋為解釋為不能以不能以 的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量?jī)蓚€(gè)分類變量之間有關(guān)系之間有關(guān)系”，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有提供，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有提供“兩個(gè)分類變量

18、兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系之間有關(guān)系”的充分證據(jù)。的充分證據(jù)。0kk2(1() 100%P Kk0kk2(1() 100%P Kk2021-10-28鄭平正 制作思考：思考： 利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中看出兩個(gè)分類變量是否相關(guān)呢？看出兩個(gè)分類變量是否相關(guān)呢？表表1-11 2x2聯(lián)表聯(lián)表 一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和和Y，它們的值域，它們的值域分別為分別為x1,x2和和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列列聯(lián)表）為：聯(lián)表）為：y1y2總計(jì)總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)總計(jì)a+cb+

19、da+b+c+d2021-10-28鄭平正 制作 若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷H1成立的可能性：aabccd2、可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并、可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。1、通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)變、通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系量是否有關(guān)系,但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。程度。 （1）在三維柱形圖中，）在三維柱形圖中， 主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與副對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積與副對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積bc相差越大，相差越大，H1成立的成立的可能性就越大?？赡苄跃驮酱?。 （2）在二維條形圖中）在二維條形圖中,可以估計(jì)滿足條件可以估計(jì)滿足條件X=x1的個(gè)體中具的個(gè)體中具有有Y=y1的個(gè)體所占的比例的個(gè)體所占的比例 ，也可以估計(jì)滿足條件，也可以估計(jì)滿足條件X=x2的個(gè)體中具有的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例的個(gè)體所占的比例 。兩個(gè)比例相差越。兩個(gè)比例相差越大，大，H1成立的可能性就越大。成立的可能性就越大。aabccd2021-10-28鄭平正 制作在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)