1-4-次序統(tǒng)計量PPT課件

1、1 1.4 次序統(tǒng)計量及其分布次序統(tǒng)計量及其分布 一一 次序統(tǒng)計量次序統(tǒng)計量設設 nxxx,21是是從從總總體體 x x 中中抽抽取取的的一一個個樣樣本本，記記 nxxx,21為為樣樣本本的的一一個個觀觀測測值值，將將觀觀測測值值的的各各個個分分量量按按由由小小到到大大的的遞遞增增序序列列重重新新排排列列為為 (1)(2)( ).nxxx當當 nxxx,21取取值值為為 nxxx,21時時, ,定定義義( )kx取取值值為為( )(1,2, ),kxkn由由此此得得到到的的(1)(2)( )(,)nxxx稱稱為為樣樣本本 nxxx,21的的次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量。 2顯然有顯然有 (1)(2)(

2、 )nxxx其其中中(1)1minii nxx 稱稱為為最最小小次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量， 它它的的值值 (1)x是是樣樣本本值值中中最最小小的的一一個個；而而( )1maxnii nxx 稱稱為為最最大大次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量，它它的的值值( )nx是是樣樣本本值值中中最最大大的的一一個個。 由由于于次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的每每一一個個分分量量( )kx都都是是樣樣本本 nxxx,21的的函函數(shù)數(shù)，所所以以(1)(2)( ),nxxx也也都都是是隨隨機機變變量量。樣樣本本 nxxx,21是是相相互互獨獨立立的的，但但其其次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量(1)(2)( )(,)nxxx一一般般不不是是獨獨立立的

3、的。 3定義定義 樣本樣本nxxx,21按由小到大的順序重排為按由小到大的順序重排為 (1)(2)( )nxxx 則稱則稱(1)(2)( )(,)nxxx為樣本為樣本（nxxx,21）的）的次序統(tǒng)計次序統(tǒng)計量量，( )kx稱為樣本的第稱為樣本的第 k 個次序統(tǒng)計量。個次序統(tǒng)計量。 定理定理 次序統(tǒng)計量是充分統(tǒng)計量。次序統(tǒng)計量是充分統(tǒng)計量。證證明明 當當給給定定(1)(1)( )( ),nnxxxx時時，由由于于nxxx,21獨獨立立同同分分布布， 所以所以 1(1)( )1(,)!niinp xxxxn此條件分布與總體分布無關，故次序統(tǒng)計量是充分統(tǒng)計量。此條件分布與總體分布無關，故次序統(tǒng)計量是

4、充分統(tǒng)計量。 4 nxxx,min 1)1( 事事實實上上 nnxxx,max 1)( 1111,minmax ),()2( nniiiixxx 1111,minmax ),()( knkniiiikxxx( )1 (,).knxxx是隨機向量的函數(shù)., 2 , 1,21種種共共有有個個數(shù)數(shù)的的組組合合的的任任意意是是lnlclniii5( )1!( ) ( )1( )( ),1,2, .(1)!()!kkn kxnfxf xf xf x knknk特特別別，最最小小次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量(1)x和和最最大大次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量( )nx的的分分布布密密度度為為 (1)( )11( )1( )(

5、 ),( ) ( )( ).nnxnxfxnf xf xfxn f xf x612112!(),(,)0,nininnf yyyyf y yy其他7(1)(2)2(,)(1) ( )( )( ) ( ),( , )0,nxxn nf yf xf x f y xyfx yxy81. 表示表示“平均平均”的統(tǒng)計量：的統(tǒng)計量： 樣本均值、中位數(shù)、眾數(shù)樣本均值、中位數(shù)、眾數(shù)思考思考1. 甲同學聽說，有個身高甲同學聽說，有個身高 1.75 米的成年人在米的成年人在 平均水深為平均水深為 1 米的小河中淹死了，他覺得不可思議。米的小河中淹死了，他覺得不可思議。 這件事情是否是一個玩笑？這件事情是否是一個玩

6、笑？例例 關于關于平均值平均值的理解的理解 樣本均值是人們采用最多的一種描述數(shù)據(jù)的方法，樣本均值是人們采用最多的一種描述數(shù)據(jù)的方法， 它反映了一組數(shù)據(jù)整體上的一些信息，然而容易掩蓋它反映了一組數(shù)據(jù)整體上的一些信息，然而容易掩蓋一些極端的情況，一些極端的情況，所以有時候樣本均值不一定合理所以有時候樣本均值不一定合理 。9思考思考2. 一位統(tǒng)計學家把一只腳放進一位統(tǒng)計學家把一只腳放進 100 的開水里，的開水里，另一只腳放進冰水中。然后宣布：現(xiàn)在，在平均值的另一只腳放進冰水中。然后宣布：現(xiàn)在，在平均值的意義上，我感覺很舒服。意義上，我感覺很舒服。10設設 （nxxx,21） 是是總總體體 x 中中

7、的的樣樣本本 ， (1)(2)( )(,)nxxx為為其其次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量，則則樣樣本本中中位位數(shù)數(shù)定定義義為為 1()21()()2212nnnxnxxxn，奇，偶它的值為它的值為1()21()()2212nnnxnxxxn，奇，偶中位數(shù)定義中位數(shù)定義11樣本中位數(shù)與樣本均值一樣是刻劃樣本位置特征的樣本中位數(shù)與樣本均值一樣是刻劃樣本位置特征的量，而且樣本中位數(shù)的計算方便并不受樣本異常值量，而且樣本中位數(shù)的計算方便并不受樣本異常值的影響，所以有時比樣本均值更有代表性。的影響，所以有時比樣本均值更有代表性。 眾數(shù)定義眾數(shù)定義樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的樣本，例如：樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的樣本，例

8、如： 1 1，1 1，3 3，3 3，4 4，2 2，3 3，8 8 3 312(1). 中位數(shù)比樣本均值更為穩(wěn)健，當二者相差不大時中位數(shù)比樣本均值更為穩(wěn)健，當二者相差不大時 常采用樣本均值表示數(shù)據(jù)平均，否則應該用中位數(shù)。常采用樣本均值表示數(shù)據(jù)平均，否則應該用中位數(shù)。remark(2). 樣本的眾數(shù)適用于離散的總體樣本的眾數(shù)適用于離散的總體13樣本極差樣本極差定義為定義為 ( )(1)11maxmin,niii ni nrxxxx 它的值為它的值為 ( )(1)11maxmin,niii ni nrxxxx 樣本極差與樣本方差一樣是反映樣本值變化幅樣本極差與樣本方差一樣是反映樣本值變化幅度或離

9、散程度的數(shù)字特征，而且計算方便，所度或離散程度的數(shù)字特征，而且計算方便，所以在實際中有廣泛的應用。以在實際中有廣泛的應用。2. 2. 表示表示“變差變差”的統(tǒng)計量：的統(tǒng)計量： 樣本方差樣本方差( (或標準差或標準差) )、極差、極差14(1). 極差計算簡單，但是不如樣本標準差穩(wěn)健。極差計算簡單，但是不如樣本標準差穩(wěn)健。(2). 對于大多數(shù)單峰對稱分布，標準差大約對于大多數(shù)單峰對稱分布，標準差大約 等于極差的四分之一。等于極差的四分之一。(3). 大多數(shù)情況下，數(shù)據(jù)基本上落在大多數(shù)情況下，數(shù)據(jù)基本上落在“均值均值2個個 標準差標準差”的區(qū)間內(nèi)，否則這個數(shù)據(jù)就被認為是的區(qū)間內(nèi)，否則這個數(shù)據(jù)就被認

10、為是 異常的大異常的大或或異常的小異常的小。 在絕大多數(shù)情況下，一組正常的數(shù)據(jù)基本上在絕大多數(shù)情況下，一組正常的數(shù)據(jù)基本上 落在落在“均值均值3個標準差個標準差”的區(qū)間內(nèi)。的區(qū)間內(nèi)。remark15例例 從總體中抽取容量為從總體中抽取容量為6的樣本，測得樣本值為的樣本，測得樣本值為32， 65， 28， 35， 30， 29， 由小到大排列為由小到大排列為28， 29， 30， 32， 35， 65； 則樣本中位數(shù)為：則樣本中位數(shù)為： (3)(4)131;2xxx而樣本均值為：而樣本均值為： 61136.5;6iixx16樣本均值樣本均值x大于樣本值大于樣本值 6 6 個數(shù)中的個數(shù)中的 5 5

11、 個數(shù)，這個數(shù)，這是因為樣本值是因為樣本值 6565 比其它值大許多，可見樣本均值比其它值大許多，可見樣本均值對異常值或極端值較敏感，而樣本中位數(shù)則不受異對異常值或極端值較敏感，而樣本中位數(shù)則不受異常值影響，所以有時候估計總體均值用樣本中位數(shù)常值影響，所以有時候估計總體均值用樣本中位數(shù)比用樣本均值效果更好。比用樣本均值效果更好。 17例例 乙同學畢業(yè)后求職于一家公司。總經(jīng)理說，乙同學畢業(yè)后求職于一家公司?？偨?jīng)理說， 公司平均月薪是公司平均月薪是 3000 元。一個月后乙同學得到元。一個月后乙同學得到 工資工資1000元，據(jù)了解，公司共有元，據(jù)了解，公司共有21人，和自己人，和自己 職位相同的業(yè)

12、務員共有職位相同的業(yè)務員共有 10 人，每人的月薪都是人，每人的月薪都是 1000 元。應該如何理解乙同學的遭遇元。應該如何理解乙同學的遭遇 ？ 總經(jīng)理總經(jīng)理 15, ,000 ；兩個副總經(jīng)理每人；兩個副總經(jīng)理每人 8, ,000 ；3 個部門經(jīng)理每人個部門經(jīng)理每人 4000；5 個財務等行政人員個財務等行政人員每人每人 2000；10 個業(yè)務員每人個業(yè)務員每人 1000 。 一共一共 21 人，每月支出工資人，每月支出工資 63, ,000。平均值平均值 3000，中位數(shù)，中位數(shù) 2000，眾數(shù)，眾數(shù) 1000，極差，極差 14, ,00018下面是某高速公路上發(fā)生的交通事故有關數(shù)據(jù)：下面是某高速公路上發(fā)生的交通事故有關數(shù)據(jù)：速度速度 km / h數(shù)量數(shù)量小于小