統(tǒng)計(jì)學(xué) 第4章 數(shù)據(jù)的概括性度量

1、Nankai University1第四章第四章 數(shù)據(jù)的概括性度量數(shù)據(jù)的概括性度量Contents數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的度量數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的度量1數(shù)據(jù)離散程度的度量數(shù)據(jù)離散程度的度量2數(shù)據(jù)偏態(tài)與峰態(tài)的度量數(shù)據(jù)偏態(tài)與峰態(tài)的度量3Nankai University21.1.數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的度量數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的度量Nankai University3v 集中趨勢(shì)集中趨勢(shì)(central tendency)是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的位置所在。v 眾數(shù)眾數(shù)v 中位數(shù)中位數(shù)v 四分位數(shù)四分位數(shù)v 平均數(shù)平均數(shù)Nankai University4眾數(shù)眾數(shù)v 眾數(shù)眾數(shù)（mode）是一組數(shù)據(jù)

2、中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用M0表示。v 眾數(shù)主要用于測(cè)度分類(lèi)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，當(dāng)然也適用于作為順序數(shù)據(jù)以及數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的測(cè)度值。v 一般情況下，只有在數(shù)據(jù)量較大的情況下，眾數(shù)才有意義v 眾數(shù)是一個(gè)位置代表值，它不受數(shù)據(jù)中極端值的影響。從分布的角度看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢(shì)點(diǎn)的數(shù)值，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)值即為眾數(shù)。v 眾數(shù)可能不存在，也可能有多個(gè)。Nankai University5中位數(shù)中位數(shù)v 中位數(shù)中位數(shù)（median）是一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置上的變量值，用Me表示。v 中位數(shù)主要用于測(cè)度順序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，當(dāng)然也適用于測(cè)度數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，但不適用于分類(lèi)數(shù)據(jù)。v

3、中位數(shù)是一個(gè)位置代表值，其特點(diǎn)是不受極端值的影響。Nankai University6v 計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先對(duì)n個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置，最后確定中位數(shù)的具體數(shù)值。v 中位數(shù)位置的確定公式為： 設(shè)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排序x1，x2，xn，則中位數(shù)為：Nankai University721n中位數(shù)位置為偶數(shù)為奇數(shù)nxxnxMnnne,21,1222)1(四分位數(shù)四分位數(shù)v 四分位數(shù)四分位數(shù)（quartile）也稱(chēng)四分位點(diǎn)，它是一組數(shù)據(jù)排序后處于25%和75%位置上的值，分別稱(chēng)為下四分位數(shù)和上四分位數(shù)。v 計(jì)算四分位數(shù)時(shí)，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定四分位數(shù)所在的位置，該位置上的

4、數(shù)值就是四分位數(shù)。v 四分位數(shù)位置的確定方法有幾種*，每種方法得到的結(jié)果會(huì)有一定差異，但差異不會(huì)很大。設(shè)下四分位數(shù)為QL，上四分位數(shù)為QU，根據(jù)四分位數(shù)定義有 *一種較為準(zhǔn)確的算法是按照下列公式確定位置： ， Nankai University84nQL位置43nQU位置41nQL位置4) 1(3nQU位置v 如果位置是整數(shù)，四分位數(shù)就是該位置對(duì)應(yīng)的值；如果是在0.5的位置上，則取該位置兩側(cè)值的平均數(shù)；如果是在0.25或0.75的位置上，則四分位數(shù)等于該位置的下側(cè)值加上按比例分?jǐn)偽恢脙蓚?cè)數(shù)值的差值。v Q1=第1四分位數(shù)，即第25百分位數(shù)v Q2=第2四分位數(shù)，即第50百分位數(shù)v Q3=第3四

5、分位數(shù)，即第75百分位數(shù)Nankai University9平均數(shù)平均數(shù)v 平均數(shù)平均數(shù)（mean）也稱(chēng)為均值，它是一組數(shù)據(jù)相加后除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)得到的結(jié)果。v 平均數(shù)是集中趨勢(shì)的最主要測(cè)度值，它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，而不適用于分類(lèi)數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)。v 根據(jù)未經(jīng)分組數(shù)據(jù)計(jì)算的平均數(shù)稱(chēng)為簡(jiǎn)單平均數(shù)簡(jiǎn)單平均數(shù)。Nankai University10NxNii1nxxnii1（總體）（樣本）v 根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算的平均數(shù)稱(chēng)為加權(quán)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)，設(shè)共分成k組，各組組中值分別用M1,M2,Mk表示，f1,f2,fk表示各組頻數(shù)，式中n為樣本量 。v 計(jì)算加權(quán)平均數(shù)時(shí)，用各組的組中值代表各組的實(shí)際數(shù)據(jù)，使用這

6、一代表值時(shí)是假定各組數(shù)據(jù)在組內(nèi)是均勻分布的，如果實(shí)際數(shù)據(jù)與這一假定相吻合，計(jì)算的結(jié)果還是比較準(zhǔn)確的，否則誤差會(huì)很大。Nankai University11ifnnMfXkiii1v 幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)（geometric mean）是n個(gè)變量值乘積的n次方根，用G表示。v 計(jì)算公式為v 幾何平均數(shù)是適用于特殊數(shù)據(jù)的一種平均數(shù)，它主要用于計(jì)算平均比率。當(dāng)變量值本身是比率的形式時(shí)，采用幾何平均值計(jì)算平均比率更為合理。在實(shí)際應(yīng)用中，幾何平均數(shù)主要用于計(jì)算現(xiàn)象的平均增長(zhǎng)率。v 當(dāng)所平均的各比率數(shù)值相差不大時(shí)，算術(shù)平均和幾何平均的結(jié)果相差不大，否則二者的差別就很明顯。Nankai University

7、12nniinnxxxxG121v 例例1：調(diào)查：調(diào)查300個(gè)人的政黨背景，形成如下數(shù)據(jù)分布結(jié)果個(gè)人的政黨背景，形成如下數(shù)據(jù)分布結(jié)果，請(qǐng)問(wèn)眾數(shù)是什么？，請(qǐng)問(wèn)眾數(shù)是什么？v 例例2：隨機(jī)抽取：隨機(jī)抽取9個(gè)學(xué)生，調(diào)查得到的每位學(xué)生的人均月個(gè)學(xué)生，調(diào)查得到的每位學(xué)生的人均月花銷(xiāo)數(shù)據(jù)如下，請(qǐng)計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)、均值?；ㄤN(xiāo)數(shù)據(jù)如下，請(qǐng)計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)、均值。 750 600 820 430 750 1000 550 680 480Nankai University13政黨背景頻數(shù)民主黨90共和黨70無(wú)黨派人士140v 例例3：下面是隨機(jī)抽取的：下面是隨機(jī)抽取的5個(gè)家庭的收入：個(gè)家庭的收入： 135,456

8、 25,500 32,456 54,365 37,668 請(qǐng)問(wèn)中位數(shù)和平均值哪個(gè)可以更好的作為這組數(shù)據(jù)集請(qǐng)問(wèn)中位數(shù)和平均值哪個(gè)可以更好的作為這組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的代表值？中趨勢(shì)的代表值？Nankai University14優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)眾數(shù)不受極端值影響眾數(shù)不受極端值影響可應(yīng)用于定性數(shù)據(jù)可應(yīng)用于定性數(shù)據(jù)15缺點(diǎn)缺點(diǎn)一組數(shù)據(jù)可能不存在眾數(shù)有時(shí)一組數(shù)據(jù)可能會(huì)有一個(gè)以上的眾數(shù)眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)只有在數(shù)據(jù)量較大的情況下，眾數(shù)才有意義，當(dāng)數(shù)據(jù)量較少時(shí)，不宜使用眾數(shù)。眾數(shù)主要適合作為分類(lèi)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)中位數(shù)不受極端值的中位數(shù)不受極端值的影響影響16缺點(diǎn)缺點(diǎn)需要對(duì)數(shù)據(jù)排序，對(duì)大樣本將非常繁瑣中位數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)

9、當(dāng)一組數(shù)據(jù)的分布偏斜程度較大時(shí)，考慮使用中位數(shù)。中位數(shù)主要適合作為順序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)利用了全部數(shù)據(jù)信息利用了全部數(shù)據(jù)信息一組數(shù)據(jù)只有一個(gè)平一組數(shù)據(jù)只有一個(gè)平均數(shù)并且組中每個(gè)數(shù)均數(shù)并且組中每個(gè)數(shù)據(jù)的變化都會(huì)影響平據(jù)的變化都會(huì)影響平均數(shù)均數(shù)17缺點(diǎn)缺點(diǎn)平均數(shù)受極端值的影響平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，平均數(shù)的代表性較差，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的分布偏斜程度較大時(shí)，考慮使用中位數(shù)或眾數(shù)。平均數(shù)主要適合作為數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。2.2.數(shù)據(jù)離散程度的度量數(shù)據(jù)離散程度的度量Nankai University18v 數(shù)據(jù)的離散程度離散程度是數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征，反映的是各變量值遠(yuǎn)離其中心

10、值的程度。v 數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表性就越差；離散程度越小，其代表性就越好。v 異眾比率異眾比率v 四分位間距四分位間距v 極差極差v 平均差平均差v 方差、標(biāo)準(zhǔn)差方差、標(biāo)準(zhǔn)差v 變異系數(shù)變異系數(shù)Nankai University19異眾比率異眾比率v 異眾比率異眾比率（variation ratio）是指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例，用Vr表示。v 異眾比率主要適合測(cè)度分類(lèi)數(shù)據(jù)的離散程度，當(dāng)然，對(duì)于順序數(shù)據(jù)以及數(shù)值型數(shù)據(jù)也可以計(jì)算異眾比率。v 異眾比率主要用于衡量眾數(shù)對(duì)一組數(shù)據(jù)的代表程度。異眾比率越大，說(shuō)明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越大，眾數(shù)的代表性越差；異眾

11、比率越小，說(shuō)明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越小，眾數(shù)的代表性越好。Nankai University20四分位間距四分位間距v 四分位間距四分位間距（ Interquartile Range, IQR ）是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差。v 四分位間距主要用于測(cè)度順序數(shù)據(jù)的離散程度，對(duì)于數(shù)值型數(shù)據(jù)也可以計(jì)算四分位間距，但并不適合分類(lèi)數(shù)據(jù)。v 四分位間距反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，其數(shù)值越小，說(shuō)明中間的數(shù)據(jù)越集中；其數(shù)值越大，說(shuō)明中間的數(shù)據(jù)越分散。v 四分位間距不受極值的影響。Nankai University21極差極差v 測(cè)度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的方法主要有極差、平均差、方測(cè)度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程

12、度的方法主要有極差、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。差和標(biāo)準(zhǔn)差。v 一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差稱(chēng)為極差極差（range），也稱(chēng)全距，通常用R表示。v 極差是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡(jiǎn)單測(cè)度值，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于理解，但它容易受極端值的影響。v 由于極差只利用了一組數(shù)據(jù)兩端的信息，不能反映出中間數(shù)據(jù)的分散情況，因而不能準(zhǔn)確描述出數(shù)據(jù)的分散程度。Nankai University22平均差平均差v 平均差平均差（mean deviation）也稱(chēng)平均絕對(duì)離差平均絕對(duì)離差（mean absolute deviation），它是各變量值與其平均數(shù)離差的絕對(duì)值的平均數(shù)，用Md表示。 根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算平均差： 根據(jù)分組

13、數(shù)據(jù)計(jì)算平均差：v 平均差以平均數(shù)為中心，反映了每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的平均差異程度。平均差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度越大；反之則說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度越小。v 為了避免離差之和等于零而無(wú)法計(jì)算平均差這一問(wèn)題，平均差以離差的絕對(duì)值來(lái)表示總離差，這就給計(jì)算帶來(lái)了不便，因而在實(shí)際中應(yīng)用較少。Nankai University23niidxxnM11kiiidxMfnM11方差、標(biāo)準(zhǔn)差方差、標(biāo)準(zhǔn)差v方差方差（variance）是各變量值與其平均數(shù)離差平方的平均數(shù)。 根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算方差： 根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算方差：Nankai University24樣本方差NXnii122)(1)(122nXXsnii總體方差

14、樣本方差NMfkiii122)(1)(122nXMfskiii總體方差v 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）為方差的平方根。 根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差： 根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：v 方差和標(biāo)準(zhǔn)差能較好的反映出數(shù)據(jù)的離散程度，是實(shí)際中應(yīng)用最廣的離散程度測(cè)度值。Nankai University25樣本標(biāo)準(zhǔn)差niiXN12)(1niiXXns12)(11總體標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差kiiiMfN12)(1kiiiXMfns12)(11總體標(biāo)準(zhǔn)差v 方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是變異性、離散度的量度。v 方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)值分布越廣，則數(shù)值之間的相互差異越大。v 方差、標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)極值很敏感。v 標(biāo)準(zhǔn)差以

15、最初的計(jì)算單位存在，方差以平方單位存在。Nankai University26變異系數(shù)變異系數(shù)v 變異系數(shù)變異系數(shù)（coefficient of variation）也稱(chēng)為離散系數(shù)，是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的平均數(shù)之比。v 變異系數(shù)是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)統(tǒng)計(jì)量，它是一個(gè)無(wú)量綱的量，主要是用于比較不同樣本數(shù)據(jù)的離散程度。v 變異系數(shù)大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度也大；變異系數(shù)小，說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度也小。* *注意：當(dāng)平均數(shù)接近零時(shí)，離散系數(shù)的值趨于增大，此時(shí)必須慎重解釋。Nankai University27xsv 3.3.數(shù)據(jù)偏態(tài)與峰態(tài)的度量數(shù)據(jù)偏態(tài)與峰態(tài)的度量Nankai University28v