數(shù)字信號(hào)處理期末復(fù)習(xí)資料終極版

1、【1】 判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。（1），a是常數(shù)；解：，這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是t=14；【2】.設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，與分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的。（1）；解 令：輸入為，輸出為故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 （2）y(n)=x(n)sin(n) 解：令輸入為x(nn0) 輸出為y(n)=x(nn0) sin(n) y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n) 故系統(tǒng)不是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=atx1(n)+btx2(

2、n) 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。【3】.給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說(shuō)明理由。 y(n)=x(n)+x(n+1)解： 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)間的輸出還和n時(shí)間以后（n+1）時(shí)間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|m, 則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2m, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)【4】.用微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率f50 hz， 信號(hào)最高頻率為 1 khz， 試確定以下各參數(shù)：(1) 最小記錄時(shí)間tp min；(2) 最大取樣間隔tmax； (3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)nmin； (4) 在頻帶寬度不變的情況下，使頻率分辨率提高1倍（即f縮小一半）的n值

3、。 解：（1）已知f=50 hz，因而 （2） （3） （4）頻帶寬度不變就意味著采樣間隔t不變，應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍，即為0.04 s， 實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（f變?yōu)樵瓉?lái)的1/2）。【5】設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。 按照?qǐng)D寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式:因?yàn)?所以 將x(n)的表達(dá)式代入上式，得到【6】?jī)蓚€(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為 x(n)=0 n<0, 8n y(n)=0 n<0, 20n對(duì)每個(gè)序列作20點(diǎn)dft， 即 x(k)=dftx(n) k=0, 1, , 19 y(k)=df

4、ty(n) k=0, 1, , 19試問(wèn)在哪些點(diǎn)上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么？解: 如前所述， 記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=idftf(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長(zhǎng)度為27， f(n)長(zhǎng)度為20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為 只有在如上周期延拓序列中無(wú)混疊的點(diǎn)上， 才滿足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19【7】設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) （1） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)h(z)， 并畫出極零點(diǎn)分布圖； （2） 限定系統(tǒng)是因果的，

5、寫出h(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)； （3） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫出h(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解：（1）y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)進(jìn)行z變換，得到 y(z)=y(z)z1+y(z)z2+x(z)z1 因此，零點(diǎn)為z=0 令z2z1=0， 求出極點(diǎn)： ，(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的，收斂域需選包含點(diǎn)在內(nèi)的收斂域，即。 由，得 令，得， n0時(shí)，h(n)=resf(z), z1+resf(z), z2 因?yàn)閔(n)是因果序列，n<0時(shí)，h(n)=0，故（3）由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域，即|z2|&l

6、t;|z|<|z1|。 n0時(shí)，c內(nèi)只有極點(diǎn)z2，只需求z2點(diǎn)的留數(shù)，。 n<0時(shí)，c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)：z2和z=0，因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改成求圓外極點(diǎn) 留數(shù)，圓外極點(diǎn)只有一個(gè)，即z1, 那么。 最后得：?！?】頻域循環(huán)移位定理證明 ：dft的頻域循環(huán)卷積定理重寫如下: 設(shè)h(n)和x(n)的長(zhǎng)度分別為n和m ， 則， 其中 lmaxn，m根據(jù)dft的惟一性，只要證明，就證明了dft的頻域循環(huán)卷積定理。【9】已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：，試采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。設(shè)t=2 s。解：用脈沖響應(yīng)不變法： 用雙線性變換法： 【10】已知f(n)=x(n)+

7、jy(n)， x(n)與y(n)均為長(zhǎng)度為n的實(shí)序列。設(shè)f(k)=dftf(n)n,0kn1(1)(2) f(k)=1+jn試求x(k)=dftx(n)n， y(k)=dfty(n)n以及x(n)和y(n)。 解: 由dft的共軛對(duì)稱性可知x(n)x(k)=fep(k)jy(n)jy(k)=fop(k) 令只要證明a(k)為共軛對(duì)稱的，b(k)為共軛反對(duì)稱， 則就會(huì)有 a(k)=fep(k)=x(k), b(k)=fop(k)=jy(k)因?yàn)?，共軛?duì)稱共軛反對(duì)稱 所以 【11】已知fir濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)和線性相位結(jié)構(gòu)。 解： 畫出濾波器的直接型結(jié)構(gòu)、 線性相位結(jié)構(gòu)分

8、別如題9解圖(a)、 (b)所示?！?2】如果某通用單片計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要4 s， 每次復(fù)數(shù)加需要1 s， 用來(lái)計(jì)算n=1024點(diǎn)dft， 問(wèn)直接計(jì)算需要多少時(shí)間。 用fft計(jì)算呢？照這樣計(jì)算， 用fft進(jìn)行快速卷積對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)， 估計(jì)可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率。 解: 當(dāng)n=1024=210時(shí)， 直接計(jì)算dft的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)為n2=1024×1024=1 048 576次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)為 n（n1）=1024×1023=1 047 552次直接計(jì)算所用計(jì)算時(shí)間td為td=4×106×10242+1 047 552×1

9、06=5.241 856 s用fft計(jì)算1024點(diǎn)dft所需計(jì)算時(shí)間tf為快速卷積時(shí)， 需要計(jì)算一次n點(diǎn)fft（考慮到h(k)=dfth(n)已計(jì)算好存入內(nèi)存）、 n次頻域復(fù)數(shù)乘法和一次n點(diǎn)ifft。 所以， 計(jì)算1024點(diǎn)快速卷積的計(jì)算時(shí)間tc約為所以， 每秒鐘處理的采樣點(diǎn)數(shù)（即采樣速率）由采樣定理知， 可實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率為應(yīng)當(dāng)說(shuō)明， 實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)， fmax還要小一些。 這是由于實(shí)際中要求采樣頻率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重疊相加法時(shí)， 重疊部分要計(jì)算兩次。 重疊部分長(zhǎng)度與h(n)長(zhǎng)度有關(guān)， 而且還有存取數(shù)據(jù)和指令周期等消耗的時(shí)間。 【13】已知x(k)和y(k)是兩個(gè)n點(diǎn)實(shí)序列x

10、(n)和y(n)的dft， 希望從x(k)和y(k)求x(n)和y(n)， 為提高運(yùn)算效率， 試設(shè)計(jì)用一次n點(diǎn)ifft來(lái)完成的算法。 解: 因?yàn)閤(n)和y(n)均為實(shí)序列， 所以， x(k)和y(n)為共軛對(duì)稱序列， jy(k)為共軛反對(duì)稱序列。 可令x(k)和jy(k)分別作為復(fù)序列f(k)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量， 即f(k)=x(k)+jy(k)=fep(k)+fop(k)計(jì)算一次n點(diǎn)ifft得到 f(n)=ifftf(k)=ref(n)+j imf(n)【14】已知，求fft4。 【15】設(shè)fir網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)為，畫出的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解：，級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)和直接型結(jié)構(gòu)如下：

11、 級(jí)聯(lián)型 直接型 【16】已知系統(tǒng)用下面差分方程描述：，試分別畫出系統(tǒng)的直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)。解：將原式移項(xiàng)： 將上式進(jìn)行z變換： 則：（1）可畫出直接型結(jié)構(gòu)（2）將h(z)的分母進(jìn)行因式分解：按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)： ，級(jí)聯(lián)型a ，級(jí)聯(lián)型b （3）將h(z)進(jìn)行部分分式展開(kāi)： ； 【17】已知fir濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：（1） h(n)長(zhǎng)度n=6 h(0)=h(5)=1.5h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 試分別說(shuō)明它們的幅度特性和相位特性各有什么特點(diǎn)。解： 由所給h(n)的取值可知，h(n)滿足h(n)=h(n

12、1n)， 所以fir濾波器具有a類線性相位特性： 【18】設(shè)fir濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)， 判斷是否具有線性相位， 求出其幅度特性函數(shù)和相位特性函數(shù)。解: 對(duì)fir數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為 所以其單位脈沖響應(yīng)為由h(n)的取值可知h(n)滿足： h(n)=h(n1n) n=5所以， 該fir濾波器具有第一類線性相位特性。 頻率響應(yīng)函數(shù)h(ej)為幅度特性函數(shù)相位特性函數(shù)為【19】用矩形窗設(shè)計(jì)線性相位低通fir濾波器， 要求過(guò)渡帶寬度不超過(guò)/8 rad。 希望逼近的理想低通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)hd(ej)為（1） 求出理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)；（2） 求

13、出加矩形窗設(shè)計(jì)的低通fir濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達(dá)式， 確定與n之間的關(guān)系；（3） 簡(jiǎn)述n取奇數(shù)或偶數(shù)對(duì)濾波特性的影響。解: （1）（2） 為了滿足線性相位條件， 要求， n為矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度。 因?yàn)橐筮^(guò)渡帶寬度rad, 所以要求/8, 求解得到n32。 加矩形窗函數(shù), 得到h(n)： 4/n /8 (3)n取奇數(shù)時(shí)，幅度特性函數(shù)hg()關(guān)于=0, , 2三點(diǎn)偶對(duì)稱，可實(shí)現(xiàn)各類幅頻特性； n取偶數(shù)時(shí),hg()關(guān)于=奇對(duì)稱，即hg()=0，所以不能實(shí)現(xiàn)高通、 帶阻和點(diǎn)阻濾波特性。 【20】對(duì)下面的每一種濾波器指標(biāo)， 選擇滿足firdf設(shè)計(jì)要求的窗函數(shù)類型和長(zhǎng)度。 （1） 阻帶衰減為20 db， 過(guò)渡帶寬度為1 khz， 采樣頻率為12 khz； （2） 阻帶衰減為50 db， 過(guò)渡帶寬度為2 khz， 采樣頻率為20 khz； （3） 阻帶衰減為50 db， 過(guò)渡帶寬度為500 hz， 采樣頻率為5 khz。（1） 矩形窗滿足本題要求。 過(guò)渡帶寬度1 khz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為b=200/12 0