畢業(yè)設(shè)計(jì)論文解析幾何問題的技巧和方法

1、解析幾何問題的技巧和方法skills and methods of analytic geometry problems論文作者： 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師： 完成時(shí)間： 2010 年 10 月 29 日摘 要 解析幾何的優(yōu)點(diǎn)在于樹形結(jié)合而又動(dòng)態(tài)的處理問題，其解題思路有很強(qiáng)的程序性，但是，盲目操作往往會(huì)帶來繁瑣的討論或復(fù)雜的計(jì)算。本文通過對(duì)一些典型例題的分析，介紹解析幾何中的一些常見的解題技巧。abstract the advantages of analytic geometry are the combination of the tree and the form, its dyn

2、amic problem solving and strong procedural thinking, however., blind operation will often bring about trival discussion or complicated calculation. we will based on the analysis of some typical examples to introduce some common analytic geometry of problem solving skills. 關(guān)鍵詞：方程; 幾何圖形; 曲線; 坐標(biāo)平面；轉(zhuǎn)化;不

3、等式keywords: equation; geometry; curve; coordinate plane; conversion; inequality目 錄1、 引言（ 4 ）2、 正文（ 4 ）2.1 解析幾何中有關(guān)幾何量的計(jì)算和證明問題 （ 4 ）2.1.1 靈活運(yùn)用方程思想（ 4 ）2.1.2 靈活運(yùn)用平面幾何和曲線本身的知識(shí)（ 5 ）2.1.3 選擇曲線方程的形式和恰當(dāng)?shù)脑O(shè)置坐標(biāo)系 （ 5 ）2.2 解析幾何中的最值問題和不等式證明（ 6 ）2.2.1 轉(zhuǎn)化為求代數(shù)或三角函數(shù)的最值和值域 （ 6 ）2.2.2 轉(zhuǎn)化為討論一元二次方程的根的性質(zhì) （ 6 ）2.2.3 利用常用基本

4、不等式（如平均值不等式、柯西不等式等） （ 7 ）2.2.4 利用曲線的定義、性質(zhì)及平面幾何的知識(shí) （ 8 ）3、 總結(jié)（ 8 ）4、參考文獻(xiàn) （ 9 ）1、引言在解析幾何學(xué)習(xí)中，許多同學(xué)對(duì)所學(xué)的基本概念已經(jīng)理解，基本公式已經(jīng)熟練，但是拿到題目時(shí)卻感覺無從入手。其實(shí)原因很簡(jiǎn)單：一是在學(xué)習(xí)中沒有注意總結(jié)歸納基本題型及其解法；二是對(duì)老師歸納過的一些解法未能內(nèi)化，成為自己的東西；三是缺乏對(duì)解題策略的探究。本文就對(duì)每一種方法舉一個(gè)例子來加深讀者對(duì)這些解題技巧的利用的印象。2、正文解析幾何需要的是學(xué)生的基本運(yùn)算能力，所以解析幾何考題學(xué)生普遍感覺較難對(duì)付。其實(shí)，我們對(duì)待解析幾何的題目只要用適合題目的方法去

5、做就會(huì)很簡(jiǎn)單，關(guān)鍵就是怎么用最適合題目的方法，這就需要我們自己多積累經(jīng)驗(yàn)，時(shí)?？偨Y(jié)歸納基本題型和解法，讓學(xué)到的知識(shí)完完全全變成自己的東西。解析幾何的解題技巧很多，下面我就解析幾何中的有關(guān)幾何量的計(jì)算與證明和最值問題與不等式證明做一個(gè)簡(jiǎn)單的歸納總結(jié)。2.1 解析幾何中有關(guān)幾何量的計(jì)算和證明問題2.1.1 靈活運(yùn)用方程思想例1 已知拋物線及定點(diǎn),，是拋物線上的點(diǎn)。設(shè)直線、與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，。求證：當(dāng)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要，存在且）,直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。解設(shè)（，），（，），（，），則可求得的直線方程為.的直線方程為.的直線方程為. 將,分別代入，得，消去得，整理成的方程形

6、式，得 將 和 比較知直線過定點(diǎn)（，）本題通過利用輪換對(duì)稱的方法簡(jiǎn)化了方程的計(jì)算，并且對(duì)、也是只設(shè)不求，這樣就大大減少了運(yùn)算過程。2.1.2 靈活運(yùn)用平面幾何和曲線本身的知識(shí)例2 如圖1點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，它到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，為的中點(diǎn)，表示原點(diǎn)，則=（）。a. b. c. d. 解 設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，則 ，而,所以. 又注意到，各為、的中點(diǎn)， 所以是的中位線， 1所以.本題靈活的運(yùn)用了橢圓的第一定義，求坐標(biāo)再確定的值，而只需求出的長(zhǎng)度就可以求出的值。2.1.3 選擇曲線方程的形式和恰當(dāng)?shù)脑O(shè)置坐標(biāo)系例3 設(shè)為拋物線頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)且為過的弦。已知，求的面積。解以為原點(diǎn)，為軸建立直角坐標(biāo)系。因?yàn)?/p>

7、，為焦點(diǎn)，故拋物線的方程為，設(shè)直線的參數(shù)方程為 ，為的傾斜角，代入拋物線方程，整理后得設(shè)其兩根為，則 故，于是 當(dāng)已知條件或結(jié)論涉及過一定點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度時(shí)，可考慮該弦的方程用直線的參數(shù)方程表示，利用參數(shù)的幾何意義和韋達(dá)定理便很容易求出弦的長(zhǎng)度。2.2 解析幾何中的最值問題和不等式證明2.2.1 轉(zhuǎn)化為求代數(shù)或三角函數(shù)的最值和值域例4 若橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是多少？解 由可設(shè)，代入得，故因?yàn)椋?，故。本題利用極坐標(biāo)將問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的取值范圍求出的取值范圍。2.2.2 轉(zhuǎn)化為討論一元二次方程的根的性質(zhì)例5 已知,滿足，求的最大值與最小值。解 令,則,原問題轉(zhuǎn)

8、化為：在橢圓上求一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的直線斜率為，且在軸上的截距最大或最小，由圖2知，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，有最大截距和最小截距。 由，得，故得最大值為， 2最小值為。 像本題中對(duì)于二元函數(shù)在限定條件下求最值問題，常采用構(gòu)造截距的方法來求。2.2.3 利用常用基本不等式（如平均值不等式、柯西不等式等）例6 給定橢圓,求與這個(gè)橢圓有公共交的雙曲線，使以它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積最大，并求出相應(yīng)的四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)。解 設(shè)雙曲線方程為，由已知條件，解方程組 得橢圓與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足，。因橢圓與雙曲線關(guān)于軸和軸對(duì)稱，所以以它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形是矩形，從而其面積，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，故所求的雙曲線

9、方程為從而相應(yīng)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,。本題求最大面積時(shí)用到了均值不等式，并且考慮到均值不等式等號(hào)成立的情況求出了最大面積時(shí)m,n,a,b之間的關(guān)系，進(jìn)而就求出了頂點(diǎn)坐標(biāo)。2.2.4 利用曲線的定義、性質(zhì)及平面幾何的知識(shí)例 7 求函數(shù)的最大值。解 由于，可知表示拋物線上的點(diǎn)到兩點(diǎn)和的距離的差。如圖3，因在拋物線的下方， 在拋物線的上方，故直線與拋物線相交，交點(diǎn)由方程組 a1b2確定。消去得，因常系c數(shù)小于零，故方程必有負(fù)實(shí)根，設(shè)負(fù)實(shí)1 2 3根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則 3,當(dāng)且僅當(dāng)p與c重合時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為。本題靈活的將問題轉(zhuǎn)化到拋物線上求點(diǎn)的距離，技巧性高，做這類題目需要仔細(xì)觀察題目里函數(shù)的

10、性質(zhì)特點(diǎn)，并且要很好的掌握各類曲線的定義和性質(zhì)。3、總結(jié)上面僅將解析幾何中的有關(guān)幾何量的計(jì)算證明和最值問題及不等式的證明的一些題型及其解法作了介紹，其他題型及其解法其實(shí)也可仿點(diǎn)類似的方法進(jìn)行歸納總結(jié)。解析幾何是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的一門學(xué)科，由于其研究方法的獨(dú)特性，因此，學(xué)習(xí)中需要同學(xué)們注意總結(jié)，善于歸納，加強(qiáng)解題策略的探究，對(duì)所學(xué)的知識(shí)就會(huì)融會(huì)貫通，解題時(shí)就會(huì)左右逢源。參考文獻(xiàn)1 書籍。張垚，沈文選.奧林匹克數(shù)學(xué)中的真題分析m. 湖南：湖南師范大學(xué)出版社,2005.7:115-130.2書籍。 葉立軍.數(shù)學(xué)方法論m.杭州:浙江大學(xué)出版社,2008.6:153-154.3 期刊。薛黨鵬，解析幾何問