高數(shù)泰勒公式PPT課件

1、1主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學(xué) 第十七講2二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式 第八節(jié)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析近似計(jì)算泰勒 ( taylor )公式 第二二章 3特點(diǎn):)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問(wèn)題如何提高精度 ?如何估計(jì)誤差 ?xx 的一次多項(xiàng)式若)(xf是非多項(xiàng)式函數(shù)，問(wèn)是否可用一個(gè)

2、n次多項(xiàng)式)(xpn來(lái)近似表示?)(xf40)(xexfx由( )(0)(0)f xffx)(1100 xpxxeeex誤差)1 ()(1xexrxxxrx)(lim10001lim0 xxexx01lim0 xxe)()(1xoxr)(1xoxex)()(11xrxp即為一次多項(xiàng)式x的高階無(wú)窮小試問(wèn))(1222xoxaxex是否成立？即是否求出2a)(1(lim22202xxoxxeaxx2121lim0 xexx特例：特例：5即)()()(2112222xoxpxoxxex22211)(xxxp為拋物線與xey 更為接近問(wèn))(2113332xoxaxxex類(lèi)似方法可得! 313a)()()

3、(! 3121133332xoxpxoxxxex2111()( )()2!xnnnnexxxo xp xo xn 右邊的多項(xiàng)式在0的附近可以無(wú)限的接近于如何用高次多項(xiàng)式來(lái)近似表示已給函數(shù)，并給出誤差公式呢?( )xf xe61. 求求 n 次近似多項(xiàng)式次近似多項(xiàng)式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令令)(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00

4、xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(0202017)0(之間與在nx )( )(10nnxxxr )(2) 1( )(0)(xnrnnnn2. 余項(xiàng)估計(jì)余項(xiàng)估計(jì))()()(xpxfxrnn令(稱(chēng)為余項(xiàng)) ,)(0 xrn)(0 xrn0)(0)(xrnn10)()(nnxxxrnnxnr)(1()(011 )(1( )(011nnxnr1022)() 1()( nnxnnr! ) 1()()1(nrnn則有

5、)(0 xrn0)(0 xrn0)(0)(xrnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x8)()()(xpxfxrnn10)()(nnxxxr! ) 1()()1(nrnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr)()()1()1(xfxrnnn時(shí)的某鄰域內(nèi)當(dāng)在mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnmxr)()()(00 xxxxoxrnn9公式 稱(chēng)為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱(chēng)為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .泰勒中值定理泰勒中值定理 :內(nèi)具有的某開(kāi)區(qū)間在包含若),

6、()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時(shí), 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr則當(dāng))0(之間與在xx10公式 稱(chēng)為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(peano) 余項(xiàng)余項(xiàng) .在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫(xiě)為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxr注意到* 可以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點(diǎn)nxxf0)( 式成立11特例特例:(1) 當(dāng) n = 0 時(shí),

7、 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見(jiàn))(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxr 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx12稱(chēng)為麥克勞林（麥克勞林（ maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1

8、(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(mxfn則有誤差估計(jì)式1! ) 1()(nnxnmxr2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式13二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xrn!22x其中)(

9、xrn! ) 1( n) 10(1nxxe14)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xrm其中)(2xrm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm!) 12(m12mx154224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近1

10、612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近17xy xysin ! 33xxy o五、小結(jié)1 1. .t tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ; 18xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;19xy xysin ! 33xx

11、y ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小結(jié)1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;20 xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;212 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .222 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .232 2. .t tayloraylor 公式的

12、數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .242 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .252 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .262 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .272 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .282 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .292 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-

13、局部逼近局部逼近. .302 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .312 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .322 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .332 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .342 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .352 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .3

14、62 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .37! )2(2mxmxxfcos)()3(類(lèi)似可得xcos1!22x!44x)(12xrm其中)(12xrm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx38) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xrn其中)(xrn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n39) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22

15、x33xnxn)(xrn其中)(xrn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n類(lèi)似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k401. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例1 計(jì)算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用41例例2 2 求xxxxeixx30sin1sinlim解：解： 用函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式求此極限 22! 21xoxxex 43!

16、 3sinxoxxx 4323sinxoxxxxex 3233203limxxxxoxxxix3142.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項(xiàng),x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox2x43)(2216941xox 例例3. 求43例例4 設(shè)111( )1xxf xxe，求0lim( ).xf x解解11ln( )ln(1)1xf xxx 22211lnxoxxx210

17、)(limexfx2ln(1) xxx4411)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(2. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx45例例5 5 設(shè)當(dāng)1.)x( )0,(1)2,(1)3fxff ( )0f x 1,)x( )f x1x 21( )(1)(1)(1 +( )1)2f xffxfx）（！212

18、3(1)( )(1)2xfx23(1)53xx(2)10f (1,2)( )0.f(1)20f( )0f x ，有證明在時(shí)，至少有一個(gè)實(shí)根。在處展開(kāi)成一階泰勒公式因此 ，根據(jù)連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)而此使得的一個(gè)實(shí)根。 證明證明 將定理可知，至少存在一點(diǎn)為2. 利用泰勒公式證明方程根的存在性利用泰勒公式證明方程根的存在性46內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項(xiàng))(0nxxo當(dāng)00 x時(shí)為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr)0(之間與在xx472. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( p139 p140 ),xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計(jì)算(3) 其他應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) , xsin例如48作業(yè)作業(yè)p141 1（2） ; 3；4 ; 5 ; 6； 7 49泰勒泰勒 (1685 1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家, 他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(171