幾類特殊函數(shù)的求導(dǎo)PPT課件

1、1例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 yeexyyyeyyy )(),(, 為中間變量，為中間變量，第1頁/共24頁2處的切線方程。處的切線方程。在點(diǎn)在點(diǎn)：求橢園：求橢園例例)323, 2(1916 2 22 yx)2(43323 xy切線方程為：切線方程為：求求導(dǎo)導(dǎo)解解：方方程程兩兩邊邊對對 x0dd928 xyyx43dd169dd3232 yx

2、xyyxxy第2頁/共24頁3例例3 3.,)23,23(,333線線通通過過原原點(diǎn)點(diǎn)在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點(diǎn)點(diǎn)上上求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對xxyxyxyyxdd33dd3322 )23,23(22)23,23(ddxyxyxy . 1 所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為, xy 即即顯然通過原點(diǎn).第3頁/共24頁4.dd 422xyxyey數(shù)數(shù)所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)：求求方方程程例例 ),(,xyyx 注意注意求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)解：

3、方程兩邊對解：方程兩邊對 .232xeeyyxeyyy 2221ddxexeyeyxexeyxyyyyyy ,1dddd2xexyeyxexyyyy xeyxxyxxyydddddddd22求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，得得上上式式兩兩邊邊再再對對 x,ddxeyxyy ,dddd xyxyxyey 第4頁/共24頁5例例5 5.)1 , 0(dd, 12244處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)xyyxyx 解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對對 x)1(0dd4dd433 xyyxyxyx得得代入代入1, 0 yx;41dd10 yxxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(0dd4)dd(12dddd2

4、1222322222 xyyxyyxyxxyx得得41dd10 yxxy, 1, 0 yx代入代入.161dd1022 yxxy第5頁/共24頁62.4.2 對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù),)4(1)1(23xexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxuxxysin 第6頁/共24頁7 .1 ln xx 例：例： ,1 ln0 xxx 時，時，當(dāng)當(dāng) ,1)1(1 ln0 xxxx 時，時，當(dāng)當(dāng) .1 ln xx 總有總有第7頁/共24頁8例例1 1解解

5、 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得xxxxy 4ln21ln311lnln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)第8頁/共24頁9例例2 2 解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對對 xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 求求導(dǎo)導(dǎo)法法求求導(dǎo)導(dǎo)：也也可可直直接接根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))ln(sinlnsin xxexx1sinlncos

6、sinxxxxxx )()(lnsinsin xxxexy第9頁/共24頁10一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 第10頁/共24頁112.4.3參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)問題問題: : 消參困

7、難或無法消參如何求導(dǎo)?t第11頁/共24頁12),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx .)(1是是中中間間變變量量xt 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得第12頁/共24頁13,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttt

8、tdxyd 即即dtdxttdtd)()( dxdtdtdxdyd .)(1是是中中間間變變量量xt 第13頁/共24頁14例例3 3解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin( ttayttax )sin()cos1(ttata.),12(,2ayaxt 時時當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為)12( axay)22( axy即即第14頁/共24頁15例例4 4解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時刻炮彈在時刻的運(yùn)動方向的運(yùn)動方

9、向炮彈在時刻炮彈在時刻求求其運(yùn)動方程為其運(yùn)動方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計空氣的阻力不計空氣的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運(yùn)動方向即時刻的運(yùn)動方向即在在tt第15頁/共24頁16)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttt

10、tygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 第16頁/共24頁17例例5 5解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 dxdtttdtd)()( dxdtdtdxdyd dtdxttdtd)()( 第17頁/共24頁182.4.4 相關(guān)變化率.,)(:)

11、,(,)()(化化率率稱稱為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率這這樣樣兩兩個個相相互互依依賴賴的的變變之之間間也也存存在在一一定定關(guān)關(guān)系系與與從從而而它它們們的的變變化化率率之之間間存存在在某某種種關(guān)關(guān)系系與與而而變變量量都都是是可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdxxfdtdydtdydtdxxfyyxtyytxx 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?dtdxxfdtdyxfy)(),( 即即可可得得建建立立關(guān)關(guān)系系求法：第18頁/共24頁19例例6 6解解?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加米米時時當(dāng)當(dāng)氣氣球球高高度度為

12、為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米時米時當(dāng)當(dāng)h)/(14. 0秒秒弧度弧度 dtd 仰角增加率 米米500米米500第19頁/共24頁20例例7 7解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小時時上上升升幾幾米米米米時時問問水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長長為為水水庫庫秒秒的的體

13、體流流量量流流入入水水庫庫中中米米河河水水以以則則水水庫庫內(nèi)內(nèi)水水量量為為水水深深為為設(shè)設(shè)時時刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhhdtdV 38000,/28800360083小時小時米米 dtdV小時小時米米/104. 0 dtdh水面上升之速率0604000m,20米時米時當(dāng)當(dāng) h 22232212:hhhh 截截面面積積h2第20頁/共24頁21小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對方程兩邊求導(dǎo);對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法: : 對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率相關(guān)變