分離變量法分享課件

1、第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波1前一次課回顧前一次課回顧點(diǎn)電荷對電介質(zhì)分界面點(diǎn)電荷對電介質(zhì)分界面線電荷對接地導(dǎo)體柱面線電荷對接地導(dǎo)體柱面 dadll2,線電流對磁介質(zhì)分界面線電流對磁介質(zhì)分界面)2(,)1(,21212121場點(diǎn)介質(zhì)場點(diǎn)介質(zhì)hhqqhhqq hhIIhhII ,12121212兩個平行圓柱導(dǎo)體兩個平行圓柱導(dǎo)體 RRahblllln2,22第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波23.6 分離變量法分離變量法 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.6.1 分離變量法解題的基本原理分離變量法解題的基本原理 3.6.2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法 3.6.3 圓柱坐標(biāo)系中的分

2、離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 3.6.4 球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波3p分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法p 注意：注意：當(dāng)邊界面與某一坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)面重合或平行時，當(dāng)邊界面與某一坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)面重合或平行時，才易選用分離變量法求解靜態(tài)場的邊值問題，否則會使問題才易選用分離變量法求解靜態(tài)場的邊值問題，否則會使問題變得非常復(fù)雜。所以坐標(biāo)系的選擇也非常重要的變得非常復(fù)雜。所以坐標(biāo)系的選擇也非常重要的p 理論依據(jù)：惟一性定理理論依據(jù)：惟一性定理3.6.1 分離變量法解題的基本原理分離變量法解題的基本原

3、理p特點(diǎn)：把求解特點(diǎn)：把求解偏微分方程轉(zhuǎn)化為求解常微分方程。偏微分方程轉(zhuǎn)化為求解常微分方程。p 基本思想：首先把待求的位函數(shù)表示成幾個未知函數(shù)的乘基本思想：首先把待求的位函數(shù)表示成幾個未知函數(shù)的乘積，其中每一個未知函數(shù)僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)，然后代入積，其中每一個未知函數(shù)僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)，然后代入到偏微分方程進(jìn)行變量分離，將原偏微方程分離為幾個常微分到偏微分方程進(jìn)行變量分離，將原偏微方程分離為幾個常微分方程，再求出常微分方程的解，并把他們線性地組合起來，就方程，再求出常微分方程的解，并把他們線性地組合起來，就構(gòu)成了位函數(shù)的通解，最后由邊界條件確定其中的待定常數(shù)。構(gòu)成了位函數(shù)的通解，最后由

4、邊界條件確定其中的待定常數(shù)。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波4在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z 無關(guān)，則拉普拉斯方程為無關(guān)，則拉普拉斯方程為02222 yx3.6.2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法22221d( )1d( )( )d( )dX xY yX xxY yy 將將 (x, y) 表示為兩個一維函數(shù)表示為兩個一維函數(shù) X( x )和和Y( y )的乘積，即的乘積，即( , )( ) ( )x yX x Y y2222d( )d( )( )( )0ddX xY yY yX xxy將其代入拉普拉斯方程，得將其代入拉普拉斯方程，得再除以再除以 X

5、( x ) Y( y ) ，有，有分離常數(shù)分離常數(shù)第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波5222d( )( )0dX xk X xx222d( )( )0dY yk Y yy 若取若取k2 ，則有，則有00( )Y yC yD( )sinh()cosh()Y yCkyDky( )sin()cos()X xAkxBkx當(dāng)當(dāng)0k 0000( , )( ) ( )()()x yX x Y yA xBC yD當(dāng)當(dāng)0k 00( )X xA xB通常通常 可為一系列特定值可為一系列特定值 所以所以k(1,2,.)nk n 1( , )(sin()cos()(sinh()cosh()nnnnnnnnnx yA

6、k xBk xCk yDk y第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波600001( , )()()sin()cos()sinh()cosh()nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk xCk yDk y將所有可能的將所有可能的 (x, y)線性線性疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即 若取若取k2 ，同理可得到，同理可得到00001( , )()()sinh(cosh()sin()cos()nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk xCk yDk y通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。

7、第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波7p 若位函數(shù)與某一坐標(biāo)變量無關(guān)，則其解為常數(shù)。若位函數(shù)與某一坐標(biāo)變量無關(guān)，則其解為常數(shù)。解形式的判斷：解形式的判斷： p 若在某些坐標(biāo)平面上，邊界條件是非周期性的，則相應(yīng)的常若在某些坐標(biāo)平面上，邊界條件是非周期性的，則相應(yīng)的常微分方程的特征根必為純實(shí)數(shù)，其解應(yīng)選雙曲函數(shù)。微分方程的特征根必為純實(shí)數(shù)，其解應(yīng)選雙曲函數(shù)。p 若在某些坐標(biāo)平面上（例如若在某些坐標(biāo)平面上（例如x=C平面），邊界條件可看成是平面），邊界條件可看成是周期性的，則相應(yīng)的常微分方程的特征根必為純虛數(shù)，其解周期性的，則相應(yīng)的常微分方程的特征根必為純虛數(shù)，其解應(yīng)為三角函數(shù)形式。應(yīng)為三角函數(shù)形式

8、。p 若特征根為零，其解應(yīng)為線性函數(shù)。若特征根為零，其解應(yīng)為線性函數(shù)。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波8 例例3.6.1 無限長的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬無限長的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。222200(0, )0, ( , )0(0)( ,0)0, ( , )(0)xyya yybxx bUxa 解：解：本題數(shù)學(xué)模型為本題數(shù)學(xué)模型為0Ubaoxy00001( , )()()sin()cos()sinh()cosh(

9、)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk xCk yDk y因因 (0 , y)0、 (a , y)0，故沿，故沿x軸方向?yàn)橹芷诤瘮?shù)，所以軸方向?yàn)橹芷诤瘮?shù)，所以位位函數(shù)的通解應(yīng)取為函數(shù)的通解應(yīng)取為第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波90, 00nBB確定待定系數(shù)確定待定系數(shù)0001( , )()sin()sinh()cosh()nnnnnnnx yA x C yDAk x Ck yDk y00,sin()0nnA aAk a00,sin()0nAk a00,nnAka1( , )sin()sinh()cosh()nnnnn xn yn yx yACDaaa(0, )0y( , )

10、0a y0001()sin()sinh()cosh()0nnnnnnnAa C yDAk a Ck yDk y0001()sinh()cosh()0nnnnnnB C yDB Ck yDk y第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波10( ,0)0 x1sin()0nnnn xA Da0nD11( , )sin()sinh()sin()sinh()nnnnnn xn yn xn yx yA CAaaaa0( , )x bU01sinh()sin()nnn bn xAUaasin()n xa將將U0 在（在（0, a）上按）上按 展開為傅里葉級數(shù)，即展開為傅里葉級數(shù)，即01sin()nnn xUfa000041,3,5,22sin()d1 cos()02,4,6,anUnUn xfUxnnaann其中其中第3章 電