柯西不等式的應(yīng)用及推廣

1、淺談柯西不等式的應(yīng)用及推廣 【摘要】剖析柯西不等式的證明、推廣以及它們?cè)谧C明不等式、求函數(shù)最值、解方程等方面的一些應(yīng)用，進(jìn)而對(duì)其在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些問題進(jìn)行討論?！娟P(guān)鍵詞】柯西（cauchy）不等式；函數(shù)最值；三角函數(shù)證明；不等式教學(xué)【abstract】cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of functi

2、on.then cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed.【key words】cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving引言 中學(xué)教材和教輔讀物中有不少地方都有一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)的皺型和影子。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式的教學(xué)一直是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)不等式、應(yīng)用不等式解題中困難重重。而

3、柯西不等式是著名的不等式之一，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題具有重要的應(yīng)用。基于此，本文擬以柯西不等式為例，從證明方法到應(yīng)用技巧方面進(jìn)行總結(jié)和歸納，并談?wù)勊谥袑W(xué)數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.。1 柯西不等式的證明12 對(duì)柯西不等式本身的證明涉及有關(guān)不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟練掌握此不等式的證明對(duì)提高我們解決一些不等式問題和證明其它不等式有很大幫助。本文所說的柯西不等式是指 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。1.1 構(gòu)造二次函數(shù)證明當(dāng)或時(shí)，不等式顯然成立令 ，當(dāng)中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知a>0構(gòu)造二次函數(shù)，展開得： 故的判

4、別式移項(xiàng)得，得證。1.2 向量法證明令.則對(duì)向量有，由，得當(dāng)且僅當(dāng)，即平行時(shí)等號(hào)成立。1.3 數(shù)學(xué)歸納法證明i ) 當(dāng)n=1時(shí)，有，不等式成立。當(dāng)n=2時(shí)， 因?yàn)?，故有?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。ii）假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。那么當(dāng)n=k+1時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立。于是n=k+1時(shí)不等式成立。由i ) ii）可得對(duì)于任意的自然數(shù)n，柯西不等式成立。1.4 利用恒等式證明 先用數(shù)學(xué)歸納法證明如下恒等式，然后證明柯西不等式：對(duì)于兩組實(shí)數(shù)有柯西拉格朗日恒等式由實(shí)數(shù)性質(zhì)可得柯西不等式成立。 以上給出了柯西不等式的幾種證法。不難看出柯西不等式的重要性。它的對(duì)稱和諧的結(jié)構(gòu)

5、、廣泛的應(yīng)用、簡(jiǎn)潔明快的解題方法等特點(diǎn)深受人們的喜愛。所以，若將此定理作進(jìn)一步剖析，歸納它的各類變形，將會(huì)有更多收獲。2 柯西不等式的推廣2.1 命題1若級(jí)數(shù)收斂，則有不等式。證明：收斂，收斂，且從而有不等式成立。2.2 命題23若級(jí)數(shù)收斂，且對(duì)有，則對(duì)定義在上的任意連續(xù)函數(shù)有不等式證明：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以函數(shù)在上可積，將區(qū)間n等分，取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)為，由定積分的定義得：令，則收斂，由柯西不等式得從而有不等式。2.3 赫爾德不等式4設(shè)滿足則：，等號(hào)成立的充分必要條件是證明：首先證明時(shí)，對(duì)任何正數(shù)a及b，有.對(duì)凹函數(shù)有：令代入以上不等式并對(duì)于，把這n個(gè)不等式相加.即成立。等號(hào)成立的充

6、分必要條件是：即3 柯西不等式的應(yīng)用 我們知道，柯西不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支里都有著極其廣泛的應(yīng)用，它在不同的領(lǐng)域有著不同的表現(xiàn)形式，對(duì)它的應(yīng)用可謂靈活多樣?？挛鞑坏仁皆诔醯葦?shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中有著不 菲的價(jià)值，它的應(yīng)用充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的內(nèi)通性、滲透性和統(tǒng)一性。3.1 在不等式的證明中，柯西不等式的作用 柯西不等式可以直接運(yùn)用到其他不等式的證明中，運(yùn)用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并按照柯西不等式的形式進(jìn)行探索。例 1：設(shè)定義在r上的函數(shù)，若且求證：.分析：要證明，即證：只需證：證明：又因且故即例 2：已知為互不相等的正整數(shù)，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有不等式。證明：由柯西不等式

7、得： 于是。又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼麛?shù)，故其中最小的數(shù)不小于1，次小的數(shù)不小于2，最大的不小于你，這樣就有。所以有。因?yàn)槎杂?。?3：設(shè)則證明：證明：由柯西不等式，對(duì)于任意的n個(gè)實(shí)數(shù)有即于是=。3.2 利用柯西不等式求最值例5已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3， 試求a的最值解：由柯西不等式得，有即由條件可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，代入時(shí)， 時(shí)，3.3 求函數(shù)的極值 柯西不等式也可以廣泛的應(yīng)用于求函數(shù)的極值或最值。事實(shí)上，由可得如將上式左邊當(dāng)作一個(gè)函數(shù)，而右邊值確定時(shí)，則可知的最大值與最小值分別是與且取最大值與最小值的充要條件是 反過來，如果把柯西不等式右邊的一個(gè)因式或兩個(gè)的積

8、當(dāng)作函數(shù)，而其他的因式已知時(shí)，則可求出此函數(shù)的最小值。例 1：求函數(shù)的最大值。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋寒?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。所以例 2：求函數(shù)的極值，其中a,b是常數(shù)。解：由柯西不等式：故有。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有極小值，極大值。例 3：已知a,b,c,r為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值。解：由柯西不等式：故。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。將代入得則即當(dāng)時(shí)，分別為所求的最大值與最小值。3.4 求參數(shù)范圍例：已知對(duì)于滿足等式的任意實(shí)數(shù)，對(duì)恒有求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：要使對(duì)恒有即3.5 三角形及三角函數(shù)問題例 1：設(shè)p是vabc內(nèi)的一點(diǎn)，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，r是vabc外接圓的半徑，證

9、明證明：由柯西不等式得記s為vabc的面積，則故不等式成立。例 2：求證三角形三邊上正方形面積之和不小于該三角形面積的倍，即其中a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，s為三角形的面積。證明：由海倫秦九韶面積公式：其中于是由柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)即a=b=c時(shí)等式成立。于是。變形得：即故有當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立。例 3：在三角形abc中，證明。證明：由柯西不等式：即 （1）因?yàn)楣?（2）又因?yàn)橐蚨?（3）將（3）代入（2）得 （4）將（4）代入（1）得即。3.6 利用柯西不等式解方程5例 在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程解：由柯西不等式，得 （1）又即即（1）式取等號(hào)。由柯西不等式取等號(hào)的條件有 （2）（2）式與聯(lián)立

10、，則有。3.7 用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)【6】 在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大；越接近于0，則相關(guān)程度越小。現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。 記，則，由柯西不等式有當(dāng)時(shí)， 此時(shí)，k為常數(shù)。點(diǎn)均在直線上，當(dāng)時(shí)， 即而，k為常數(shù) 點(diǎn)均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大；當(dāng)時(shí)，不具備上述特征，從而找不到合適的常數(shù)k使點(diǎn)都在直線附近。所以越接近于0，則相關(guān)程度越小。4 中學(xué)數(shù)學(xué)中柯西不等式的應(yīng)用技巧 在上文柯西不等式的應(yīng)用中可以看出,柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個(gè)十分重要的不等式,而且它對(duì)初等數(shù)學(xué)也有很好的指導(dǎo)作用,利用

11、它能方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題。 下面我們特別以柯西不等式證明不等式為例，談?wù)劥祟悊栴}的解題技巧。4.1 巧拆常數(shù)例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：分析：因?yàn)閍、b、c均為正 所以為證結(jié)論正確只需證而 又4.2 重新安排某些項(xiàng)得次序 例：a、b為非負(fù)數(shù)，a+b=1， 求證：分析：不等號(hào)左邊為兩個(gè)二項(xiàng)式積，a、b為非負(fù)數(shù)，每個(gè)兩項(xiàng)式可以使用柯西不等式，直接做得不到預(yù)想結(jié)論。當(dāng)把兩個(gè)小括號(hào)的兩項(xiàng)前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了。4.3 改變結(jié)構(gòu)例：若 求證：分析：初見并不能使用柯西不等式，改造結(jié)構(gòu)后便可使用柯西不等式了 結(jié)論改為4.4 添項(xiàng)例：分析：左端變形只需證此式即可。參考文獻(xiàn)1 王學(xué)