高中人教A版數(shù)學(xué)必修33.3.1幾何概型教案

1、高中人教a版數(shù)學(xué)（必修3）3.3.1幾何概型教案一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1.初步體會(huì)幾何概型的概念；2.會(huì)區(qū)別古典概型與幾何概型；3.會(huì)使用幾何概型的概率公式計(jì)算簡(jiǎn)單的幾何概率.過程與方法1.運(yùn)用啟發(fā)式和發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，通過一系列的試驗(yàn)和問題，師生共同探究，讓學(xué)生體會(huì)探索新知的過程，培養(yǎng)其邏輯推理能力；通過實(shí)際例子，讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.2.通過游戲轉(zhuǎn)盤的制作和兩次模擬試驗(yàn)，讓學(xué)生自己動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和創(chuàng)新能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過源于生活的豐富實(shí)例和多媒體教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；2.通過類題對(duì)比與變式練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維習(xí)慣.二、教學(xué)

2、重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)幾何概型的概念教學(xué)難點(diǎn)簡(jiǎn)單的幾何概率的計(jì)算三、教具與學(xué)具準(zhǔn)備教具準(zhǔn)備用來做游戲的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤、多媒體學(xué)具準(zhǔn)備兩人一枚用來做游戲的同規(guī)格的鋼針和一張畫了一些等距平行線的大紙（鋼針的長(zhǎng)度等于兩平行線間距離的一半）、兩人一個(gè)用來做游戲的轉(zhuǎn)盤（提前布置，讓學(xué)生自己制作，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力轉(zhuǎn)盤可隨意制作）四、教學(xué)過程（一）課程引入（通過學(xué)生做“布豐投針試驗(yàn)”引入課題）讓學(xué)生動(dòng)手把鋼針投到紙上，并記錄投針的總次數(shù)和針落到紙上與平行線中的某一條相交的次數(shù)，計(jì)算針落到紙上與平行線中的某一條相交的頻率及頻率的倒數(shù)，師生共同完成下表.投針時(shí)間投針次數(shù)相交次數(shù)相交的頻率頻率的倒數(shù)1分鐘1176391

3、0.332483.007672分鐘25628160.318503.139703分鐘395412590.3184113.140588（把學(xué)生分成8組，每做1分鐘，每一小組先對(duì)實(shí)驗(yàn)總次數(shù)和針落到紙上與平行線中的某一條相交的總次數(shù)作以匯總并把數(shù)據(jù)上報(bào)給老師，由老師利用多媒體現(xiàn)場(chǎng)完成全班數(shù)據(jù)的匯總）引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題針落到紙上與平行線中的某一條相交的頻率的倒數(shù)越來越接近于圓周率.告訴學(xué)生，這就是簡(jiǎn)單化了的著名的“布豐投針試驗(yàn)”.向?qū)W生簡(jiǎn)單介紹一下“布豐投針試驗(yàn)”以及歷史上幾次有名的“布豐投針試驗(yàn)”（見下表），利用學(xué)生的好奇心激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.實(shí)驗(yàn)者年代投擲次數(shù)相交次數(shù)圓周率估計(jì)值沃爾夫1850500

4、025313.1596史密斯1855320412193.1554德摩根16806003833.137福克斯188410304893.1595拉澤里尼1901340818083.1415929賴納192525208593.1795“布豐投針實(shí)驗(yàn)”是第一個(gè)用幾何形式表達(dá)概率問題的例子，它所反映的一種概率模型我們稱之為幾何概型. “布豐投針試驗(yàn)”為什么能算出圓周率的近似值呢？它的原理是什么？為了弄清這一問題，我們就來研究一下幾何概型，請(qǐng)同學(xué)們閱讀教材第129頁和130頁的內(nèi)容，并拿出轉(zhuǎn)盤，實(shí)際操作一下，驗(yàn)證你所得的頻率與通過計(jì)算得到的概率是否相差不大.（二）新知講解.幾何概型的概念對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，

5、如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.例如：模型1. 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，求取出的種子中含有麥誘病的種子的概率.模型2.取一根長(zhǎng)度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷.求剪得兩段的長(zhǎng)都不小于的概率.上面這兩個(gè)模型都屬于幾何概型.幾何概型的基本特點(diǎn)（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等（實(shí)驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布）.3.幾何概型與古典概型的聯(lián)系與區(qū)別（1）聯(lián)系：幾何概型與古典概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，即滿足等可能性

6、.（2）區(qū)別：古典概型中的基本事件有有限個(gè)，而幾何概型則要求基本事件有無限個(gè)；判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型即看它是否滿足古典概型的兩個(gè)特征，而對(duì)于幾何概型，關(guān)鍵是看它是否具有幾何概型的本質(zhì)特征能進(jìn)行幾何度量.思考1.隨機(jī)事件a“從正整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其和是偶數(shù)”是否是幾何概型？（盡管這里事件a滿足幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)：有無限多個(gè)基本事件且每個(gè)基本事件的出現(xiàn)是等可能的，但它不滿足幾何概型的本質(zhì)特征能進(jìn)行幾何度量.故事件a不是幾何概型.）4.幾何概型的概率公式在幾何概型中，事件a的概率的計(jì)算公式如下：.思考2.通過對(duì)幾何概型的學(xué)習(xí)，不難發(fā)現(xiàn)：概率為0的事件不一定是不可能事件；概率為1的事件也不一定是必

7、然事件.試舉例說明.（在幾何概型中，如果隨機(jī)事件所在區(qū)域的是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長(zhǎng)度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件.）（三）例與練例1某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率.（分析及解答見教材第130131頁）練習(xí)1 在rtabc中，a=30°，在斜邊ab上等可能地取點(diǎn)m，則的概率為（ ）mabcda b c d解析：如圖，在斜邊ab上取一點(diǎn)d使得.當(dāng)點(diǎn)m落在線段ad上時(shí)，有.故所求概率為故選a.點(diǎn)評(píng)：此處基本事件所“占據(jù)”

8、的區(qū)域?yàn)榫€段，所求概率即為對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度之比.值得注意的是若將原題換一種說法則結(jié)論迥異.變式1 在rtabc中，a=30°，若過直角頂點(diǎn)c作射線cm，交線段ab于m，則的概率為多少？解析：此時(shí)的概率應(yīng)轉(zhuǎn)化為與的度數(shù)之比，即為.其原因是問題變?yōu)樯渚€cm在內(nèi)等可能地選取.練習(xí)2 如圖，平面上均勻分布著所有面積在0到100的正方形，從中隨機(jī)地選取一個(gè)，則被取到正方形面積在25到49之間的概率是多少？解析：由題意知被取到正方形面積在25到49之間的概率為.變式2 在長(zhǎng)為10 的線段ab上任取一點(diǎn)p，并以線段ap為邊作正方形，這個(gè)正方形的面積介于25與49之間的概率是多少？解析：此題有一個(gè)典型錯(cuò)解，即把把所求概率轉(zhuǎn)化成面積比，得出錯(cuò)解.實(shí)則不然，此變式實(shí)質(zhì)應(yīng)為“長(zhǎng)度型”幾何概型.在線段ab上取兩點(diǎn)，使得所以.由于點(diǎn)等可能地在線段上取得，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，所作正方形的面積即介于25與49之間.故所求概率為.（四）作業(yè)教材第137頁 習(xí)題3.3 a組 1，2，3思考