第1章港口供電

1、1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式1.3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立(一)1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構圖 1.5 狀態(tài)矢量的線性變換(坐標變換)1.4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立(二) 1.8 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1.6 從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣1.7 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式經(jīng)典控制中的處理方法？例子：用圖下所示的 網(wǎng)絡，說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。圖一1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式1.1.1 狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運動狀態(tài)而個數(shù)又是最小的一組變量，當其在t=t0時刻的值已知時，則在給定tt0時刻的輸入作用下，便能完全確定系統(tǒng)

2、在任何tt0時刻的行為。 例如：容器里面燒水，初始溫度是20度。通過精確的控制火，可以確定水的溫度。1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式1.1.1 狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運動狀態(tài)而個數(shù)又是最小的一組變量，當其在t=t0時刻的值已知時，則在給定tt0時刻的輸入作用下，便能完全確定系統(tǒng)在任何tt0時刻的行為。 1.1.2 狀態(tài)矢量 如果 個狀態(tài)變量用 表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量 的分量，則 就稱為狀態(tài)矢量，記作：1.1.3 狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量 為坐標軸所構成的 維空間，稱為狀態(tài)空間。1.1.4 狀態(tài)方程由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構成的一階微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。用圖下所示的 網(wǎng)絡，

3、說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。圖一根據(jù)電學原理，容易寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程組：亦即（1） 式(1)就是圖1.1系統(tǒng)的狀態(tài)方程，式中若將狀態(tài)變量用一般符號 ，表示，即令 并寫成矢量矩陣形式，則狀態(tài)方程變?yōu)椋簣D一或1.1.5 輸出方程 在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關系式，稱為系統(tǒng)的輸出方程。如在圖1.1系統(tǒng)中，指定 作為輸出，輸出一般用y表示，則有：式中(2)式（3）就是圖1.1系統(tǒng)的輸出方程，它的矩陣表示式為：或（3）式中或（4）1.1.6 狀態(tài)空間表達式 在經(jīng)典控制理論中，用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統(tǒng)的動態(tài)過程。如上圖一所示的系統(tǒng)，在以 作輸出時，

4、從式(1)消去中間變量i，得到二階微分方程為：其相應的傳遞函數(shù)為：（6）（5） 回到式（5）或式（6）的二階系統(tǒng)，若改選 和 作為兩個狀態(tài)變量，即令 則得一階微分方程組為：（8） 設單輸入一單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為 則狀態(tài)方程的一般形式為：輸出方程式則有如下形式：用矢量矩陣表示時的狀態(tài)空間表達式則為： 因而多輸入一多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的矢量矩陣形式為：式中，x和A為同單輸入系統(tǒng)，分別為n維狀態(tài)矢量和nn系統(tǒng)矩陣；為r維輸入(或控制)矢量；為m維輸出矢量；（9）（10） 為了簡便，下面除特別申明，在輸出方程中，均不考慮輸入矢量的直接傳遞，即令D D = 0 。1.1.7 狀態(tài)空間表達式的

5、系統(tǒng)框圖 和經(jīng)典控制理論相類似，可以用框圖表示系統(tǒng)信號傳遞的關系。對于式(9)和式(10)所描述的系統(tǒng)，它們的框圖分別如下圖a和和b所示。（9）（10）1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構圖 狀態(tài)空間表達式的框圖可按如下步驟繪制：積分器的數(shù)目應等于狀態(tài)變量數(shù)，將它們畫在適當?shù)奈恢?，每個積分器的輸出表示相應的某個狀態(tài)變量，然后根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應的加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來。對于一階標量微分方程：它的模擬結(jié)構圖示于下圖再以三階微分方程為例：將最高階導數(shù)留在等式左邊，上式可改寫成它的模擬結(jié)構圖示于下圖 同樣，已知狀態(tài)空間表達式，也可畫出相應的模擬結(jié)構圖，下

6、圖是下列三階系統(tǒng)的模擬結(jié)構圖。下圖是下列二輸出的二階系統(tǒng)的模擬結(jié)構圖。1.3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立(一) 這個表達式一般可以從三個途徑求得：一是由系統(tǒng)框圖來建立，即根據(jù)系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應的狀態(tài)空問表達式；二是從系統(tǒng)的物理或化學的機理出發(fā)進行推導；三是由描述系統(tǒng)運動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。1.3.1 從系統(tǒng)框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 該法是首先將系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，變換成相應的模擬結(jié)構圖，并把每個積分器的輸出選作一個狀態(tài)變量 其輸入便是相應的 然后，由模擬圖直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。例1：系統(tǒng)方塊圖如下圖所示， 輸入為u，輸出為y，試求其狀態(tài)空間表達

7、式。1.3.2 從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 一般常見的控制系統(tǒng)，按其能量屬性，可分為電氣、機械、機電、氣動液壓、熱力等系統(tǒng)。根據(jù)其物理規(guī)律，如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。當指定系統(tǒng)的輸出時，很容易寫出系統(tǒng)的輸出方程。例1例21.4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立(二) 考慮一個單變量線性定常系統(tǒng)，它的運動方程是一個 階線性常系數(shù)微分方程：相應的傳遞函數(shù)為1.4.1 傳遞函數(shù)中沒有零點時的實現(xiàn)在這種情況下，系統(tǒng)的微分方程為： 相應的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 上式的實現(xiàn)，可以有多種結(jié)構，常用的簡便形式可由相應的模擬結(jié)構圖 (下圖)導出。這種由中間變量到輸入端的負反

8、饋，是一種常見的結(jié)構形式，也是一種最易求得的結(jié)構形式。 將圖中每個積分器的輸出取作狀態(tài)變量，有時稱為相變量相變量，它是輸出 的各階導數(shù)。至于每個積分器的輸入，顯然就是各狀態(tài)變量的導數(shù)。從圖（a），容易列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 輸出方程為： 表示成矩陣形式，則為： 順便指出，當 矩陣具有式上矩陣的形式時，稱為友矩陣友矩陣，友矩陣的特點是主對角線上方的元素均為1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均為零。 1.4.2 傳遞函數(shù)中有零點時的實現(xiàn) 此時，系統(tǒng)的微分方程為：相應地，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：設待實現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：因為 上式可變換為（26）令則對上式求拉氏反變換，可得：每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變

9、量，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空問表達式：或表示為：推廣到 階系統(tǒng)，式(26)的實現(xiàn)可以為：（28）1.5 狀態(tài)矢量的線性變換(坐標變換)1.5.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性 對于一個給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應地有許多種狀態(tài)空間表達式描述同一系統(tǒng)，也就是說系統(tǒng)可以有多種結(jié)構形式。所選取的狀態(tài)矢量之間，實際上是一種矢量的線性變換線性變換(或稱坐標變換)。 設給定系統(tǒng)為：（37） 我們總可以找到任意一個非奇異矩陣 將原狀態(tài)矢量 作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量 設變換關系為：即代入式（37），得到新的狀態(tài)空間表達式：（38）1.5.2 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量 1.系統(tǒng)特征值系統(tǒng)系統(tǒng)

10、特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程：（43） 的根。 方陣A且有n個特征值；實際物理系統(tǒng)中， 為實數(shù)方陣，故特征值或為實數(shù)，或為成對共軛復數(shù)；如 為實對稱方陣，則其特征值都是實數(shù)。2系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得：其特征方程為：（44） 式(43)與式(44)形式雖然不同，但實際是相等的，即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的?？梢宰C明如下： 將特征方程寫成多項式形式 由于特征值全由特征多項式的系數(shù) 唯一確定，而特征值經(jīng)非奇異變換是不變的，那么這些系統(tǒng) 也是不變的量。所以稱特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。3特征矢量一個 維矢量 ：經(jīng)過以 作為變換陣的變換，得到一

11、個新的矢量 即 如果此 即矢量 ，經(jīng) 線性變換后，方向不變，僅長度變化 倍則稱 為 的對應于 的特征矢量，此時有例題：試求矩陣的特征矢量解：即特征方程為即根為：求 的特征向量設即可得：可?。阂粋€ 維矢量 ：經(jīng)過以 作為變換陣的變換，得到一個新的矢量 即 如果此 即矢量 ，經(jīng) 線性變換后，方向不變，僅長度變化 倍則稱 為 的對應于 的特征矢量，此時有1.5.3 狀態(tài)空間表達式變換為約旦標準型這里的問題是將 (45) 變換為：(46) 根據(jù)系統(tǒng)矩陣 求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標準型矩陣無重根時有重根時 而欲得到變換的控制矩陣 和輸出矩陣CTCT，則必須求出變換矩陣T T。下面根據(jù)A A陣形

12、式及有無重根的情況，分別介紹幾種求T T的方法。 1.A陣為任意形式(1)A陣的特征值無重根時 設 是A A的 個互異特征根，求出A A。的特征矢量 則變換矩陣由A A的特征矢量 構成，即2A陣為標準型，即 (1)A A的特征值無重根時，其變換是一個范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)矩陣矩陣，為：(2)A A特征值有重根時，以有 的三重根為例：(3)有共軛復根時，以四階系統(tǒng)其中有一對共軛復根為例，即 3系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)此時1.6 從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣1.6.1 傳遞函數(shù)(陣)1單輸入一單輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式： 式中， 為 維狀態(tài)矢量； 和

13、為輸出和輸入，它們都是標量；A A為 方陣; 為 列陣；c c為 行陣；d為標量，一般為零。（62）對式(62)進行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有： （63） 故UX間的傳遞函數(shù)為：（64）它是一個 的列陣函數(shù)。間的傳遞函數(shù)為：它是一個標量。 2 2多輸入一多輸出系統(tǒng)多輸入一多輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：（66）式中， 為r1輸入列矢量； 為m1輸出列矢量；B B為nr控制矩陣；C C為mn輸出矩陣；D D為mr直接傳遞陣；X X，A A為同單變量系統(tǒng)。 同前，對式(66)作拉氏變換并認為初始條件為零，得：（67）故 間的傳遞函數(shù)為（68）它是一個 nr 矩陣函數(shù)。 故 間的傳遞函數(shù)

14、為：它是一個mr矩陣函數(shù)，即（69）其中各元素 都是標量函數(shù)，它表征第 個輸入對第 個輸出的傳遞關系。當 時 ，意味著不同標號的插入與輸出有相互關聯(lián)，稱為有耦合關系，這正是多變量系統(tǒng)的特點。式(69)還可以表示為： 可以看出， 的分母，就是系統(tǒng)矩陣A A的特征多項式， 的分子是一個多項式矩陣。 應當指出，同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)陣是不變的c對于已知系統(tǒng)如式(66)，其傳遞函數(shù)陣為式(69)。當做坐標變換，即令 時，則該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：（71）那么對應上式的傳遞函數(shù)陣 應為：即同一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是唯一的。1.6.2 子系統(tǒng)在各種連

15、接時的傳遞函數(shù)陣實際的控制系統(tǒng)，往往由多個子系統(tǒng)組合而成，或并聯(lián)，或串聯(lián)，或形成反饋連接?，F(xiàn)僅以兩個子系統(tǒng)作各種連接為例，推導其等效的傳遞函數(shù)陣。設系統(tǒng)1為：（72）簡記為：設系統(tǒng)2為：簡記為： 1并聯(lián)連接 所謂并聯(lián)連接，是指各子系統(tǒng)在相同輸入下，組合系統(tǒng)的輸出是各子系統(tǒng)輸出的代數(shù)和，結(jié)構簡圖如下圖所示。 由式(72)和式(73)，并考慮 得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：故子系統(tǒng)并聯(lián)時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的代數(shù)和。 2串聯(lián)連接串聯(lián)連接下如圖所示。讀者可自己證明，其串聯(lián)連接傳遞函數(shù)陣為： 即子系統(tǒng)串聯(lián)時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之積。但應注意，傳遞函數(shù)陣

16、相乘，先后次序不能顛倒。3具有輸出反饋的系統(tǒng)如下圖所示，由圖可得：即從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：這里又遇到分塊求逆的問題，假定：故有：從而得：由上兩式解得：即于是：所以有：同理也可求得：1.7 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法，完全適用于離散時間系統(tǒng)。類似在連續(xù)系統(tǒng)中，從微分方程或傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式，叫系統(tǒng)的實現(xiàn)。在離散系統(tǒng)中，從差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達式，也是一種實現(xiàn)。相應地，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：(78)設系統(tǒng)差分方程為：(77)實現(xiàn)的任務就是確定一種狀態(tài)空間表達式：(79)在認為兩相鄰采樣時刻， 不變的條件下，式(79)的狀態(tài)空間表達式也可以用模擬

17、結(jié)構圖(下圖)表示。下圖中T T 代表單位延遲器，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的積分器。 實現(xiàn)是非唯一的，較簡單的實現(xiàn)見下圖所示的模擬結(jié)構圖。圖中 為已知參數(shù)， 為待定常數(shù)。以每個延遲器的輸出作為一個狀態(tài)變量，可得：矢量矩陣形式的離散狀態(tài)空間表達式為：式中 的求法，類似于1.4節(jié)中式(34)求 的計算公式，即：多變量離散狀態(tài)空間表達式為：1.8 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1.8.1線性時變系統(tǒng) 以上討論的只是定常系統(tǒng)，其特征是它的狀態(tài)空間表達式中的A A、B B、C C、DD等矩陣的元素既不依賴于輸入、輸出，也與時間無關。線性時變系統(tǒng)有：它們的元素有些或全部是時間t的函數(shù)。線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：（81） 從高階線性時變微分方程推演出狀態(tài)空間表達式的方法，類似于前述線性定常系統(tǒng)。 1.8.2 非線性系統(tǒng)非線性的動態(tài)特性是用如下的n個一階微分方程組描述的：用矢量矩陣表示，則為：（83）式中， 為矢量函