函數(shù)的求導法則88736PPT課件

1、1一、和、差、積、商的求導法則定理定理并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導處可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu第1頁/共54頁2證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)

2、()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .第2頁/共54頁3hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導處可導在在xxf第3頁/共54頁4推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf第4頁/共54頁5例例1 1 解解23xy

3、x4 例例2 2.ln2sin的導數(shù)的導數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx .5cossin223的導數(shù)的導數(shù)求求 xxxy第5頁/共54頁6例例3 3.tan的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得第6頁/共54頁7例例4 4.sec的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)

4、cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得xxxtansec)(sec第7頁/共54頁85例例).4(,11)(ftttf求求已知已知解解：2)1 (21)1 ()1 (21)(ttttttf181)4(f第8頁/共54頁9例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設設解解, 1)( xf,0時時當當 x,0時時當當 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 第9頁/共54頁10,0時時當當 xhhfh)01ln()0(lim)0(0

5、 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf第10頁/共54頁11二、反函數(shù)的導數(shù)定理定理)(.)()(,)(,)(01yyxfyxxfy 且有且有導導在對應區(qū)間內(nèi)也可在對應區(qū)間內(nèi)也可那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).第11頁/共54頁12證證xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有,1yxxy ,)(連續(xù)連續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx

6、 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即第12頁/共54頁131例例yxy求求3：解法解法1)(3xy32323131xx：解法解法2,33xyyx的反函數(shù)是的反函數(shù)是,)(3xxf即即)(1)(yxf 231y3231x第13頁/共54頁14例例2 2.arcsin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解,),(sin內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在在22 yx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在),(11)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .11)(arccos2xx 同理可得211x211)(arcsinxx第14頁/共54頁15;11)(

7、arctan2xx.11)cot(2xx arc3例例.,arctanyxy求求,tanarctanyxxy的反函數(shù)為的反函數(shù)為解：解：上單調(diào)、可導，上單調(diào)、可導，且在且在)2,2( , 0sec)(tan2yyyyx2sec1)(tan1)(arctan2221tan1secxyy而而同理可得第15頁/共54頁16例例2 2.log的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xya , 0ln)( aaayy且且,),(內(nèi)內(nèi)有有在在0)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在在yax特別地.1)(lnxx axxaln1)(log第16頁/共54頁17三、復合函

8、數(shù)的求導法則定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導數(shù)為且其導數(shù)為可導可導在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)可導可導在點在點而而可導可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則) )第17頁/共54頁18證證,)(0可可導導在在點點由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xux

9、uufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 第18頁/共54頁19推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導數(shù)為的導數(shù)為則復合函數(shù)則復合函數(shù) 例例3 3.sinln的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 第19頁/共54頁20例例4 4.)1tan(的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy解：解：xuuy1,tandxdududydxdyxu21sec2)1 (sec212xx第20頁/共54頁21例例5 5.)1(102的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函

10、數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例6 6解解, )1(ln2xxy.y求求112xxy)21211 (2xx112x第21頁/共54頁22例例7 7. )0()(11xxx ）證明：）證明：（)()(lnxex）證明：）證明：（1xeln)ln(xxx1x）求（）求（xx2)()(lnxxxex)2(xxeln)ln(xxxx)1ln(x第22頁/共54頁238例例dxdyyx求求31 sinarctan:解解dxdy)sin()sin(xx3131112)sin(sinsinxxx313121321)(cossinsinxxxx3

11、331213213333121321lncossinsinxxxx第23頁/共54頁249例例dxdyxy求求21tansinln解：解：dxdy)tan(sintansin22111xx)(tantancostansin2221111xxx)(sectancostansin2222211111xxxx)(tansinsectancos2222221121111xxxxxxxxxx212111122222tansinsectancos第24頁/共54頁25例例1010.)2(21ln32的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxx

12、y)2(3112 xxx例例1111.1sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第25頁/共54頁26例例1212.),1(sin2dxdyxfym求求)(sin12xfdxdym解：解：121xmmsin1212xx2例例1313.,3arctan2sindxdyxyx求求dxdyxx3arctan)2sin( )3(arctan2sinxxxxx3arctan212cos2sin213ln33112sin2xxx12xcos第26頁/共54頁27四、初等函數(shù)的求導問題xxxxxxxCtansec

13、)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 第27頁/共54頁282211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設)(),(xvvxuu 可導，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)) )C 第28頁/共54頁293.復

14、合函數(shù)的求導法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或導數(shù)為導數(shù)為的的則復合函數(shù)則復合函數(shù)而而設設利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決.注意注意: :初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).第29頁/共54頁30例1. 1. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx第30頁/共54頁31例2 2. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sinxe2sinxe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sinxe2cos x2sinxe112xx

15、關鍵關鍵: 搞清函數(shù)結構 , 由外向內(nèi)求導.第31頁/共54頁32例例3 3.的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xxxy 解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 第32頁/共54頁33例例4 4.)(sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nnnxfy 解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 二、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導數(shù)二、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導數(shù))(自學自學第3

16、3頁/共54頁34五、小結注意注意:);()( )()(xvxuxvxu.)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導時, 分界點導數(shù)用左右導數(shù)求.反函數(shù)的求導法則（注意成立條件）;第34頁/共54頁35復合函數(shù)的求導法則（注意函數(shù)的復合過程,合理分解正確使用鏈導法）;已能求導的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商. 任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導公式和上述求導法則求出.關鍵關鍵: 正確分解初等函數(shù)的復合結構.第35頁/共54頁369622P習題)9 , 7 , 5 , 3 , 1 (12, 9),10, 8 , 6 , 4 , 2(8

17、),9 , 7 , 5 , 3 , 1 (7)9 , 7 , 5 , 3 , 1 (6, 5),3 , 2(3),10, 8 , 6 , 4 , 2(2第36頁/共54頁37思考題思考題冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（ ）.（1） 必必可可導導； （2）必必不不可可導導；（3）不不一一定定可可導導；第37頁/共54頁38思考題解答思考題解答正確地選擇是（3）例32)(xxf ),( x在 處不可導，0 x )1(2)(xxf ),( x在定義域內(nèi)處處可導， )2(第38頁/共54頁39一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設nxxyln ，則，則y = =_._.2 2、 設設xy1cosln ，則，則y

18、 = =_._.3 3、 設設xxy ，則，則y = =_._.4 4、 設設tttteeeey ，則，則y = =_._.5 5、 設設)999()2)(1()( xxxxxf則則 )0(f = =_._.二、二、 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：1 1、 )1tanh(2xy ；2 2、 ysinhar)1(2 x；練練 習習 題題第39頁/共54頁40 3 3、 ycoshar)(2xe； 4 4、xxeycoshsinh ； 5 5、2)2(arctanxy ； 6 6、xey1sin2 ； 7 7、212arcsintty . .第40頁/共54頁41一、一、1 1、1ln1 n

19、xxn； 2 2、xx1tan12； 3 3、xxxx 412； 4 4、t2cosh1； 5 5、-999!.-999!.二、二、1 1、)1(cosh222xx ； 2 2、22224 xxx；3 3、1242 xxee； 4 4、)sinh(cosh2coshxxex ；5 5、2arctan442xx ； 6 6、xexx1sin222sin1 ；練習題答案練習題答案第41頁/共54頁427 7、 1,121,122222tttty. .第42頁/共54頁43思考題思考題 若若)(uf在在0u不可導，不可導，)(xgu 在在0 x可導，且可導，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在

20、0 x處處（ ）（1）必可導；）必可導；（2）必不可導；）必不可導；（3）不一定可導；）不一定可導；第43頁/共54頁44思考題解答思考題解答正確地選擇是（3）例|)(uuf 在 處不可導，0 u取xxgusin)( 在 處可導，0 x|sin|)(xxgf 在 處不可導，0 x )1(取4)(xxgu 在 處可導，0 x44|)(xxxgf 在 處可導，0 x )2(第44頁/共54頁45一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設4)52( xy, ,則則y = =_._.2 2、 設設xy2sin , ,則則y = =_._.3 3、 設設)arctan(2xy , ,則則y = =_._.

21、4 4、 設設xycosln , ,則則y = =_._.5 5、 設設xxy2tan10 ，則，則y = =_._.6 6、 設設)(xf可導，且可導，且)(2xfy ， 則則dxdy= =_._.7 7、 設設xkexftan)( , ,則則)(xf = =_， 若若ef 4 ，則，則 k_._.練練 習習 題題第45頁/共54頁46二、二、 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxya

22、rccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 設設)(xf，)(xg可導，且可導，且0)()(22 xgxf, ,求函數(shù)求函數(shù))()(22xgxfy 的導數(shù)的導數(shù) . .四四、設設)(xf在在0 x處處可可導導，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x處處可可導導，證證明明 )(xfF在在0 x處處也也可可導導 . .第46頁/共54頁47一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、x

23、xkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221xa ； 4 4、xcsc； 5 5、242arcsin2xx ； 6 6、)1(2arctanxxex ；練習題答案練習題答案第47頁/共54頁48 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . .第48頁/共54頁49思考題思考題 求曲線 上與 軸平行的切線方程.32xxy x第49頁/共54頁50思考題解答思考題解答232xy 令0 y0322 x321 x322 x切點為 964,32 964,32所求切線