理論力學(xué)動量定理

1、第十一章第十一章 動量定理動量定理11-1 11-1 動量與沖量動量與沖量11-2 11-2 動量定理動量定理11-3 11-3 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理小結(jié)小結(jié)思考題思考題Ch.11. 動量定理動量定理 基本內(nèi)容基本內(nèi)容 ：動量定理動量定理-描述質(zhì)點和質(zhì)點系總體運動變化描述質(zhì)點和質(zhì)點系總體運動變化與作用力間的關(guān)系，用以求解質(zhì)點系動力學(xué)與作用力間的關(guān)系，用以求解質(zhì)點系動力學(xué)問題問題 基本要求：基本要求：理解動量、沖量、質(zhì)點系質(zhì)心的概念理解動量、沖量、質(zhì)點系質(zhì)心的概念會計算質(zhì)點、質(zhì)點系、剛體作各種運動時的會計算質(zhì)點、質(zhì)點系、剛體作各種運動時的動量和力的沖量動量和力的沖量能熟練運用動量定理、質(zhì)心運

2、動定理及其守能熟練運用動量定理、質(zhì)心運動定理及其守恒定律求解動力學(xué)問題恒定律求解動力學(xué)問題Ch.11. 動量定理動量定理11-1 動量與沖量動量與沖量1. 動量動量-物體某瞬時機械運動的一種度量物體某瞬時機械運動的一種度量vpm質(zhì)點的質(zhì)點的動量動量質(zhì)點系的質(zhì)點系的動量動量iimvp質(zhì)心質(zhì)心 (質(zhì)量中心質(zhì)量中心)-反映質(zhì)點系質(zhì)量分布的點反映質(zhì)點系質(zhì)量分布的點iiimmrrCdtdCCrv 質(zhì)心速度：質(zhì)心速度：動量單位動量單位(SI)：kg m/s)/()/()/(iiiCiiiCiiiCmzmzmymymxmx或者或者Ch.11. 動量定理動量定理iCmmm,vp2. 沖量沖量-力在某時間間隔內(nèi)

3、作用效應(yīng)的一種度量力在某時間間隔內(nèi)作用效應(yīng)的一種度量21ttdtFI常力的常力的沖量：沖量：變力的變力的沖量：沖量：tFI dtdFI 元沖量：元沖量：沖量單位沖量單位(SI)：N s質(zhì)點系的質(zhì)點系的動量動量等于等于質(zhì)心速度質(zhì)心速度與其與其全部質(zhì)量全部質(zhì)量的乘積的乘積。CCiCiiiiimdtdmmdtdmdtdmvrrrvp)()()( vC C C vC C vC=0 Ch.11. 動量定理動量定理11-2 動量定理動量定理Fv )(mdtd1. 質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理2. 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理微分形式：微分形式：dtmdFv )(或或積分形式：積分形式：IFvvtdtm

4、m00第第k個質(zhì)點：個質(zhì)點：dtdtdtmdikekikekkk)()()()()()(FFFFv外力外力內(nèi)力內(nèi)力nkiknkeknkkkdtdtmd1)(1)(1)(FFv01)(nkikF質(zhì)點系內(nèi)力之和質(zhì)點系內(nèi)力之和Ch.11. 動量定理動量定理動量定理動量定理的的微分形式微分形式：)()(eReidtdFFp)()()(,ezzeyyexxFdtdpFdtdpFdtdp或者或者ninieieiddtd11)()(IFp動量定理動量定理的的積分形式：積分形式：)()(0eReiIIpp)(0)(0)(0ezzzeyyyexxxIppIppIpp或者或者Ch.11. 動量定理動量定理恒恒矢矢

5、量量0ppF0)(ei恒量恒量xx(e)xppF003. 質(zhì)點系動量守恒定律質(zhì)點系動量守恒定律4. 解題過程解題過程 運運動動分分析析 受受力力分分析析 選選擇擇研研究究對對象象 取取坐坐標(biāo)標(biāo)系系 建建立立方方程程 求求解解計計算算 討討 論論 Ch.11. 動量定理動量定理例例11-1 11-1 電動機的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子和機殼的質(zhì)量為電動機的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子和機殼的質(zhì)量為m1，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2，如圖所示。設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心，如圖所示。設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心O1，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到到O1的距離為的距離為e。已知轉(zhuǎn)

6、子。已知轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)勻速轉(zhuǎn)動動，角速度為，角速度為。求求基礎(chǔ)的水平及鉛直基礎(chǔ)的水平及鉛直約束力約束力。 解：解：研究電動機外殼與轉(zhuǎn)子組研究電動機外殼與轉(zhuǎn)子組成質(zhì)點系成質(zhì)點系 1 2 x y p m2g m1g Fy Fx MO emp2動量大?。簞恿看笮。簍temptempyxsin,cos22gmgmFdtdpFdtdpyyxx21,temgmmFtemFyxcos)(,sin222122動約束力動約束力動約束力動約束力靜約束力靜約束力Ch.11. 動量定理動量定理 F P Fb Fa va vb b1 b1 b b a a a1 a1 例例11-2 11-2 圖圖113113表示水流流經(jīng)變表

7、示水流流經(jīng)變截面彎管的示意圖。設(shè)流體是截面彎管的示意圖。設(shè)流體是不可不可壓縮壓縮的，流動是的，流動是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。求求管壁的管壁的附加動約束力附加動約束力。 解：解：定常流動定常流動流體流體的動約束力的動約束力計算計算基本假設(shè)基本假設(shè)： 1 1）理想流體理想流體-不存在內(nèi)摩擦的流體不存在內(nèi)摩擦的流體 2 2）不可壓縮不可壓縮-密度密度 與所受壓力間的依從關(guān)系可略去與所受壓力間的依從關(guān)系可略去 3 3）定常流動定常流動-流體的速度場與時間無關(guān)（歐拉法）流體的速度場與時間無關(guān)（歐拉法）dt時間間隔時間間隔)(橫截面面積橫截面面積、流量：流量：babbaaVSSvSvSqdtqdmV1111111

8、1)()(aabbbaaabbbaabbadpppppppppbaba11pp定定常常流流動動：dtqdmdmdabVabaabb)(11vvvvppp約束力約束力重力重力Ch.11. 動量定理動量定理dtdtqdbaabVaabb)()(11FFFPvvppp動量定理動量定理FFFPvvbaabVq)()-(動動約約束束力力靜靜約約束束力力，令令約約束束力力：FFFFF 0FFFPba)(abVqvvF 附加動約束力附加動約束力 v1 v2 F x F y 等截面直角形彎管實例：等截面直角形彎管實例：)(12vvF Vq2211vAvAqV21112222)0()0(vAvqFvAvqFVy

9、Vx Ch.11. 動量定理動量定理例例11-3 11-3 物塊物塊A可沿光滑水平面自由滑動，其質(zhì)量為可沿光滑水平面自由滑動，其質(zhì)量為mA；小球；小球B的的質(zhì)量為質(zhì)量為mB，以細桿與物塊鉸接，如圖所示。設(shè)桿長為，以細桿與物塊鉸接，如圖所示。設(shè)桿長為l，質(zhì)量不計，質(zhì)量不計，初始初始時系統(tǒng)時系統(tǒng)靜止靜止，并有，并有初始擺角初始擺角 0；釋放后，細桿近似以；釋放后，細桿近似以 = 0cos t 規(guī)律擺動（規(guī)律擺動（ 為已知常數(shù)），為已知常數(shù)），求求物塊物塊A的的最大速度最大速度。 解：解：取物塊和小球為研究對象取物塊和小球為研究對象)cos(BABABxBAxAxvvmvmvmvmp A B v v

10、r 00 xxpp0(e)xFtllvBABABsin,0vvv0)coscos(sin)(00ttlmvmmpBBAx)/(0maxBABmmlmv)/()coscos(sin00BABmmttlmvCh.11. 動量定理動量定理11-3 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理1. 質(zhì)量中心質(zhì)量中心質(zhì)心質(zhì)心 (質(zhì)量中心質(zhì)量中心)-反映質(zhì)點系質(zhì)量分布的點反映質(zhì)點系質(zhì)量分布的點iiimmrrCmzmmzmzmymmymymxmmxmxiiiiiCiiiiiCiiiiiC/)/(/)/(/)/(或者或者特例：在重力場中，質(zhì)心與重心重合。特例：在重力場中，質(zhì)心與重心重合。Ch.11. 動量定理動量定理 B x A

11、 C y vC 例例11-4 11-4 圖示的曲柄滑塊機構(gòu)中，圖示的曲柄滑塊機構(gòu)中，設(shè)曲柄設(shè)曲柄OA受力偶作用以受力偶作用以勻角速度勻角速度 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動，滑塊，滑塊B沿沿x軸滑動。若軸滑動。若OA=AB=l，OA及及AB皆為皆為均質(zhì)桿均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為質(zhì)量皆為m1，滑塊滑塊B的質(zhì)量為的質(zhì)量為m2。求求此系統(tǒng)的此系統(tǒng)的質(zhì)心運動方程質(zhì)心運動方程、軌跡軌跡以及此以及此系統(tǒng)的動量系統(tǒng)的動量。 解：解：設(shè)設(shè)t=0時桿時桿OA水平，則有水平，則有 = ttlmmmtmmlmytlmmmmtmmlmlmlmxCCsin2sin222cos2)(2cos22232211211212121211質(zhì)心運動質(zhì)心運動方程

12、方程Ch.11. 動量定理動量定理122)(222112221212mmlmymmlmmxCC質(zhì)心運動軌跡質(zhì)心運動軌跡tlmmmyvtlmmmmxvCyCCxCcos2,sin2)(22112121tmtmmlpppyx221222122cossin)(4tlmvmmptlmmvmmpyCyxCxcos)2(sin)(2)2(1212121動量的方向動量的方向沿質(zhì)心沿質(zhì)心軌跡的切線方向軌跡的切線方向，可用其方向余弦表示。，可用其方向余弦表示。動量投影動量投影動量大小動量大小Ch.11. 動量定理動量定理2. 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理(e)(ReCmFFa(e)(e)(e),zCzyCyxCxF

13、maFmaFma)()(eiCmdtdFvCeReimdtdvpFFp,)()(質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)上的上的投影式投影式：自然軸自然軸上的上的投影式投影式：0,(e)(e)2(e)bnCtCFFvmFdtdvm質(zhì)點系的質(zhì)點系的質(zhì)量質(zhì)量與與質(zhì)心加速度質(zhì)心加速度的的乘積乘積等于等于作用于質(zhì)點系外力的矢作用于質(zhì)點系外力的矢量和（即等于量和（即等于外力的主矢外力的主矢）。這種規(guī)律稱為）。這種規(guī)律稱為質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理。Ch.11. 動量定理動量定理兩點說明兩點說明： 1）質(zhì)點系質(zhì)心的運動，可以質(zhì)點系質(zhì)心的運動，可以看成為一個質(zhì)點的運動，設(shè)想此質(zhì)看成為一個質(zhì)點的運動，設(shè)想此質(zhì)點

14、集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量及其所點集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量及其所受的外力。受的外力。 2）質(zhì)點系內(nèi)力不影響質(zhì)心的質(zhì)點系內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動，只有外力才能改變質(zhì)心的運運動，只有外力才能改變質(zhì)心的運動。動。 P vC Ch.11. 動量定理動量定理例例11-5 11-5 均質(zhì)曲柄均質(zhì)曲柄AB長為長為r，質(zhì)，質(zhì)量為量為m1，假設(shè)受力偶作用以，假設(shè)受力偶作用以不不變的角速度變的角速度轉(zhuǎn)動，并帶動滑轉(zhuǎn)動，并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞槽連桿以及與它固連的活塞D，如圖所示?；?、連桿、活塞如圖所示?；?、連桿、活塞總質(zhì)量為總質(zhì)量為m2，質(zhì)心質(zhì)心在點在點C。在活。在活塞上作用一塞上作用一恒力恒力F。不計摩擦及不

15、計摩擦及滑塊滑塊B的的質(zhì)量質(zhì)量，求作用在曲柄軸，求作用在曲柄軸A處的處的最大水平約束力最大水平約束力Fx。 解：解：研究整個機構(gòu)，注意力偶不影響質(zhì)心運動。研究整個機構(gòu)，注意力偶不影響質(zhì)心運動。 A B C D F Fx y x b FFammxCx)(21tmmbrmrmxC,1)cos(cos22121tmmmmrdtxdaCxCcos)2(2121222Ch.11. 動量定理動量定理tmmrFammFFCxxcos)2()(21221)2(212maxmmrFFx3. 質(zhì)心運動守恒定律質(zhì)心運動守恒定律000)(0,0:0CCCCCCerrvvvaF則則，如如)(eCmFa 000(e)則0

16、如0:0CCCxCxCxCxxxx，v,vvaFCh.11. 動量定理動量定理例例11-6 11-6 如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)例例111111中的電動機中的電動機沒用螺栓固定沒用螺栓固定，各，各處處摩擦不計摩擦不計，初始時初始時電動機電動機靜靜止止，求求轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動時時電動機外殼電動機外殼的的運動運動。 解：解：研究電動機外殼與轉(zhuǎn)子研究電動機外殼與轉(zhuǎn)子組成質(zhì)點系，已知組成質(zhì)點系，已知 = tammxmxmxaxxtC)/()(,0212211021時時，設(shè)設(shè))/()sin()(2121mmesamsamxC而而temmmssin212 FN s a e 1 x y 2

17、m1g m2g 0(e)0CCxxxFCh.11. 動量定理動量定理例例11-7. 已知已知A、B的質(zhì)量分的質(zhì)量分別為別為 mA、mB，且，且mA=3mB，各處摩擦不計。初始時系統(tǒng)各處摩擦不計。初始時系統(tǒng)靜止，求三棱柱靜止，求三棱柱A運動的加運動的加速度及地面對三棱柱的約束速度及地面對三棱柱的約束力。力。解：解：由由)()(, 0eyyexxFdtdpFdtdp得得gmmFvmdtdvvmvmdtdBANrBrABAA)()sin(0)cos()( A B a b P1 y x P2 FN vA vA vr o Ch.11. 動量定理動量定理也即也即sin)()(cosrBBANABArBam

18、gmmFammam再研究物塊再研究物塊B)(eBBFam得得sin)cos(gmaamBrAB從而可得從而可得gmFgaBNA22sin312,sin3cossin由由 B aA ar P2 FR Ch.11. 動量定理動量定理 A B M k m1 例例11-8. 質(zhì)量為質(zhì)量為m的滑塊，可以在水平光滑槽中運動，具有剛度的滑塊，可以在水平光滑槽中運動，具有剛度系數(shù)為系數(shù)為k的彈簧一端與滑塊相連接，另一端固定。桿的彈簧一端與滑塊相連接，另一端固定。桿AB長度為長度為l，質(zhì)量忽略不計，質(zhì)量忽略不計，A端與滑塊端與滑塊A鉸接，鉸接，B端裝有質(zhì)量端裝有質(zhì)量 m1，在鉛直平，在鉛直平面內(nèi)可繞面內(nèi)可繞A點

19、旋轉(zhuǎn)。設(shè)在力偶點旋轉(zhuǎn)。設(shè)在力偶M作用下轉(zhuǎn)動角速度作用下轉(zhuǎn)動角速度為常數(shù)，為常數(shù)，求求滑塊滑塊A的的運動微分方程運動微分方程。解：解：以彈簧原長處和鉛垂處為以彈簧原長處和鉛垂處為x 和和 的起始位置，由題意可的起始位置，由題意可得得kCFdtxdmm221)(得得代入代入)/()sin(,11mmlxmmxxkxFtCktmmlmxmmkxsin1211 x o x Ch.11. 動量定理動量定理例例11-9 已知：水的體積流量為已知：水的體積流量為qV m3/s，密度為，密度為 kg/m3；水沖；水沖擊葉片的速度為擊葉片的速度為v1 m/s，方向沿水平向左；水流出葉片的速度為，方向沿水平向左；

20、水流出葉片的速度為v2 m/s, ,與水平線成與水平線成角。求圖示水柱對渦輪固定葉片作用力的角。求圖示水柱對渦輪固定葉片作用力的水平水平分力分力。 解：解：設(shè)附加水平動約束力如圖設(shè)附加水平動約束力如圖，有，有0),(cos12 yVxFvvqF因此，水柱對渦輪固定葉片作用力的因此，水柱對渦輪固定葉片作用力的水平分力水平分力為為 xF )(21122vvvF VqN)cos(12vvqFFVxx v1 v2 v2 22vv Ch.11. 動量定理動量定理 1. 動量定理動量定理小小 結(jié)結(jié) 質(zhì)點系質(zhì)點系動量守恒定律動量守恒定律： 質(zhì)點的動量定理：質(zhì)點的動量定理： 質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系的動量： 質(zhì)點

21、系的質(zhì)點系的動量定理動量定理：dtmdFv )(IFvvtdtmm00Ciimmvvp)(edtdFp)(0eIpp恒恒矢矢量量0ppF0)(e恒量恒量xx(e)xppF00Ch.11. 動量定理動量定理 2. 質(zhì)心運動定理：質(zhì)心運動定理： maC =F(e) 質(zhì)點系的質(zhì)點系的質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動守恒定律質(zhì)心運動守恒定律：mmiirrCmzmzmymymxmxiiCiiCiiC/或者或者000)(0,0:0CCCCCCeirrvvvaF則則，如如000(e)則0如0:0CCCxCxCxCxxxx，v,vvaFCh.11. 動量定理動量定理 60 v l 思思 考考 題題思思11-1 11-1 求

22、圖求圖11111111所示各所示各均質(zhì)均質(zhì)物體的物體的動量動量。設(shè)各物體質(zhì)量皆。設(shè)各物體質(zhì)量皆為為m 。 l l/3 l Ciimmvvpmlp21mlp61mvmlp332160sinlv瞬心法瞬心法Ch.11. 動量定理動量定理 R v R x a a 2a 45 y map21mRp mvp Ch.11. 動量定理動量定理思思11-2 11-2 在光滑的水平面上放置一在光滑的水平面上放置一靜止靜止的的均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤，當(dāng)它受一，當(dāng)它受一力偶作用力偶作用時，時，盤心盤心將如何將如何運動運動？盤心運動情況？盤心運動情況與力偶作用位置與力偶作用位置有關(guān)嗎有關(guān)嗎？如果圓盤面內(nèi)受一大小和方向都？如果圓盤面內(nèi)受一大小和方向都不變的力不變的力作用，盤心作用，盤心將如何運動？盤心運動情況將如何運動？盤心運動情況與此力的作用點有關(guān)嗎與此力的作用點有關(guān)嗎？解答：解答：由質(zhì)心運動定理由質(zhì)心運動定理 maC =F(e) 可知，在力偶作用下盤心不可知，在力偶作用下盤心不動，盤心運動情況與力偶作用位置無關(guān)；在力的作用下盤心加速動，盤心運動情況與力偶作用位置無關(guān)；在力的作用