清華大學(xué)微積分16定積分課件

1、2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分1P166 習(xí)題習(xí)題6.2 1(1)(5). 2(2). 3(1)(3). 4(4)(5). 5(1). 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：P158166 作業(yè)作業(yè)預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)：P1681742021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分2第十六講第十六講 定積分定積分（一）（一） 二、定積分的概念二、定積分的概念三、可積性條件與可積類三、可積性條件與可積類一、兩個(gè)典型例子一、兩個(gè)典型例子四、定積分的基本性質(zhì)四、定積分的基本性質(zhì)2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分3例例1 曲邊形的面積問題曲邊形的面積問題adxyo)(xfy i ix1 ix一、兩個(gè)典型例子一、兩個(gè)典

2、型例子曲邊梯形曲邊梯形2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分4), 2, 1(,1nkxxnbakk 個(gè)子區(qū)間個(gè)子區(qū)間分成分成將將bxxxxxanii 11011:, kkkkkkxxxxx 記記任任取取(1) 細(xì)分細(xì)分:,區(qū)區(qū)間間任任意意插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)在在ba形形面面積積近近似似個(gè)個(gè)曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積用用矩矩將將第第kkkkxfA )(個(gè)個(gè)小小曲曲邊邊梯梯形形將將曲曲邊邊梯梯形形分分成成 n(2)(2) 取近似：取近似：2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分5(4) 取極限取極限: 0max,1 knkx 即即無無限限細(xì)細(xì)分分存存在在如如果果極極限限 nkkkxf10

3、)(lim 的的面面積積越越接接近近曲曲邊邊梯梯形形分分點(diǎn)點(diǎn)越越“密密” nkkkxf1)(, Axfnkkk 10)(lim 則則 nkkknkkxfAA11)( (3)求和求和: :2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分6.,),(sbatvv所所走走過過的的路路程程內(nèi)內(nèi)求求在在時(shí)時(shí)間間間間隔隔已已知知速速度度 btttttankk 110例例2 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題), 1()(nitvskkk nkkknkktvss11)( nkkktvs10)(lim 細(xì)分：細(xì)分： :,區(qū)區(qū)間間任任意意插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)在在ba), 2, 1(,1nkttnbakk 個(gè)個(gè)

4、子子區(qū)區(qū)間間分分成成將將(4) 取極限取極限:以勻速近似變速以勻速近似變速,1kkktt 任任取取(2)取取近似：近似：(3)求和求和：2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分7二、定積分的概念二、定積分的概念（一）黎曼積分定義：（一）黎曼積分定義： ,max,)(:,;), 1(,:, :11111110knknkkkkkkkkkkknkkxxfxxxxxnkxxkbxxxxxababaRbaf 記記構(gòu)構(gòu)造造和和式式任任取取長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為的的個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間記記第第中中插插入入一一組組分分點(diǎn)點(diǎn)即即在在作作任任意意劃劃分分對(duì)對(duì)區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分8

5、.,)(;,)(lim10上上的的定定積積分分在在稱稱此此極極限限值值為為并并且且記記上上可可積積在在稱稱則則存存在在如如果果和和式式極極限限baxfbaRfbafxfnkkk knkkbaxfdxxf )(lim)(10記作記作:積分上限積分上限積分下限積分下限,ba稱為稱為積分區(qū)間積分區(qū)間定積分是定積分是 : 積分和式的極限積分和式的極限 badxxfA)( badttvs)( 例例11曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 例例22變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分9面面積積定定積積分分表表示示曲曲邊邊梯梯形形的的即即則則若若,)(,0)()1(Adx

6、xfxfba 面面積積的的負(fù)負(fù)值值定定積積分分表表示示曲曲邊邊梯梯形形的的即即則則若若,)(,0)()2(Adxxfxfba （二）定積分的幾何意義（二）定積分的幾何意義xyab1 ixixi )(if )(xfy oiiixfA )(2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分10上上可可積積在在證證明明例例,)(1baCxf 證證 ), 1(,10nkxxxbakkknkk 任任取取的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分任任給給 nkknkkkxCxf11)( )(1abCxCnkk )()(abCdxCdxxfbaba 即即)()(lim10abCxfnkkk 2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分

7、11上上不不可可積積在在為為無無理理數(shù)數(shù)為為有有理理數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)證證明明例例1, 001)(2 xxxDDirichlet證證 nkkx01, 0 的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分任任給給), 1(,1nkxxkkk 是是有有理理數(shù)數(shù)任任取取 ), 1(,1nkxxkkk 是是無無理理數(shù)數(shù)另另取取 1)(11 nkknkkkxxD 0)(1 nkkkxD 1)(lim10 nkkkxD 0)(lim10 nkkkxD 上上不不可可積積函函數(shù)數(shù)在在故故1, 0Dirichlet2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分12定理定理1：三、可積性條件與可積函數(shù)類三、可積性條件與可積函數(shù)類.,)(,)(上上有

8、有界界在在上上可可積積，則則在在若若baxfbaxf證明思路證明思路：反證法。假設(shè)：反證法。假設(shè) f(x) 在在a,b上無界，上無界， 則至少在一個(gè)子區(qū)間上無界，所以黎曼則至少在一個(gè)子區(qū)間上無界，所以黎曼 和式無界，與和式極限存在相矛盾和式無界，與和式極限存在相矛盾. 定積分作為黎曼和式的極限，其構(gòu)造十定積分作為黎曼和式的極限，其構(gòu)造十分復(fù)雜，因此想通過計(jì)算這個(gè)和式的極限來分復(fù)雜，因此想通過計(jì)算這個(gè)和式的極限來研究定積分，實(shí)際上是不可行的研究定積分，實(shí)際上是不可行的. . 另一途徑另一途徑是先研究其存在性，得到有關(guān)可積性的理論。是先研究其存在性，得到有關(guān)可積性的理論。2021-10-26清華大

9、學(xué)微積分16定積分13定理定理3：.,)(,)(上上可可積積在在則則有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)上上只只有有在在若若有有界界函函數(shù)數(shù)baxfbaxf.,)(,)(上上可可積積在在則則上上單單調(diào)調(diào)在在若若函函數(shù)數(shù)baxfbaxf定理定理4：定理定理2：.,)(,)(上上可可積積在在則則上上連連續(xù)續(xù)在在若若函函數(shù)數(shù)baxfbaxf2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分14四、定積分的基本性質(zhì)四、定積分的基本性質(zhì) 定積分是一種極限，因此其性質(zhì)與極限定積分是一種極限，因此其性質(zhì)與極限性質(zhì)密切相關(guān)性質(zhì)密切相關(guān)性質(zhì)一：性質(zhì)一： 線性性質(zhì)線性性質(zhì)有有則對(duì)任意常數(shù)則對(duì)任意常數(shù)若若, baRgf bababa

10、dxxgdxxfdxxgxf)()()()( 性質(zhì)二：性質(zhì)二：關(guān)于區(qū)間的可加性關(guān)于區(qū)間的可加性 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(并并且且有有則則若若,),(,bcRfcaRfbacbaRf 2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分15 bababaduufdttfdxxf)()()( 注意注意1 1 定積分的值只依賴于被積函數(shù)和積分的上、定積分的值只依賴于被積函數(shù)和積分的上、 下限，而與積分變量用什麼字母表示無關(guān)。即下限，而與積分變量用什麼字母表示無關(guān)。即 注意注意2 2 定積分的定義中，下限定積分的定義中，下限a a小于上限小于上限b b，否則，否則， 做如下規(guī)定做如下規(guī)

11、定: : abbadxxfdxxfba)()(:,規(guī)規(guī)定定時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)關(guān)于區(qū)間可加性的推廣關(guān)于區(qū)間可加性的推廣有有則則若若,babaRf dxxfdxxfdxxf)()()(2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分16性質(zhì)三：性質(zhì)三：積分的不等式性質(zhì)積分的不等式性質(zhì)則則有有且且若若函函數(shù)數(shù)),()(,)(,)(xgxfbaxbaRxgbaRxf babadxxgdxxf)()(（證明：利用極限的保序性質(zhì)）（證明：利用極限的保序性質(zhì)）性質(zhì)四：性質(zhì)四：積分的保號(hào)性積分的保號(hào)性則則有有且且若若函函數(shù)數(shù), 0)(,)( xfbaxbaRxf0)( badxxf2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積

12、分17性質(zhì)五：性質(zhì)五：積分的不等式性質(zhì)積分的不等式性質(zhì)且且則則若若函函數(shù)數(shù),)(,)(baRxfbaRxf babadxxfdxxf)()(注意注意,)(,)(baRxfbaRxf 得得不不出出由由 是是無無理理數(shù)數(shù)是是有有理理數(shù)數(shù)例例xxxf, 1, 1)(性質(zhì)六：性質(zhì)六：積分的估值性質(zhì)積分的估值性質(zhì)則則且且若若函函數(shù)數(shù),)(,)(MxfmbaRxf )()()(abMdxxfabmba 2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分18性質(zhì)七：性質(zhì)七：積分中值定理積分中值定理使使存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)上上至至少少則則在在若若函函數(shù)數(shù),)( babaCxf )()(abfdxxfba 性質(zhì)八：性質(zhì)八

13、：廣義積分中值定理廣義積分中值定理使使上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在不不變變號(hào)號(hào)且且若若函函數(shù)數(shù), ,)(,)( babaRxgbaCxf babadxxgfdxxgxf)()()()( 2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分19xyo)( f)(xfy ab badxxfabf)(1)( 平均高度平均高度函數(shù)平均值函數(shù)平均值2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分20)(0)(bxaxg 不不妨妨設(shè)設(shè))()()()(, 0)(xMgxgxfxmgxg 由由于于證證)(,)(,xfMinmxfMaxMbaxbax ,)(baCxf Mxfmbax )(, bababadxxgM

14、dxxgxfdxxgm)()()()(由假設(shè)條件，可以證明由假設(shè)條件，可以證明,)()(baRxgxf . 0)(, 0)( badxxgxg所所以以因因?yàn)闉?021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分210)()(0)( babadxxgxfdxxg性性質(zhì)質(zhì)成成立立,ba 0)(badxxgMdxxgdxxgxfmbaba )()()(.)(,),(),(,)(:, fbaMmxfMinmxfMaxMbaCxfbaxbax使使存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)至至少少則則在在閉閉區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)介介值值性性定定理理使使上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在, ba babadxxgdxxgxff)()()()(

15、 babadxxgfdxxgxf)()()()( 即即2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分22為為面面積積軸軸所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形的的及及直直線線證證明明由由曲曲線線xbxaxxfy,)( badxxfA)(1S2S3Sxyoab1c2c例例12021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分23321SSSA 線線性性可可加加性性 bccccadxxfdxxfdxxf2211)()()( bccccadxxfdxxfdxxf2211)()()( badxxf)( bccccadxxfdxxfdxxf2211)()()(1S2S3Sxyoab1c2c證證2021-10-26清華大

16、學(xué)微積分16定積分24的的值值估估計(jì)計(jì)定定積積分分例例dxxx 24sin2 xxxfsin)( 設(shè)設(shè)Mmxf和和最最大大值值上上的的最最小小值值在在區(qū)區(qū)間間首首先先求求出出 2,4)( 22cos)tan(sincos)(xxxxxxxxxf 故故時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),tan,2,4xxx 解解 2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分252,40)( xxf上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減在在 2,4)( xf 2)2( fm 22)4( fM)42(22)42(224 dxxSinx222124 dxxSinx即即2021-10-26清華大學(xué)微積分16定積分26)20(0sinlim30 adxxann證明證明例例證證 利用估值定理利用估值定理上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在, 0sinaxnaxnnsinsin0 aaxdxnansinsin00 1sin0,20 aa 0sinlim ann0sinlim0 annxdx故故根根據(jù)據(jù)夾夾逼逼定定理理得得到到2021-10-26清華大學(xué)