自動控制原理課件第七章非線性系統(tǒng)分析

1、 1第七章非線性系統(tǒng)分析 27-1 非線性問題概述 主要內(nèi)容7-2 常見非線性因素對系統(tǒng)運動特性的影響7-3 相平面法基礎(chǔ)7-4 非線性系統(tǒng)相軌跡分析7-5 描述函數(shù)7-6 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng) 3基基 本本 要要 求求 1.明確非線性系統(tǒng)動態(tài)過程的本質(zhì)特征。掌握系統(tǒng)中非線性部分、線性部分結(jié)構(gòu)歸化的方法。2.熟練掌握二階線性方程的相軌跡，正確理解焦點、節(jié)點、中心、鞍點、極限環(huán)等概念。 3.熟練掌握由相軌跡計算時間的方法。已知相軌跡大致畫出時間響應(yīng)曲線的圖形。4.對簡單的非線性系統(tǒng)能熟練寫出相軌跡的解析表達式。能通過等傾線方法作出相軌跡。 45. 對分段線性的非線性系統(tǒng)，能決定開關(guān)線,寫出分

2、區(qū)域相軌跡的方程式。6.對具有外作用和或具有速度反饋的情況能合適地選取相坐標作出相軌跡圖。7.正確理解諧波線性化的條件及描述函數(shù)的概念。8.了解描述函數(shù)建立的一般方法，明確幾種典型非線性特性負倒描述函數(shù)曲線的特點。9.熟練掌握運用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)中是否有周期運動, 判斷周期運動的穩(wěn)定性。 5簡 介 非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。 線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是疊加原理，因此非線性系統(tǒng)也可以理解為不滿足疊加原理的系統(tǒng)。本章將介紹工程上常用的相平面法和描述函本章將介紹工程上常用的相平面法和描述函數(shù)法，并通過這兩種方法揭示非線性系統(tǒng)的數(shù)法，并通過這兩種方法揭示非線性系統(tǒng)的一些區(qū)別于線性系統(tǒng)

3、的現(xiàn)象。一些區(qū)別于線性系統(tǒng)的現(xiàn)象。 67-1 非線性問題概述一、實際系統(tǒng)中的非線性因素一、實際系統(tǒng)中的非線性因素圖7-1 一些常見的非線性特性 7 除上述實際系統(tǒng)中部件的不可避免的非線性因素外，有時為了改善系統(tǒng)的性能或者簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，人們還常常在系統(tǒng)中引入非線性部件或者更復雜的非線性控制器。 通常，在自動控制系統(tǒng)中采用的非線性部件，最簡單和最普遍的就是繼電器。 8圖7-2 電磁繼電器的工作原理和輸入-輸出特性 9二二. .非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)有不同的非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)有不同的 運動規(guī)律運動規(guī)律 在線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，對常參量線性系統(tǒng)，只取決于系統(tǒng)特征方

4、程根的分布，而和初始條件、外加作用沒有關(guān)系。對于非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念。必須具體討論某一運動的穩(wěn)定性問題。非線性系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，除了和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)大小有關(guān)以外，還和初始條件有密切的關(guān)系。 10n線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)自由運動的形式與系統(tǒng)的初始偏移無關(guān)。非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)則不一樣，自由運動的時間響應(yīng)曲線可以隨著初始偏移不同而有多種不同的形式。圖7-4非線性系統(tǒng)在不同初始偏移下的自由運動 11n線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)在沒有外作用時，周期運動只發(fā)生在n 臨界情況，而這一周期運動是物理上不可能實現(xiàn)的。非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)，在沒有外作用時，系統(tǒng)中完全有可能發(fā)生一定頻率和振幅的

5、穩(wěn)定的周期運動，如圖75所示，這個周期運動在物理上是可以實現(xiàn)的，通常把它稱為自激振蕩，簡稱自振。圖7-5非線性系統(tǒng)的自激振蕩 12n 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)中，當輸入量是正弦信號時，輸出穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，可以引入頻率特性的概念并用它來表示系統(tǒng)固有的動態(tài)特性。非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)在正弦作用下的輸出比較復雜。 13三三. .非線性系統(tǒng)的分析方法非線性系統(tǒng)的分析方法 在線性系統(tǒng)中，一般可采用傳遞函數(shù)、頻率特性、脈沖過渡函數(shù)等概念。 在工程實際中對于存在線性工作區(qū)域的非線性系統(tǒng)，或者非線性不嚴重的準線性系統(tǒng)，常常采用線性化的方法進行處理，然后在線性分析的基礎(chǔ)上加以修正。而對于包括像繼電特性那樣根

6、本不存在線性區(qū)的非線性特性，工程上常用相平面方法相平面方法和描述函數(shù)方法描述函數(shù)方法進行研究。 147-2 常見非線性因素對系統(tǒng) 運動特性的影響一、不靈敏區(qū)一、不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)又叫 死區(qū)死區(qū)，系統(tǒng)中的死區(qū)是由測量元件的死區(qū)、放大器的死區(qū)以及執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)所造成的。圖7-6 死區(qū)特性 15死區(qū)非線性特性的數(shù)學表達式如下：0101sign111xxx式中121110|sign|xxK xxx 16圖7-7 包含死區(qū)的非線性系統(tǒng)圖7-8 斜坡輸入時的系統(tǒng)輸出量 17二、飽和圖7-9 部件的飽和現(xiàn)象飽和特性也是系統(tǒng)中最常見的一種非線性特性。 18理想化后的飽和特性典型數(shù)學表達式為： 式中： 是線性范圍

7、， K為線性范圍內(nèi)的傳遞系數(shù)（對于放大元件，也稱增益）。12111|KaxaxKxxaKaxa a 19粗略地看，飽和特性的存在相當于大信號作用時，增益下降。圖7-10 飽和特性圖7-11 飽和特性的等效增益 20圖7-13 圖7-12系統(tǒng)的響應(yīng)隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖712所示。當系統(tǒng)輸入端加上一個幅值較大的階躍信號時，若放大器無飽和限制，系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線如圖7-13中的曲線1；放大器有飽和限制時的時間響應(yīng)曲線如圖7-13中的曲線2。圖7-12 非線性系統(tǒng) 21若隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖715所示。圖7-14 根軌跡圖圖7-15 非線性系統(tǒng)根軌跡分析： 22圖7-16系統(tǒng)的時間響應(yīng)當系統(tǒng)中不存在飽

8、和特性的限制，系統(tǒng)是振蕩發(fā)散的；若系統(tǒng)中存在飽和特性的限制，則系統(tǒng)不再發(fā)散，而是出現(xiàn)穩(wěn)定的 等幅振蕩等幅振蕩， 如圖7-16中的曲線2。 23三、間隙圖717 齒輪傳動中的間隙傳動機構(gòu)(如齒輪傳動、桿系傳動)的間隙也是控制系統(tǒng)中的一種常見的非線性因素。 24間隙特性的典型特性如圖7-18所示。數(shù)學表達式為圖718 間隙非線性特性22111221sign|0|xxK xbxxbKxxxbK， 25 間隙對系統(tǒng)性能的影響也很復雜，一般說來，它會增大系統(tǒng)的靜差，使系統(tǒng)波形失真，過渡過程的振蕩加劇。圖7-19 間隙特性的輸入-輸出波形 26四、摩擦圖7-20 直流電動機的方框圖 摩擦非線性對小功率角度

9、隨動系統(tǒng)來說，是一個很重要的非線性因素。它的影響，從靜態(tài)方面看，相當于在執(zhí)行機構(gòu)中引入了死區(qū)，從而造成了系統(tǒng)的靜差，這一點和死區(qū)的影響相類似。圖7-21 摩擦力矩示意圖 27圖7-22 小功率隨動系統(tǒng)方框圖圖7-23 低速爬行現(xiàn)象 287-3 相平面法基礎(chǔ)相平面法 是一種求解二階常微分方程的圖解方法。 設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述 ),(xxfx xx 1xx2令 , （7-9） 則21212d(,)dxf xxxx（7-11） 29相平面:描繪相平面上的點隨時間變化的曲線叫相軌跡。 通常把方程（79）稱為相軌跡微分方程式，簡稱 相軌跡方程。 將式（711）的積分結(jié)果稱為 相軌跡表達

10、式。相軌跡:（x,x)把具有直角坐標 的平面叫做相平面。 30一、線性系統(tǒng)的相軌跡 設(shè)系統(tǒng)的微分方程為022xxxnn （7-12）0222nns式（7-12）的特征方程為 12nn 上述特征方程的根為 n式（7-12）所表示的自由運動，其性質(zhì)由特征方程根的分布特點所決定。 31取相坐標 、 ，式（7-12）可化為 x x2d(2)dddnnxxxtxxt （7-14）或22ddnnxxxtx 32（1）無阻尼運動由方程（7-14），相軌跡方程為：)0(22002nxAx其中相軌跡如圖724所示，在相平面上是為一族同心的橢圓。 每個橢圓相當于一個簡諧振動。2222( )( )nx tx tA（

11、7-16） 33圖7-24 系統(tǒng)無阻尼運動時的相軌跡n相軌跡的方向如圖7-24中箭頭所示。n相軌跡垂直穿過橫軸。n坐標原點處相軌跡的斜率不能由該點的坐標唯一地確定，這種點叫做奇奇點點。圖7-24的奇點(0,0)通常稱為 中心中心 34（2）欠阻尼運動10其中22000ndxxAx000arctanndxxx ( )esin()ntdx tAt（7-17）方程（7-12）的解為 35 相軌跡如圖725所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標原點是一個奇點，它附近的相軌跡是收斂于它的對數(shù)螺旋線，這種奇點稱為 穩(wěn)定的焦點穩(wěn)定的焦點。圖7-25 系統(tǒng)欠

12、阻尼運動時的相軌跡 36（3）過阻尼運動 這時方程（712）的解為 11212( )eeq tq tx tAA002112xxA001212xxA121 122( )eeq tq tx tAqA q 相軌跡如圖相軌跡如圖726所示所示 。 37圖7-26 過阻尼時的相軌跡圖7-27 過阻尼運動的時間響應(yīng)坐標原點是一個奇點，這種奇點稱為 穩(wěn)定的節(jié)點穩(wěn)定的節(jié)點。 38（4）負阻尼運動 相軌跡圖如圖728所示，此時相軌跡仍是對數(shù)螺旋線，但相軌跡的運動方向與圖725不同，隨著 t 的增長，運動過程是振蕩發(fā)散的。這種奇點稱為 不穩(wěn)定的焦點不穩(wěn)定的焦點 。01圖7-28 39 系統(tǒng)的相軌跡圖如圖7-29所

13、示，奇點稱為不穩(wěn)定的節(jié)點不穩(wěn)定的節(jié)點。1圖7-29 40 此時相軌跡如圖 7-30所示。奇點稱為 鞍點鞍點 該奇點是不穩(wěn)定的 。022xxxnn 圖7-30 斥力系統(tǒng)的相軌跡 41圖7-31 特征根和奇點的對應(yīng)關(guān)系 42 二、相軌跡作圖法),(xxfx 設(shè)系統(tǒng)微分方程為 d( , )dxf x xxx化為表示相平面上的一條曲線，相軌跡通過曲線上的點時所取的斜率都是 。a這條曲線就稱為 等傾線等傾線。 axxxf),(令其中 為某個常數(shù)a1.等傾線法 43例子 微分方程 0 xxx xxxxxdd或xax11等傾線是直線，它的方程為： 44 取不同值時，可在相平面上畫出若干不同的等傾線，在每條等

14、傾線上畫出表示該等傾線斜率值的小線段，這些小線段表示相軌跡通過等傾線時的方向，從相軌跡的起點按順序?qū)⒏餍【€段連接起來，就得到了所求的相軌跡 。a圖7-32 45極限環(huán)在圖7-33中，出現(xiàn)了一種孤立的簡單的封閉相軌跡。這種相軌跡稱為穩(wěn)定的極限環(huán)。2(1)0 xxxx1圖7-33 46圖7-34 各種類型的極限環(huán) 47三、由相平面圖求時間解 相軌跡上坐標 點移動到 點所需的時間，可按下式計算1x2x2121dxxxttx（7-32）這個積分可用通常近似計算積分的方法求出，因此求時間解的過程是近似計算的過程。 481.用 曲線計算時間利用式（737）計算時間，在某些情況下可直接進行積分運算 。1/

15、x 圖7-37 492.用小圓弧逼近相軌跡計算時間 在小圓弧逼近的方法中，相軌跡是用圓心位于實軸上的一系列圓弧來近似的。 軸上的P、Q、R點為圓心，以PAxQBRC如圖736AD段，可用、為半徑的小圓弧來逼近，這樣就有ADABBCCDABBCCDttttttt 50 代入式（7-32）得sinPAx cosPAOPx令sindsinBAABABABPAtPA（7-33） 51 圖7-36用小圓弧逼近相軌跡計算時間 52例7-2 圖示相平面上有兩條封閉的相軌跡，已知 和 均是圓弧的一部分，試計算這兩條封閉相軌跡所對應(yīng)的周期運動的周期。AB11A B圖7-37 53解： 相軌跡 和 對應(yīng)的周期運動

16、，它們的周期分別為 和 s， 則有ABCD1111A B C DT1T12(2)422(12.21)6.43TT 547-4 非線性系統(tǒng)相軌跡分析根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式選取相坐標，列寫微分方程。畫相軌跡圖。根據(jù)相軌跡圖分析系統(tǒng)的運動情況。 55一、繼電型系統(tǒng) 系統(tǒng)中有一個或幾個元件具有繼電型非線性特性的系統(tǒng)稱為繼電型系統(tǒng)。圖7-38 繼電型非線性特性 56若繼電型系統(tǒng)的方框圖如圖741所示。 研究圖中繼電型特性為圖7-38(b)的情況。圖7-41 57 很明顯，相平面以直線 為界被分成三個不同的區(qū)域，在每個區(qū)域里，系統(tǒng)的相軌跡完全由一個線性微分方程所確定。ec 時hcKMhchcKMtctcT,|,

17、 0,)()( ch 58 1 .在 ch的區(qū)域KMtctcT)()( 系統(tǒng)方程為TKMcck)(001TKMck)(02其中( 1/ )12( )eT tc tkkKMt 59KMtc)( 所以KMc0當( 1/ )0( )()eT tc tcKMKM 602. 在|c|h區(qū)域 系統(tǒng)方程為0ccT Tcc1dd)(100ccTcc （7-42） 613 .在c-h區(qū)域 相軌跡方程為KMtctcT)()( KMc 0KMtc)( 當 時00( 1/ )0( )()() eT tc tccKM TcKM TKMt( 1/ )0( )()eT tc tcKMKM 62圖7-40 圖7-39系統(tǒng)當

18、時的相軌跡1m 63當m=-1時，系統(tǒng)微分方程為 對這個系統(tǒng)而言，不論初始條件如何，系統(tǒng)最終都是處于自振狀態(tài)，并且振蕩的周期與振幅僅取決于系統(tǒng)的參數(shù)，而和初始條件的大小無關(guān)。0,0,)()(chchcKMchchcKMtctcT 64圖7-41 圖7-39系統(tǒng)當m=-1時的相軌跡 65圖7-42 振蕩趨勢加大示意圖1m 66圖7-43 m逐漸減少時的相平面 67二、速度反饋對繼電型系統(tǒng)自由運動的影響圖7-44 有速度反饋的繼電型系統(tǒng) 68系統(tǒng)的微分方程為 將此相軌跡圖與圖740比較可看出兩者主要是開關(guān)線不同。 可以通過改變開關(guān)線的位置來改善系統(tǒng)的性能。( )( )0|KMcchTc tc tc

19、chKMcch ， 69圖745 速度反饋對系統(tǒng)運動過程的影響 70三、含有間隙非線性的系統(tǒng) 圖7-46 間隙非線性和非線性控制系統(tǒng) 71方程式：uKx1 00MeuMe，yKe20,0,ybxybxybxyy , 0 720,0,11yMKyMKx bxMKbxMKx,11 0120121MxKxc0120221MxKxc式中bxcMxKxbxcMxKx,21,21212112相軌跡方程（7-54）（7-55） 73圖7-47 式（7-54）和式（7-55）的相軌跡 74圖7-48 圖7-46系統(tǒng)的相平面 75圖7-49 判斷開關(guān)線所用的對應(yīng)關(guān)系 76四、具有階躍或斜坡輸入時非線性系統(tǒng)的相平

20、面 圖7-50 具有非線性放大器的系統(tǒng) 77圖7-50（a）表示的系統(tǒng)方程為KuccT 00,eeeeekeucrerrTKueeT 得到kKTKT21121假定 78（1）階躍輸入 r(t)=R 系統(tǒng)方程變?yōu)?KeeeT 0kKeeeT 圖7-51 79（2）輸入信號r(t)=Vt+R 系統(tǒng)方程為,VKeeeT 0ee ,VkKeeeT 0ee 80圖7-52 Ve0時的相軌跡 81圖7-53 kKe0VKe0,R=0 82 7-5 描述函數(shù) 描述函數(shù)描述函數(shù)可以定義為非線性特性輸出的一次諧波分量與輸入正弦量的復數(shù)比 。若輸出的一次諧波分量為 1111( )cossinsin()y tAtB

21、tYt輸入的正弦量為tXsin則描述函數(shù)描述函數(shù)的數(shù)學表達式如式 （7-70） 所示： （7-70）1221111arctanAABYBNXX 83圖7-55 理想繼電型特性在正弦輸入時的輸出波形和振幅頻譜 84其中2101( )cosd()Ay ttt（）2101( )sind()By ttt（）)(tytXsin為非線性特性在輸入信號作用下的輸出。22111111()arctanABYAN XXXB 85例7-3 若非線性特性為 34121xxy)(d)sin()4121(13201ttxxXXBN其特性曲線如圖7-56。（7-71） 86令 tXxsin)(dsin)sin41sin21

22、(13320tttXtXXN）（)(sin2)(sin140220ttXttdd）（）（2116321XXBNtXXtysin)16321()(2則有 87圖7-56 式（7-71）的輸入-輸出特性 圖7-57 描述函數(shù) 88一、不靈敏區(qū)特性的描述函數(shù)1sinX)/arcsin(1X2/11)(d)sin(sin4tttXKB）（)dsin)( dsin42/2/211ttXttKX（）（）（ 89（7-78） 根據(jù)描述函數(shù)的定義，可求出不靈敏區(qū)的描述函數(shù)為12()2arcsin12BN XXKXXXX 90圖7-58 不靈敏區(qū)特性及其輸入-輸出波形 91 二、飽和特性的描述函數(shù)SX1sinX

23、Sarcsin11102/21)(d)sin()(d)(sin4ttKSttKXB2/011)cos()sin(41214tXSttKX21arcsin2XSXSXSKX)(SX 92 圖759表示了飽和特性和它在正弦信號作用下的輸出波形。 飽和特性的描述函數(shù)為21arcsin2)(XSXSXSKXN)(SX 從上式可知，飽和特性的描述函數(shù)是輸入幅值的實值函數(shù)，與輸入頻率無關(guān)。 93圖7-59 飽和特性及其輸入-輸出波形 94三、間隙特性的描述函數(shù))21arcsin(1Xb2/01)(d)cos()sin(2ttbtXKA112/)(d)cos()sin()(d)cos()(ttbtXKttb

24、XK12/2/02/02)sin()()sin()(sin212tbXKtKbtKX11)sin()(sin212tKbtKX)(14bXXbbK 952/01)(d)sin()sin(2ttbtXKB112/)(d)sin(sin)(d)sin()(ttbtXKttbXK12/2/02/0)cos()()cos()2sin(41212tbXKtKbttKX11cos2sin4121）（）（tKbttKXXbXbXbXbKX121221arcsin2)(bX 96間隙特性的描述函數(shù)為 圖762表示了間隙特性和它在正弦信號作用下的輸出波形XbXbXbXbK121221arcsin2XAjXBxN

25、11)(14XbXKbjXb 97圖7-62 間隙特性及其輸入-輸出波形 98四、繼電型特性的描述函數(shù)Xharcsin1Xharcsin3Xmharcsin2Xmharcsin24 圖761表示了具有滯環(huán)和不靈敏區(qū)的繼電型特性和它在正弦信號作用下的輸出波形 99XhXmhXhXmhM)(, ) 1(2hMmXMh2143)(d)cos()(d)cos(11ttMttMA4321)sin()sin(ttM 1002143)(d)sin()(d)sin(11ttMttMB4321)cos()cos(ttM22112XhXmhM)(hX 101繼電特性的描述函數(shù)為 可知具有滯環(huán)和不靈敏區(qū)的繼電型特性

26、的描述函數(shù)和輸入信號的頻率無關(guān)，只是輸入信號幅值的復數(shù)值函數(shù)。22112)(XhXmhXMXN)(hX 122mXMhj 102圖7-61繼電型特性及其輸入-輸出波形 103當 h=0,兩位置理想繼電型特性的描述函數(shù)XMXN4)(當m=1,三位置理想繼電型特性的描述函數(shù))(,14)(2hXXhXMXN當m=-1,得到具有滯環(huán)的兩位置繼電型特性的描述函數(shù))(,414)(22hXXMhXhXMXNj 104 7-6 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng) 非線性控制系統(tǒng)可化為下列結(jié)構(gòu)形式 圖7-62 非線性控制系統(tǒng) 105用描述分析非線性系統(tǒng)時兩個基本假設(shè)：系統(tǒng)的線性部分G(j)具有很好的低通濾波性。 系統(tǒng)若發(fā)生自激振蕩（穩(wěn)定的周期運動），假定非線性環(huán)節(jié)N的輸入端的振蕩為正弦波。 106一、特征方程的解法 圖762所示系統(tǒng)的特征方程為1() (j )0N X G（7-85）0X0如果對于某一個和，式（785）成立， 那么非線性環(huán)節(jié)N輸入端將有 的周期運動。)sin(00tX此時相當于將整個)(/1XN曲線當作臨界點。 107二、自激振蕩的確定 圖7-63 周期運動的確定及穩(wěn)定性判別01/()NX0(j)K G分別將 和 曲線畫在復平面上,如圖763所示。 108圖中 曲線和 曲線分別相交于