一般二次曲線的化簡與分類

1、4.2 一般二次曲線的化簡與分類一般二次曲線的化簡與分類（simplification and classification of general quadratic curves） 在中學(xué)平面解析幾何中,曾經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓(圓)、雙曲線和拋物線等圓錐曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,它們都是二次曲線。本章討論更一般的二次曲線。 在平面直角坐標(biāo)系下,關(guān)于x和y的二元二次方程所表示的曲線，稱為一般二次曲線（a11，a12和a22不全為零）。4.2.1 一些常用記號(hào)一些常用記號(hào)（notations）為了以后討論問題和書寫的方便,引進(jìn)下面的一些記號(hào)： 根據(jù)這些記號(hào)的含義,可驗(yàn)證下面的恒等式成立：f(x,y)= xf1(

2、x,y) + yf2(x,y) + f3(x,y)稱f (x,y) 的系數(shù)所組成的矩陣為二次曲線(4.2-1)的系數(shù)矩陣,或稱f (x,y) 的矩陣 再引入幾個(gè)記號(hào)：332313232212131211aaaaaaaaaa例例1 試求二次曲線 的系數(shù)矩陣a,f1(x,y), f2(x,y) , f3(x,y), i1 , i2, i3, 和k1.解解 由以上記號(hào)知,0112612862yxyxy4.2.2 直角坐標(biāo)變換下，二次曲線方程的系數(shù)變直角坐標(biāo)變換下，二次曲線方程的系數(shù)變換規(guī)律換規(guī)律（variation low of coefficients equation of quadratic

3、curves under descartes coordinates） 為了選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換來化簡二次曲線的方程，需要了解在坐標(biāo)變換下方程的系數(shù)是怎樣變化的。 由上節(jié)討論，知道一般的坐標(biāo)變換可以分解為移軸和轉(zhuǎn)軸兩部分。因此，將分別考察移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對方程系數(shù)的影響。1) 平移變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律平移變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律將平移公式：x = x+x0 ，y = y+y0 代入曲線方程，化簡整理，設(shè)曲線方程變?yōu)閒(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0比較方程系數(shù)，得平移變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律： (1) 二次項(xiàng)系數(shù)

4、不變； (2) 一次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)閒1(x0,y0), f2(x0,y0)； (3) 常數(shù)項(xiàng)變?yōu)閒(x0,y0).若取新坐標(biāo)原點(diǎn)o (x0,y0)滿足方程v則在新坐標(biāo)系下,方程中將無一次項(xiàng),曲線對稱于原點(diǎn),點(diǎn)(x0,y0)就是曲線的對稱中心。如果對稱中心是唯一的,稱為曲線的中心。此時(shí)方程稱為中心方程。v注：當(dāng)i20時(shí),上一方程組就有唯一解,這時(shí)曲線稱為中心型二次曲線；當(dāng)i2=0時(shí),方程組就沒有解或有無窮多解,這時(shí)曲線稱為非中心型二次曲線或無心型二次曲線。例例2 求二次曲線 的中心.解解 (x0,y0)是對稱中心必須且只需滿足中心方程,即解得(x0,y0)=(0,3). 所以(0,3)是曲線的中心

5、.223630 xxyyxy100002000013(,)0,221,30.2f xyxyfxyxy 2) 旋轉(zhuǎn)變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律旋轉(zhuǎn)變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律 將旋轉(zhuǎn)公式： x = xcos ysin , y = xsin + ycos 代入曲線方程，化簡整理，曲線方程變?yōu)閒(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比較方程系數(shù)，得旋轉(zhuǎn)變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律: (1) 二次項(xiàng)系數(shù)一般可變,但新系下方程的二次項(xiàng)系數(shù)僅與舊系下方程的二次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān),而與一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無關(guān)； (2) 一次項(xiàng)系數(shù)一般也可變，但新

6、系下方程的一次項(xiàng)系數(shù)僅與舊系下方程的一次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān)，而與二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無關(guān)； (3) 常數(shù)項(xiàng)不變。根據(jù)公式的表達(dá)式，若選取角，使則方程中沒有交叉乘積項(xiàng)。 注：若要通過旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項(xiàng)，只須旋轉(zhuǎn)角 滿足： a12=(a22-a11)cos sin +a12(cos2 -sin2)=0,即 (a22-a11)sin2 + 2a12cos2 =0從而得旋轉(zhuǎn)角 滿足 因?yàn)橛嗲械闹悼梢允侨我鈱?shí)數(shù)，所以一定存在 滿足上式。這就是說，一定可以通過轉(zhuǎn)角 消去交叉項(xiàng)。 上式中的 不是唯一的，為確定起見，一般規(guī)定0 需要說明的是,我們?yōu)槭裁床挥?? 這是因?yàn)楫?dāng) a11=a22 時(shí), 該式?jīng)]有意義,

7、而 完全可以決定旋轉(zhuǎn)角= /4.當(dāng)a12=0時(shí),雖然 也無意義,但這時(shí)方程中已經(jīng)不含交叉項(xiàng),就用不到轉(zhuǎn)軸變換了. 1211222tan2aaa112212cot 202aaa112212cot 22aaa112212cot 22aaa例例 利用轉(zhuǎn)軸變換,消去二次曲線x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉項(xiàng).解解 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,由決定方程得 可取 ,故轉(zhuǎn)軸公式為： 代入原方程化簡整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為4.2.3 二次曲線的判別二次曲線的判別（quadratic curve discriminant） 從前面的討論可知，二次曲線化簡的關(guān)鍵是如何消去方程中的交叉項(xiàng)xy和一次項(xiàng)?；喴话愣吻€方

8、程，首先要判別二次曲線的類型，然后根據(jù)曲線的類型，采用不同的坐標(biāo)變換。 二次曲線的類型可以用i2來判別：當(dāng)i20時(shí),二次曲線是中心型曲線；當(dāng)i2=0時(shí),二次曲線是非中心型曲線.又可以細(xì)分為以下3種類型： (1) 橢圓型：i20， (2) 雙曲型：i20， (3) 拋物型：i2=0。注注：二次曲線類型判別的嚴(yán)格證明，參看后文的利用不變量化簡曲線方程部分。4.2.4 二次曲線的化簡與作圖二次曲線的化簡與作圖（simplification and graphing of quadratic curves） 根據(jù)坐標(biāo)變換下方程系數(shù)的變化規(guī)律，對于中心型二次曲線，可以先求出曲線的中心，通過移軸變換消去一

9、次項(xiàng)，然后再作轉(zhuǎn)軸變換時(shí)，就不用整理一次項(xiàng)了。而對于非中心型二次曲線，由于曲線沒有中心，只能先作轉(zhuǎn)軸變換。這就是說，要根據(jù)曲線的類型，采用不同的化簡方法。 1)中心型二次曲線中心型二次曲線(i20)的化簡與作圖的化簡與作圖：對于中心型二次曲線，采用“先移后轉(zhuǎn)”，較為簡便。 其具體步驟是： 1、解中心方程組，求出曲線的中心(x0,y0) ； 2、作平移變換，消去一次項(xiàng)； 3、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出cos 、sin ； 4、作旋轉(zhuǎn)變換，消去交叉項(xiàng)，得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 5、將旋轉(zhuǎn)變換代入平移變換，得到直角坐標(biāo)變換公式； 6、作出新舊坐標(biāo)系o-xy、o-xy和o-xy ，在新坐標(biāo)系下按照標(biāo)準(zhǔn)方程作出曲

10、線的圖形。例例 化簡二次曲線方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0，并畫出它的圖形。解解 因 i252-2260，所以曲線為中心型二次曲線?！跋纫坪筠D(zhuǎn)”。 1、解中心方程組得到曲線中心（2,1）2、做移軸變換 原方程變?yōu)?x2+4xy + 2y2-12=0 這里實(shí)際上只需計(jì)算f (2,1)12，因?yàn)橐戚S時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)不變,一次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?。3、再做轉(zhuǎn)軸變換消去xy項(xiàng)，令得 tan =1/2 或 tan =-2取 tan =1/2，可得 cos =2/51/2，sin = 1/51/24、轉(zhuǎn)軸變換公式 ：代入,可將方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程是這是一個(gè)橢圓,如圖所示. 作圖要點(diǎn)：要比較準(zhǔn)確地畫

11、出新舊坐標(biāo)系和曲線的圖形,必須掌握好比例、新舊原點(diǎn)的位置以及坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角.本題中坐標(biāo)系o-xy平移到(2,1)成o-xy,再把坐標(biāo)系o-xy旋轉(zhuǎn)角得 o-xy.在新坐標(biāo)系o-xy 中根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.xyxyxyooo .5251,5152yxyyxx12622 yx112222 yx注：注：本題轉(zhuǎn)軸時(shí)若取tan-2，則可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的轉(zhuǎn)軸公式是 得到的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,圖形相對于原坐標(biāo)系的位置不變。此時(shí)ox軸的正向恰好是圖中y 軸的反向。例例 化簡二次曲線方程x2-3xy+y2+10 x-10y+21=0,寫出坐標(biāo)變換公式并作出它的圖形解解

12、 因?yàn)閕20,所給的二次曲線是雙曲型的. 中心方程組解得中心坐標(biāo)為 ( 2,2) .作移軸變換原方程化為再作轉(zhuǎn)軸變換 ，得旋轉(zhuǎn)角為 .故轉(zhuǎn)軸變換為 . 01023, 01032yxyx, 2, 2yyxx01322yyxx1 1cot2034 ).(21),(21yxyyxx二次曲線的方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程為 這是一條雙曲線,其圖形如圖所示。 作圖時(shí),先將坐標(biāo)系o-xy平移到(-2,2)成o-xy,再把坐標(biāo)系o-xy旋轉(zhuǎn)角 / 4得 o-xy.在新坐標(biāo)系o-xy 中根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖. 221225xy xxyyxyoo22151022xy 將轉(zhuǎn)軸公式代入移軸公式,得坐標(biāo)變換公式為, 2,

13、2yyxx1()2,21()2.2xxyyxy ).(21),(21yxyyxx注：注：利用移軸可以直接化簡缺少xy項(xiàng)的二次曲線方程, 化簡的關(guān)鍵是找到恰當(dāng)?shù)囊戚S公式.常用的方法有配方法和代入法.在應(yīng)用配方法時(shí)必須注意,要分別先對關(guān)于x與y的項(xiàng)進(jìn)行集項(xiàng),然后把x2與y2項(xiàng)的系數(shù)括出來再配方. 利用直角坐標(biāo)變換的方法化簡曲線方程，不僅能夠得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，而且同時(shí)得到坐標(biāo)變換公式，并能作出曲線的圖形，這是其它方法所不能做到的。2)非中心型二次曲線非中心型二次曲線( i2=0)的化簡與作圖的化簡與作圖：對于非中心型二次曲線，采用“先轉(zhuǎn)后移”，較為簡便。其具體步驟是： 1、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出co

14、s 、sin ； 2、作旋轉(zhuǎn)變換,消去交叉項(xiàng)，同時(shí)消去1個(gè)二次項(xiàng)； 3、對轉(zhuǎn)軸后的方程“配方”，先配二次項(xiàng),再配一次項(xiàng)； 4、令“配方”后的括號(hào)內(nèi)分別為x和 y (相當(dāng)于作平移變換),得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 5、將平移變換代入旋轉(zhuǎn)變換,得到直角坐標(biāo)變換公式。 6、作出新舊坐標(biāo)系o-xy，o-xy和o-xy ,在新坐標(biāo)系下按照標(biāo)準(zhǔn)方程作出曲線的圖形。例例 化簡二次曲線方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,寫出坐標(biāo)變換公式并畫出它的圖形。解解 由于i2=14-22=0,曲線是非中心型的,應(yīng)先轉(zhuǎn)軸后移軸。 1、設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,則有得 tan =-1/2 或 tan =2取 tan =2(若取

15、tan =-1/2 ,同樣可將原方程化簡),則有： cos =1/51/2，sin = 2/51/2 2、得轉(zhuǎn)軸公式為代入原方程化簡整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為配方得：3、再做移軸變換曲線方程就化為最簡形式4、寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為：yx 52 這是一條拋物線.它的頂點(diǎn)是新坐標(biāo)系o-xy 的原點(diǎn),原方程的圖形可以根據(jù)它在坐標(biāo)系o-xy 中的標(biāo)準(zhǔn)方程作出,如圖 所示.將移軸公式代入轉(zhuǎn)軸公式,得坐標(biāo)變換公式為 作圖要點(diǎn)：坐標(biāo)系o-xy旋轉(zhuǎn)角tan2成o-xy,再把坐標(biāo)系o-xy 平移,得到o-xy.在新坐標(biāo)系o-xy 中可根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.為了看出曲線在原坐標(biāo)系中的位置,作圖時(shí)需要將新舊坐標(biāo)系同時(shí)畫出. 11(2),5512(2).55xxyyxy例例 化簡二次曲線方程 2x2+xy-3y2-13x-2y+21=0解解 計(jì)算得i2 0。 1 實(shí)橢圓: a330, a11 a330 ； 3 點(diǎn)橢圓: a33=0。() 雙曲型雙曲型： i2=a11a220。 4 雙曲線： a330； 5 兩條相交直線： a33=0。對于非中心型曲線也稱為拋物型曲線,通過轉(zhuǎn)軸消