導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解恒成立問題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)數(shù)結(jié)合“洛必達(dá)法則”巧解恒成立問題第一部分：歷屆導(dǎo)數(shù)高考?jí)狠S題1.2006年全國2理設(shè)函數(shù)f(x) = (x + 1)ln(x+ 1)，若對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.2006全國1理已知函數(shù) f x - e ax.1 x(I)設(shè)a 0，討論y f x的單調(diào)性；(n)若對(duì)任意 x 0,1恒有f x 1，求a的取值范圍.3.2007全國1理設(shè)函數(shù)f (x) ex e x.(I)證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x) 2 ;(n)若對(duì)所有 x 0都有f (x) ax，求a的取值范圍.4.2008全國2理設(shè)函數(shù)f (x) Sinx .2 cosx(I)求f (x)的單

2、調(diào)區(qū)間；(n)如果對(duì)任何 x 0 ,都有f (x) 0時(shí)f (x)0,求a的取值范圍7.2010新課標(biāo)文已知函數(shù)f(x) x(ex 1) ax2.文檔(I)若(n)當(dāng)x 0時(shí)，f (x)0，求a的取值范圍.8.2010全國大綱理f (x)在x1時(shí)有極值，求函數(shù) f (x)的解析式;設(shè)函數(shù)f (x)1 e(I)證明：當(dāng)x1時(shí),(n)設(shè)當(dāng)x 0時(shí),f(x)f(x)-xx1,求a的取值范圍.ax9.2011新課標(biāo)理a In x已知函數(shù)f (x),曲線xf (x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為 x 2y 30.(I)求 a、b的值;(n)如果當(dāng)x 0，且x 1時(shí),In x kf (x),求k的取值范

3、圍.x 1 x10.自編3-自編：若不等式sinx x ax對(duì)于x (0,-)恒成立，求a的取值范圍.第二部分：新課標(biāo)高考命題趨勢(shì)及方法1. 新課標(biāo)咼考命題趨勢(shì)近年來的高考數(shù)學(xué)試題逐步做到科學(xué)化、規(guī)范化，堅(jiān)持了穩(wěn)中求改、穩(wěn)中創(chuàng)新的原則，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用， 既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度， 又注重考查進(jìn)入 高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。 為此，高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)接軌， 以高等數(shù)學(xué)為背景 的命題形式成為了熱點(diǎn)2. 分類討論和假設(shè)反證許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點(diǎn)考查的題型這類題目容易讓學(xué)生想到用分離參數(shù)法，一部分題用這種方法很奏

4、效，另一部分題 在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路一一分類討論和假設(shè)反證的方法03.洛必達(dá)法則型及一型函數(shù)未定式的一種解法0雖然這些壓軸題可以用分類討論和假設(shè)反證的方法求解，但這種方法往往討論多樣、過于繁雜，學(xué)生掌握起來非常困難.研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數(shù)的方法不能解決這部分問題的原因是出現(xiàn)了 0”型的式子，而這就是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就是 洛必0達(dá)法則.第三部分：洛必達(dá)法則及其用法1.洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則：設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足:(i)D W 0 ；(2 )在 U(a)內(nèi),f (x)和g(x)都存在，且g(x)0 ；lim3(3

5、)x ag(x)A(A可為實(shí)數(shù)，也可以是lim他 則 x a g(x)lim x a g (x)A.(可連環(huán)使用)注意 使用洛必達(dá)法則時(shí)，是對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)，而不是對(duì)它們的商求導(dǎo)，求導(dǎo)之后再 求極限得最值。2.2011新課標(biāo)理的常規(guī)解法a ln x b已知函數(shù)f(x)，曲線y f (x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為 x 2y 30.x 1 x(i)求a、b的值；ln x k(n)如果當(dāng)x 0，且x 1時(shí)，f(x),求k的取值范圍.x 1 x(i)略解得a 1 , b 1.(n)方法一：分類討論、假設(shè)反證法2ln x 1In x k、1(k 1)(x1)、由(i)知 f (x)，所以 f

6、 (x)()2 (21 nx).x 1 xx 1 x 1 xx考慮函數(shù)h(x) 2ln x(k1)(x2x0)，則 h(x)(k 1)(x21) 2x2x(i)當(dāng) k 0 時(shí)，由 h(x)k(x21) (x 1)22x知,1時(shí),h(x)0 .因?yàn)?h(1)0 ,所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，可得12 h(x)1 x0 ;當(dāng)x(1,)時(shí)，h(x) 0 ,可得1In xkrIn xk2 h(x)0 ,從而當(dāng)x0且x1 時(shí),f (x)(-)0 ,即 f(x) .1 xx 1xx 1x(ii)當(dāng) 0k 1時(shí)，由于當(dāng)x (1-1)時(shí)，(k1)(x21)2x0,故 h(x)0，而1 kh(1) 0，故

7、當(dāng)x (1,丄)時(shí)，h(x) 0,可得匚h(x) 0，與題設(shè)矛盾1 k1 x)時(shí)，h(x) 0，可得(iii )當(dāng) k 1 時(shí)，h(x)0 ,而 h(1)0 ,故當(dāng) x (1,11 x2h(x)0，與題設(shè)矛盾.綜上可得,k的取值范圍為(,0.注：分三種情況討論： k 0 :0 k 1 :k 1不易想到.尤其是0 k 1時(shí),許多考生都停留在此層面，舉反例x (1,)更難想到.而這方面根據(jù)不同題型涉及的解法1 k也不相同，這是高中階段公認(rèn)的難點(diǎn)，即便通過訓(xùn)練也很難提升3. 運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2011年新課標(biāo)理當(dāng)x 0，且x1 時(shí)，f(x)也即kln xx 12xln x1 x21，記 g (x)1

8、ln xxx 12xln x1 x2則 g (x)2(x22 21)ln x 2(1 x )2( x 1)22(1 x )(1字)記 h( x)In x，則 h(x)4x _ (122從而h(x)在(0,)上單調(diào)遞增,1+x (1+x2)2x(1+x2)222x) 0，且 h(1)0，因此當(dāng) x (0,1)時(shí)，h(x) 0,當(dāng) x (1,)時(shí)，h(x) 0 ;當(dāng) x (0,1)時(shí)，g(x)0,當(dāng) x(1,)時(shí)，g (x)0,所以 g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增由洛必達(dá)法則有l(wèi)im g(x) lim(x 1x 12xln x1) 1lim 羋 1x 1 1 x2limn0，

9、x 1 2x即當(dāng)x 0，且x1時(shí),g(x) 0 因?yàn)閗 g(x)恒成立，所以k 0綜上所述，當(dāng)x且 x 1 時(shí)，f (x)ln x k成立，k的取值范圍為(x 1 x,0.注：本題由已知很容易想到用分離變量的方法把參數(shù)k分離出來然后對(duì)分離出來的函4運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2010新課標(biāo)理設(shè)函數(shù) f (x) e ln x數(shù)g(x)廠1求導(dǎo)，研究其單調(diào)性、極值1 x此時(shí)遇到了“當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g(x)值沒有意義”這一問題，很多考生會(huì)陷入困境如果考前對(duì)優(yōu)秀的學(xué)生講洛必達(dá)法則的應(yīng)用，再通過強(qiáng)化訓(xùn)練就能掌握解決此類難題的這一有效 方法.當(dāng)然這一法則出手的時(shí)機(jī)：(1 )所構(gòu)造的分式型函數(shù)在定義域上單調(diào)(2 )是

10、0型。 1 x ax2.(i)若a 0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(n)當(dāng)x 0時(shí)，f(x) 0，求a的取值范圍應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)(n)當(dāng) x 0時(shí)，f(x)0，即 ex 1 x ax即當(dāng)x 0時(shí)，g(x)-，所以當(dāng)x 1綜上所述，當(dāng)a 且x 0時(shí)，f (x).當(dāng)x0時(shí)，aR;當(dāng)x0 時(shí)，ex1 xx2“,人十e1 xax等價(jià)于a2.x記 g(x)e 1 xx(0,+ )，則 g (x)(x2)ex x 223xx記 h(x)x(x 2)ex2 x(0,+ ),則 h(x) (x 1)ex 1，當(dāng) x (0,+ )時(shí),h (x) xex 0，所以 h(x) (x 1)ex 1 在(0,+

11、 )上單調(diào)遞增，且 h(x) h(0) 0 ,所以h(x) (x 2)ex x 2在(0,+ )上單調(diào)遞增，且h(x) h(0)0,因此當(dāng)x (0,+ )xx文檔時(shí)，g(x) M單 0,從而 g(x)x1 x 在(0,+)上單調(diào)遞增由洛必達(dá)法則有,xxlimlim g (x)lim -2xlim ex 0x 0 xx 0 2x1(0,+)時(shí)，所以g(x),因此a20成立.5.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解自編題自編：若不等式sinxx ax3對(duì)于(0,2)恒成立，求a的取值范圍.解：應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng)x (0,時(shí)，原不等式等價(jià)于 ax sin xx3記 f (x)x sin x3，則 f (x)3si

12、n x xcosx 2x4記 g(x) 3sin x xcosx 2x，貝y g(x) 2cosx xsinx 2 .實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)因?yàn)?g”(x) xcosx sinx cosx(x tanx),g”(x)xsinx 0 ,所以 g(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且 g(x) 0 ,2所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且g(x)0.因此g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,2 2文檔且 g(x) 0 ,故 f (x)啤0，因此xf(x)x sin x在(0,-)上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則有l(wèi)im f(x) lim x 羿x 0x 0 x1 cosx lim2x 0 3xlimx 0 6xcosx limX 06

13、即當(dāng)x 0時(shí)，g(x)16，即有f (x)1 3 故a 1時(shí)，不等式sinx x ax對(duì)于x (0,2)恒成立.通過以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足: 可以分離變量； 用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性; 出現(xiàn)“ 0 ”型式子06運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2010年新課標(biāo)文2010海南寧夏文(21 )已知函數(shù)f(x) x(ex 1)ax2.(I)若f (x)在 x1時(shí)有極值，求函數(shù)f (x)的解析式;(n)當(dāng)x 0時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍.解：(I)略(n)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)x20時(shí)，f(x) 0，即 x(e 1) ax .當(dāng)0 時(shí)，a R;當(dāng)0 時(shí)，x(ex

14、 1)ax2等價(jià)于ex 1 ax，也即a記 g(x)，則 g(x)區(qū)Q記 h( x)(x 1)ex 1, x(0,)，則 h(x) xex0,因此 h(x)(x1)ex 1 在(0,)上單調(diào)遞增，且h(x)h(0)0，所以 g (x)-x0 ,從而g(x)在(0,)上x單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有良叫g(shù)(x)xm0 二x e limx 0 1即當(dāng)x 0 時(shí)，g(x)所以g(x) 1，即有a1.綜上所述，當(dāng)a 1 , x0時(shí),f (x)0成立.7.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2010年大綱理2010全國大綱理(22)設(shè)函數(shù)f (x)1 e x.(i)證明：當(dāng)x 1時(shí),(n)設(shè)當(dāng) x 0時(shí)，f(x)f(x)十；

15、x 1x，求a的取值范圍.ax 1解：(i)略(n)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)由題設(shè)x 0,此時(shí)f(x) 0.當(dāng)a 0時(shí)，若xax0, f(x)ax當(dāng)a 0時(shí)，當(dāng)x0時(shí),f(x)x，即1 ax 1x -不成立;1X;1ax0,則a0,則1xax 1等價(jià)于，即ax 1x x Axe e 1xxe xx記g(x)絲xe 1xxe x，則 g(x)xx! 2e 12x 2 :e x e/ x72(xe x)xe 2(ex(xex x)x22x e ).記 h( x) exx2 2 e x，則 h(x)ex 2x e,h(x) ex+e x因此，h(x)ex 2x e x在(0,)上單調(diào)遞增,且h(0)0,

16、所以h(x)即 h(x)在(0,)上單調(diào)遞增，且h(0)0，所以h(x) 0.因此 g(x)=(xex x)xe ?h(x)所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增由洛必達(dá)法則有XX嘰g(x)龍叫氣limx 0xxe x叫 oe xe 1 x 0 2exxe xexx! xe1，即當(dāng)x 0時(shí),2g(x) 2，即有 g(x) *2 2所以a -綜上所述，a的取值范圍是2(8.運(yùn)用洛必達(dá)和導(dǎo)數(shù)解2008年全國2理設(shè)函數(shù)f (x)s!n2 cosx(n)如果對(duì)任何(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間;x 0 ,都有f (x) ax，求a的取值范圍.解:(i)f (x)(2 cosx)cosx 引呼亦刈 2cosx

17、12(2 cosx)(2 cosx)2n2n當(dāng)2k nx2k n(kZ )時(shí)，cosx332 n4 n當(dāng)2k nx2k n(kZ )時(shí)，cosx3312，即 f (x) 0 ；1,即卩 f (x)0 .22 n2 n因此f(x)在每一個(gè)區(qū)間 2k n n,2knn ( k Z )是增函數(shù),3 3f(x)在每一個(gè)區(qū)間 2kn 3,2k n3(n)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)sin xf(x)ax2cosx若x0,則aR;sin xa若x0,則ax等價(jià)于a2cosx4 n ( k Z )是減函數(shù).3sin xsin x即 g(x)x(2 cosx)x(2 cosx)則 g (x)2xcosx 2sin x sin xcosx x2 2x (2 cosx)