材料力學(xué)第九章

1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案1第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定9- -1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念9- -2 細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式9- -3 不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界力的不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界力的 歐拉公式歐拉公式壓桿的長度因數(shù)壓桿的長度因數(shù)9- -4 歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖9- -5 實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)9- -6 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的合理截面壓桿的合理截面材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案29- -1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念實(shí)際

2、的受壓桿件 實(shí)際的受壓桿件由于: 其軸線并非理想的直線而存在初彎曲， 2. 作用于桿上的軸向壓力有“偶然”偏心， 3. 材料性質(zhì)并非絕對均勻，1. 因此在軸向壓力作用下會發(fā)生彎曲變形，且由此引起的側(cè)向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案3 對于細(xì)長的壓桿(大柔度壓桿)，最終會因?yàn)閺椥缘膫?cè)向位移過大而喪失承載能力； 對于中等細(xì)長的壓桿(中等柔度壓桿)則當(dāng)側(cè)向位移增大到一定程度時(shí)會在彎壓組合變形下發(fā)生強(qiáng)度破壞(壓潰)。 對于實(shí)際細(xì)長壓桿的上述力學(xué)行為，如果把初彎曲和材質(zhì)不均勻的影響都?xì)w入偶然偏心的影響，則可利用大柔度彈性直桿

3、受偏心壓力作用這一力學(xué)模型來研究。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案4 圖a為下端固定，上端自由的實(shí)際壓桿的力學(xué)模型；為列出用來尋求Fd 關(guān)系所需撓曲線近似微分方程而計(jì)算橫截面上的彎矩時(shí),需把側(cè)向位移考慮在內(nèi)，即 M(x)=F(e+d-w)，這樣得到的撓曲線近似微分方程EIz w=F(e+d -w)和積分后得到的撓曲線方程便反映了大柔度桿偏心受壓時(shí)側(cè)向位移的影響。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案5 按照這一思路求得的細(xì)長壓桿在不同偏心距 e 時(shí)偏心壓力F 與最大側(cè)向位移d 的關(guān)系曲線如圖b所示。第九章第

4、九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b) 由圖可見雖然偶然偏心的程度不同 (e3e2e1)，但該細(xì)長壓桿喪失承載能力時(shí)偏心壓力Fcr卻相同。其它桿端約束情況下細(xì)長壓桿的Fd 關(guān)系曲線其特點(diǎn)與圖b相同。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案6抽象的細(xì)長中心受壓直桿 由圖b可知，當(dāng)偶然偏心的偏心距e0時(shí)，細(xì)長壓桿的F-d 關(guān)系曲線就逼近折線OAB，而如果把細(xì)長壓桿抽象為無初彎曲，軸向壓力無偏心，材料絕對均勻的理想中心壓桿，則它的F-d 關(guān)系曲線將是折線OAB。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案7 由此引出了關(guān)于壓桿失穩(wěn)(buckling)這一抽象的概念：當(dāng)細(xì)長

5、中心壓桿上的軸向壓力F小于Fcr時(shí)，桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)FFcr時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡(d0)，也可以在微彎狀態(tài)下保持平衡，也就是說FFcr時(shí)理想中心壓桿的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，壓桿在軸向壓力Fcr作用下會喪失原有的直線平衡狀態(tài)，即發(fā)生失穩(wěn)。 Fcr則是壓桿直線狀態(tài)的平衡由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的臨界力(critical force)。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案8 從另一個(gè)角度來看，此處中心受壓桿的臨界力又可理解為：桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力。 顯然，理想中心壓桿是有偶然偏心等因素的實(shí)際壓桿的一種抽象。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定

6、材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案9細(xì)長中心受壓直桿失穩(wěn)現(xiàn)象第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案10壓桿的截面形式及支端約束 壓桿的臨界力既然與彎曲變形有關(guān)，因此壓桿橫截面的彎曲剛度應(yīng)盡可能大；圖a為鋼桁架橋上弦桿(壓桿)的橫截面，圖b為廠房建筑中鋼柱的橫截面。在可能條件下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如限制甚至阻止桿端轉(zhuǎn)動。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案119-2 細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 本節(jié)以兩端球形鉸支(簡稱兩端鉸支)的細(xì)長中心受壓桿件(圖a)為

7、例，按照對于理想中心壓桿來說臨界力就是桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力這一概念，來導(dǎo)出求臨界力的歐拉(L.Euler)公式。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案12 在圖a所示微彎狀態(tài)下，兩端鉸支壓桿任意x截面的撓度(側(cè)向位移)為w，該截面上的彎矩為M(x)=Fcrw（圖b）。桿的撓曲線近似微分方程為 (a) crwFxMwEI 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)(a)上式中負(fù)號是由于在圖示坐標(biāo)中，對應(yīng)于正值的撓度w，撓曲線切線斜率的變化率 為負(fù)的緣故。 xyxwdddd材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案13令k2=Fcr /EI，將撓曲

8、線近似微分方程(a)改寫成該二階常系數(shù)線性微分方程(b)的通解為02 wkw(b)kxBkxAwcossin(c)第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定此式中有未知量A和B以及隱含有Fcr的k，但現(xiàn)在能夠利用的邊界條件只有兩個(gè)，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，顯然這不可能求出全部三個(gè)未知量。這種不確定性是由F = Fcr時(shí)桿可在任意微彎狀態(tài)下(d可為任意微小值)保持平衡這個(gè)抽象概念所決定的。事實(shí)上，對于所研究的問題來說只要能從(c)式求出與臨界力相關(guān)的未知常數(shù)k就可以了。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案14 將邊界條件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根據(jù)(c)式并利用邊界條

9、件x=l，w=0得到0sinklA第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定kxBkxAwcossin(c)(a)注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否則(c)式將成為w 0而壓桿不能保持微彎狀態(tài)，也就是桿并未達(dá)到臨界狀態(tài)。由此可知，欲使(c)成立，則必須sinkl=0材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案15滿足此條件的kl為，2 ,0kl或即，2 0crlEIF 由于 意味著臨界力Fcr 0，也就是桿根本未受軸向壓力，所以這不是真實(shí)情況。在kl0的解中，最小解 klp 相應(yīng)于最小的臨界力，這是工程上最關(guān)心的臨界力。0crlEIF第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定由klp有crlEIF22c

10、rlEIF亦即材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案16從而得到求兩端鉸支細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式：22crlEIF 此時(shí)桿的撓曲線方程可如下導(dǎo)出。前已求得B=0，且取klp，以此代入式(c)得xlAwsin第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定注意到當(dāng)x= l /2 時(shí) w=d，故有 A=d。從而知，對應(yīng)于klp，亦即對應(yīng)于Fcr=p2EI/l 2，撓曲線方程為lxwsind可見此時(shí)的撓曲線為半波正弦曲線。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案17需要指出的是，盡管上面得到了A=d，但因?yàn)闂U在任意微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)d為不確定的值，故不能說未知量A已確定。事實(shí)上，在推導(dǎo)任何桿端約

11、束情況的細(xì)長中心壓桿歐拉臨界力時(shí)，撓曲線近似微分方程的通解中，凡與桿的彎曲程度相關(guān)的未知量總是不確定的。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案18 思考：思考： 在上述推導(dǎo)中若取kl2p，試問相應(yīng)的臨界力是取klp時(shí)的多少倍？該臨界力所對應(yīng)的撓曲線方程和撓曲線形狀又是怎樣的？第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案199-3 不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界力的不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界力的 歐拉公式歐拉公式壓桿的長度因數(shù)壓桿的長度因數(shù) 現(xiàn)在通過二個(gè)例題來推導(dǎo)另一些桿端約束條件下求細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式。第九章第九

12、章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案20 例題例題9- -1 試推導(dǎo)下端固定、上端自由的等直細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求壓桿相應(yīng)的撓曲線方程。圖中xy平面為桿的彎曲剛度最小的平面，亦即桿最容易發(fā)生彎曲的平面。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案21 解：解：根據(jù)該壓桿失穩(wěn)后符合桿端約束條件的撓曲線的大致形狀可知，任意x橫截面上的彎矩為 wFxMdcr桿的撓曲線近似微分方程則為wFwEI dcr這里，等號右邊取正號是因?yàn)閷?yīng)于正值的(d -w)， 亦為正。將上式改寫為 xyxwddddd EIFwEIFwcrcr第九章第

13、九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案22并令 有EIFkcr2d22kwkw 此微分方程的通解為dkxBkxAwcossin從而亦有kxBkkxAkwsincos 根據(jù)邊界條件x=0，w =0得Ak=0；注意到 不會等于零，故知A0，從而有wBcoskx+d。再利用邊界條件x=0，w=0得B=-d。于是此壓桿的撓曲線方程成為EIFkcr第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a) cos1kxwd材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案23至此仍未得到可以確定隱含F(xiàn)cr的未知量k的條件。為此，利用 x = l 時(shí) w = d 這一關(guān)系，從而得出從式(a)可知d不可

14、能等于零，否則w將恒等于零，故上式中只能coskl = 0。滿足此條件的kl的最小值為kl = p/2，亦即 從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：2crlEIF 2222cr24lEIlEIF(b)klcos1dd0cos kld亦即第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案24 以 kl = p/2 亦即 k = p/(2l)代入式(a)便得到此壓桿對應(yīng)于式(b)所示臨界力的撓曲線方程：lxw2cos1d第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案25 例題例題9-2 試推導(dǎo)下端固定、上端鉸支的等直細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式，

15、并求該壓桿相應(yīng)的撓曲線方程。圖(a)中的xy平面為桿的最小彎曲剛度平面。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案26 解：解：1. 在推導(dǎo)臨界力公式時(shí)需要注意，在符合桿端約束條件的微彎狀態(tài)下，支座處除軸向約束力外還有無橫向約束力和約束力偶矩。 在推導(dǎo)臨界力公式時(shí)這是很重要的一步，如果在這一步中發(fā)生錯(cuò)誤，那么得到的結(jié)果將必定是錯(cuò)誤的。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b) 圖b示出了該壓桿可能的微彎狀態(tài)，與此相對應(yīng)，B處應(yīng)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的約束力偶矩MB，并且根據(jù)整個(gè)桿的平衡條件MB 0可知，桿的上端必有向右的水平約束力Fy；從而亦知桿的下端有向左的水平約束力

16、Fy 。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案272. 桿的任意x截面上的彎矩為 xlFwFxMycr從而有撓曲線近似微分方程：crxlFwFwEIy 上式等號右邊的負(fù)號是因?yàn)閷?yīng)于正值的w， 為負(fù)而加的。 xyxwdddd第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案28令 k2=Fcr /EI，將上式改寫為xlEIFwkwy 2亦即xlFFkwkwy cr22第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定此微分方程的通解為(a) cossincrxlFFkxBkxAwy從而亦有(b) sincoscrFFkxBkkxAkwy式中共有四個(gè)未知量：A，B，k，F(xiàn)y。

17、材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案29 對于此桿共有三個(gè)邊界條件。由邊界條件x=0，w =0 得 A=Fy /(kFcr)。又由邊界條件x=0，w=0 得 B=-Fy l /Fcr。將以上A和B的表達(dá)式代入式(a)有(c) cossin1crxlkxlkxkFFwy第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)再利用邊界條件x=l，w=0，由上式得0cossin1crkllklkFFy材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案30由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等于零，故由上式得 滿足此條件的最小非零解為kl=4.49，亦即 ，從而得到此壓桿求臨界力的歐拉公式：49. 4crlE

18、IF2222cr7 . 049. 4lEIlEIF0cossin1kllklkklkl tan亦即第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案31 3. 將 kl = 4.49，亦即 k = 4.49/l 代入式(c)即得此壓桿對應(yīng)于上列臨界力的撓曲線方程：lxkxkxFlFwy1cos49. 4sincr利用此方程還可以進(jìn)一步求得該壓桿在上列臨界力作用下?lián)锨€上的拐點(diǎn)在 x = 0.3l 處(圖b)。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案32壓桿的長度因數(shù)和相當(dāng)長度第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué)

19、 電電 子子 教教 案案33 表9-1中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細(xì)長中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見，桿端約束越強(qiáng)，壓桿的臨界力也就越高。表中將求臨界力的歐拉公式寫成了同一的形式：22cr lEIF式中， 稱為壓桿的長度因數(shù)，它與桿端約束情況有關(guān)； l 稱為壓桿的相當(dāng)長度(equivalent length)，它表示某種桿端約束情況下幾何長度為l的壓桿，其臨界力相當(dāng)于長度為 l 的兩端鉸支壓桿的臨界力。表9-1的圖中從幾何意義上標(biāo)出了各種桿端約束情況下的相當(dāng)長度 l。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案34 運(yùn)用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)需

20、要注意： 當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)縱向平面內(nèi)相同時(shí)(例如球形鉸)，歐拉公式中的 I 應(yīng)是桿的橫截面的最小形心主慣性矩 Imin。(1)當(dāng)桿端約束在各個(gè)縱向平面內(nèi)不同時(shí)，歐拉公式中所取用的I應(yīng)與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn))時(shí)的彎曲平面相對應(yīng)。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：xyz軸銷第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案35對應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定，22cr5 . 0lEIFz對應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支，22crlEIFy而取用的臨界力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小者。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定xyz軸銷材材 料料

21、 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案36 思考：思考： 圖a，b所示細(xì)長中心壓桿均與基礎(chǔ)剛性連接，但圖a所示桿的基礎(chǔ)置于彈性地基上，圖b所示桿的基礎(chǔ)則置于剛性地基上。試問兩壓桿的臨界力是否均為 ？為什么？并由此判斷壓桿的長度因數(shù) 是否可能大于2。 2min2cr2lEIF 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案379- -4 歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖. 歐拉公式應(yīng)用范圍 在推導(dǎo)細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式時(shí)，應(yīng)用了材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)的撓曲線近似微分方程，可見歐拉公式只可應(yīng)用于壓桿橫截面上的應(yīng)力不超過材料的比例極限s

22、p的情況。 按照抽象的概念，細(xì)長中心壓桿在臨界力Fcr作用時(shí)可在直線狀態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡，故其時(shí)橫截面上的應(yīng)力可按scrFcr /A來計(jì)算，亦即(a) /222222crcrsEilEAlEIAF第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案38式中，scr稱為臨界應(yīng)力； 為壓桿橫截面對于失穩(wěn)時(shí)繞以轉(zhuǎn)動的形心主慣性軸的慣性半徑；l /i為壓桿的相當(dāng)長度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的長細(xì)比(slenderness)或柔度，記作，即AIi/il 根據(jù)歐拉公式只可應(yīng)用于scrsp的條件，由式(a)知該應(yīng)用條件就是p22crssE亦即 p2sEp 或?qū)懽鞯诰耪碌诰耪?/p>

23、 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案39可見 就是可以應(yīng)用歐拉公式的壓桿最小柔度。對于Q235鋼，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有p2psE100Pa10200Pa10206692p2psE 通常把p的壓桿，亦即能夠應(yīng)用歐拉公式求臨界力Fcr的壓桿，稱為大柔度壓桿或細(xì)長壓桿，而把p的壓桿，亦即不能應(yīng)用歐拉公式的壓桿，稱為小柔度壓桿。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案40 圖中用實(shí)線示出了歐拉公式應(yīng)用范圍內(nèi)(p)的scr -曲線，它是一條雙曲線，稱為歐拉臨界力曲線，簡稱歐拉曲線。需要指出的是，由于實(shí)際壓桿都有初

24、彎曲，偶然偏心和材質(zhì)不勻，所以從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來分析，可以應(yīng)用歐拉公式求臨界力的最小柔度比這里算得的p要大一些。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案41*. 研究小柔度壓桿臨界力的折減彈性模量理論 工程中的絕大部分壓桿為小柔度壓桿，不能應(yīng)用歐拉公式。研究小柔度壓桿（p）臨界應(yīng)力的理論很多，此處介紹的折減彈性模量理論是其中之一。 現(xiàn)先以矩形截面小柔度鋼壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)為例來探討。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案42第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a) 圖a所示為鋼在壓縮時(shí)的se 曲線。 當(dāng)加載過程中應(yīng)力s 超過比例

25、極限時(shí)，材料在某一應(yīng)力水平下的彈性模量可應(yīng)用切線模量Es； 而卸載時(shí)，材料的彈性模量由卸載規(guī)律可知，它與初始加載時(shí)的彈性模量E 相同。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案43(1) 橫截面上應(yīng)力的變化情況 按抽象的概念，小柔度中心壓桿與大柔度中心壓桿一樣，當(dāng)F=Fcr時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡，也可在微彎狀態(tài)下保持平衡。小柔度壓桿在直線狀態(tài)下保持平衡時(shí)其橫截面上的應(yīng)力是均勻的，其值為scr = Fcr/A（圖b）。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案44 當(dāng)壓桿在此應(yīng)力水平下發(fā)生微彎時(shí)，中性軸一側(cè)(圖b中 z 軸右側(cè))橫截面上產(chǎn)生附加拉

26、應(yīng)力，使原有的壓應(yīng)力scr減小，故屬于減載，附加彎曲拉應(yīng)力為st=Ey/r (x)；第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)中性軸另一側(cè)橫截面上產(chǎn)生附加應(yīng)力，使原有的壓應(yīng)力scr 增大，故屬于加載，附加彎曲壓應(yīng)力為sc=Es y/r (x)。因?yàn)镋Es，故微彎時(shí)中性軸不通過橫截面形心，它離左邊緣的距離為h1，離右邊緣的距離為h2。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案45(2) 中性軸的具體位置 根據(jù)壓桿由于微彎產(chǎn)生的正應(yīng)力在橫截面上不應(yīng)組成合力有0dd21tcNAAAAFss即應(yīng)有 0dd21AAAxyEAxyErrs亦即要求0222211hbhEhbhEs第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定

27、(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案46這就要求02221EhhEs注意到h1+h2=h，由上式可解得(a) 21hEEEhhEEEhsss第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案47(3) 橫截面上彎矩M(x)與曲率r(x)的關(guān)系根據(jù) 有AzAyMds 3311 dddd32312122tc2121bhEbhExEIIExAxyAxyEAyAyxMzzAAAAsssrrrrss，第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)上式中，Iz,1=bh13/3和Iz,2=bh23/3都是z軸一側(cè)的矩形對z軸的慣性矩。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子

28、 教教 案案48由上式可得 234121ssrEEEEbhxxM為了表達(dá)方便，用I 來表示bh3/12，于是有 24ssrEEEExIxM為將上式表達(dá)為一般彎曲問題中 的形式，引入折減彈性模量Er： EIxMxr1第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定2r4ssEEEEE(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案49于是有 xIExMrr亦即 IExMxr1r或者說，撓曲線的近似微分方程為 對于非矩形截面的小柔度壓桿，其折減彈性模量可類似于上面所述的方法求得，而撓曲線方程的形式仍如式(c)所示。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 IExMwr (c)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案

29、50(4) 小柔度壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力表達(dá)式 小柔度壓桿的撓曲線近似微分方程(c)與大柔度壓桿的 wM(x)/EI 完全一致，可見對不同桿端約束下各種截面形狀的小柔度壓桿都有如下公式：臨界力2r2cr lIEF臨界應(yīng)力2r22r2cr/sEilE第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案51. 壓桿的臨界應(yīng)力總圖 臨界應(yīng)力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應(yīng)力scr隨柔度 變化的關(guān)系曲線。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 在p的部分，有歐拉公式scr p2E/2表達(dá)scr關(guān)系；但在壓桿柔度很小時(shí)，由于該理論存在的不足，計(jì)算所得scr可能會大于材料的屈服極限ss

30、，故取scr ss。 在p的范圍內(nèi)可利用折減彈性模量理論公式scr p2Er /2表達(dá)scr關(guān)系；材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案52此外，該理論公式中有與截面形狀相關(guān)的折減彈性模量Er，故91，故按下式計(jì)算穩(wěn)定因數(shù)：109. 01602800280022j從而有許可壓力： kN77m3 . 04Pa1010109. 026AFsj材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案68 例題例題9- -5 廠房的鋼柱由兩根槽鋼組成，并由綴板和綴條聯(lián)結(jié)成整體，承受軸向壓力F=270 kN。根據(jù)桿端約束情況，該鋼柱的長度因數(shù)取為1.3。鋼柱長7 m，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力s=17

31、0 MPa。該柱屬于b類截面中心壓桿。由于桿端連接的需要，其同一橫截面上有4個(gè)直徑為d0=30 mm的釘孔。試為該鋼柱選擇槽鋼號碼。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案69解解：1. 按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號碼 為保證此槽鋼組合截面壓桿在xz平面內(nèi)和xy平面內(nèi)具有同樣的穩(wěn)定性，應(yīng)根據(jù)y=z確定兩槽鋼的合理間距h。現(xiàn)先按壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定條件通過試算選擇槽鋼號碼。假設(shè)j0.50，得到壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力為 MPa85MPa17050. 0stsjs因而按穩(wěn)定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為 2463stm109 .15Pa10852/N102702/sFA第

32、九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案70由型鋼表查得，14a號槽鋼的橫截面面積為 A =18.51 cm218.5110-4 m2，而它對z軸的慣性半徑為iz=5.52 cm=55.2 mm。 下面來檢查采用兩根14a號槽鋼的組合截面柱其穩(wěn)定因數(shù)j 是否不小于假設(shè)的j 0.5。165m102 .55m73 . 13zil第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 注意到此組合截面對于z 軸的慣性矩 Iz 和面積 A 都是單根槽鋼的兩倍，故組合截面的iz 值就等于單根槽鋼的iz 值。于是有該組合截面壓桿的柔度：材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案71由表9-3

33、查得，Q235鋼b類截面中心壓桿相應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)為j0.262。顯然，前面假設(shè)的j0.5這個(gè)值過大，需重新假設(shè)j 值再來試算；重新假設(shè)的j 值大致上取以前面假設(shè)的j0.5和所得的j0.262的平均值為基礎(chǔ)稍偏于所得j 的值。重新假設(shè)j0.35，于是有 MPa5 .59MPa17035. 0stsjs 2463stm107 .22Pa105 .59N101352/sFA第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案72試選16號槽鋼，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，從而有組合截面壓桿的柔度：第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定2 .149m1061m73

34、 . 13由表9-3得j 0.311，它略小于假設(shè)的j0.35。現(xiàn)按采用2根16號槽鋼的組合截面柱而j0.311進(jìn)行穩(wěn)定性校核。此時(shí)穩(wěn)定許用應(yīng)力為 MPa9 .52MPa170311. 0stsjs按橫截面毛面積算得的工作應(yīng)力為MPa7 .53m1015.25N101352/243AFs材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案73雖然工作應(yīng)力超過了穩(wěn)定許用應(yīng)力，但僅超過1.5，這是允許的。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定2. 計(jì)算鋼柱兩槽鋼的合理間距 由于認(rèn)為此鋼柱的桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同，故要求組合截面的柔度y=z。 根據(jù) 可知，也就是要求組合截面的慣性矩Iy = Iz。AIlil材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案74如果z0，Iy0，Iz0，A0分別代表單根槽鋼的形心位置和自身的形心主慣性矩以及橫截面面積則IyIz的條件可表達(dá)為20022200hzAIIyz亦即20202022200hziAiAyz第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定消去公因子2A0后有2022200hziiyz在選用16號槽鋼的情況下，上式為2222mm5 .17mm2 .18mm61h材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案75由此求得 h81.4 mm。實(shí)際采用的間距h不應(yīng)小于此值。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定3