高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)

1、 一一 二重積分的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)二重積分的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì) 二二 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算一、問題的提出一、問題的提出二、二重積分的概念二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié)柱體體積柱體體積 = = 底面積底面積 高高特點(diǎn)：平頂特點(diǎn)：平頂. .柱體體積柱體體積 = = ？特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂. .),(yxfz d曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積曲頂柱體曲頂柱體回憶定積分回憶定積分. 設(shè)一元函數(shù)設(shè)一元函數(shù) y = f (x) 在在a, b可積可積. niiibaxfxxf10)(limd)(則則.d)(,0)(面積在幾何上表示曲邊梯形時(shí)當(dāng)baxxfxf如圖如圖0

2、xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中其中 i xi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小區(qū)表小區(qū)間間xi, xi+1的長(zhǎng)的長(zhǎng), f ( i) xi表示小矩形的面積表示小矩形的面積.求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “ “分割、求和、取極分割、求和、取極限限”的方法的方法求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “ “分割、求和、取極分割、求和、取極限限”的方法的方法求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “ “分割、求和、取極分割、求和、取極限限”的方法的方法求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “ “分割、求和、取極分割、求和、取極限限”的方法

3、的方法求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “ “分割、求和、取極分割、求和、取極限限”的方法的方法設(shè)有一立體. 其底面是 xy 面上的區(qū)域d, 其側(cè)面為母線平行于 z 軸的柱面, 其頂是曲面 z= f (x, y)0, 連續(xù). 稱為曲頂柱體.若立體的頂是平行于 xy 面的平面. 則平頂柱體的體積 = 底面積高.0yzxz = f (x,y)d如圖 一、例(i)用曲線將d分成 n 個(gè)小區(qū)域 d1, d2, dn , 每個(gè)小區(qū)域di 都對(duì)應(yīng)著一個(gè)小曲頂柱體.如圖z = f (x,y)0yzxz = f (x,y)ddidi(ii)由于由于di很小很小, z = f (x,y)連續(xù)連續(xù), 小曲

4、頂柱體小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體可近似看作小平頂柱體. ( i , i) di .小平頂柱體的高小平頂柱體的高 = f ( i , i).若記若記 i = di的面積的面積. 則小平頂柱體的體積則小平頂柱體的體積 = f ( i , i) i 小小曲頂柱體體積曲頂柱體體積 f ( i , i) ( i , i)diz = f (x,y)(iii)因此因此, 大曲頂柱體的體積大曲頂柱體的體積niiiifv1),(分割得越細(xì)分割得越細(xì), 則右端的近似值越接近于精則右端的近似值越接近于精確值確值v, 若分割得若分割得無限細(xì)無限細(xì), 則右端近似值則右端近似值會(huì)無限接近于精確值會(huì)無限接近于精確值v.

5、 1lim( ,)niiiif niiiifv1),(lim若若存在存在則則(iv) ,max 1的直徑記inid其中其中di的直徑是指的直徑是指di中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離.,),(lim 10niiiifv則其中其中 ( i , i) di , i = di 的面積的面積.xydi如圖如圖xzyod),(yxfz i ),(ii 求曲頂柱體體積的方法：求曲頂柱體體積的方法：分割、取近似、分割、取近似、求和、取極限。求和、取極限。步驟如下：步驟如下：xzyod),(yxfz 1. 分割分割d 任意分成任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域1 ， ,2 ，,n 其中其中 i 表

6、示表示 第第 i 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面?zhèn)€小閉區(qū)域，也表示它的面 積。對(duì)應(yīng)的小曲頂柱體體積為積。對(duì)應(yīng)的小曲頂柱體體積為.iv 2. 取近似取近似在在每每個(gè)個(gè) i 上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn) ),(ii ，),(iiifv i . . 3. 求和求和.),(1iiniifv 4. 取極限取極限.),(lim10iiniifv ,max11n i ),(ii 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點(diǎn)點(diǎn) ),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連 續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？ 求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)

7、量將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniim xyoi ),(ii 定定義義 設(shè)設(shè)),(yxf是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域 d 上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)，將將閉閉區(qū)區(qū)域域 d 任任意意分分成成 n 個(gè)個(gè)小小閉閉區(qū)區(qū)域域1 ，,2 ，,n 其其中中 i 表表示示第第 i 個(gè)個(gè)小小閉閉區(qū)區(qū)域域，也也表表示示它它的的面面積積，在在每每 個(gè)個(gè) i 上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn) ),(ii ，作作乘乘積積 ),(iif i ， ), 2 , 1(n

8、i ，并并作作和和 iiniif ),(1， niiiidfdyxf10 ),( lim ),( dyxf ),(1) 在在二二重重積積分分的的定定義義中中， 對(duì)對(duì)閉閉區(qū)區(qū)域域的的劃劃分分是是任任意意的的. . ( (3 3) ) 當(dāng)當(dāng)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定定義義中中和和式式的的極極 限限必必存存在在，即即二二重重積積分分必必存存在在. . 對(duì)二重積分定義的對(duì)二重積分定義的說明說明：(2) 二二重重積積分分值值僅僅與與),(yxf及及 d 有有關(guān)關(guān)， 與與積積分分變變量量符符 號(hào)號(hào)無無關(guān)關(guān)，即即 dddvufdyxf ),(),(二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，

9、二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值xzyod),(yxfz i ),(ii xzyo),(yxfz di ),(ii 在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域d， dddxdyyxfdyxf),(),( dxdyd 故二重積分可寫為則面積元素為xyodxdy性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) k 為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)時(shí)，.),(),( dddyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）性質(zhì)性質(zhì)對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 ddddyxfd

10、yxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為d的面積，的面積，.1 dddd 性質(zhì)性質(zhì)若在若在d上上),(),(yxgyxf .),(),( dddyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( dddyxfdyxf )(21ddd 則有則有設(shè)設(shè)m、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 d 上上的的最最大大 值值和和最最小小值值， 為為 d 的的面面積積，則則 性質(zhì)性質(zhì)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域d上上連連續(xù)續(xù)， 為為d的的面面 積積，則則在在d上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)),( 使使得得 性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） dmdyxfm ),( ),(),(fdyxfd

11、（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）例例 1 1 不作計(jì)算，估計(jì)不作計(jì)算，估計(jì) deidyx )(22的值，其中的值，其中 d是橢圓閉區(qū)域：是橢圓閉區(qū)域： 12222 byax. . )0(ab . . 在在d上上 2220ayx , , ,12220ayxeee ,222)(adyxede 解解 dedyx)(22 ab.2aeab 區(qū)區(qū)域域 d的的面面積積 ab , , 因此，因此，由性質(zhì)由性質(zhì)6知知即即二重積分的定義二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）（積分和式的極限）（積分和式的極限）思考題思考題將二

12、重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處它們的相同之處與不同之處. .定積分與二重積分定積分與二重積分相同之處相同之處：都表示某種和式都表示某種和式 的極限值，且此值只與被積函數(shù)及的極限值，且此值只與被積函數(shù)及 積分區(qū)域有關(guān)積分區(qū)域有關(guān)不同不同的是的是: : 定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函 數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù); ; 二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域， 被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二 元函數(shù)元函數(shù)思考題解答思考題解答利

13、用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分先討論積分區(qū)域?yàn)椋合扔懻摲e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù). .)(1x )(2x ,bax型型xyoab)(1xy )(2xy xyoab)(1xy )(2xy x 型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y 軸的直線與區(qū)域軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn). .zyxo為為底底，的的值值等等于于以以 ddyxfd ),(21( )( )( )( , ).xxa xf x y dy. 0),( yxf假假定定為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積以曲

14、面以曲面),(yxfz )(2xy )(1xy ),(yxfz )(xaxbaxd x( )dva x dx( , )df x y d bavdv ( )baa x dx21( )( ) ( , )bxaxf x y dydx積分區(qū)域?yàn)椋悍e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx x型型.),( ),()()(21 dbaxxdxdyyxfdyxf 一般地，一般地，21( )( ) ( , )bxaxdxf x y dy- 先對(duì)先對(duì) y 積分，后對(duì)積分，后對(duì) x 積分的二次積分積分的二次積分.),( ),()()(21dydxyxfdyxfddcyy 如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋?dyc

15、 ).()(21yxy y型型xyocd)(1yx )(2yx xyocd)(1yx )(2yx dcyydxyxfdy)( )(21),( - 先對(duì)先對(duì) x 積分，后對(duì)積分，后對(duì) y 積分的二次積分積分的二次積分1. 若若d既是既是 x型區(qū)域型區(qū)域, 又是又是 y型區(qū)域型區(qū)域. 比如比如x0yx0yx0ydcyxyxbaxyxydxyxfdydyyxfdx)()()()(2121),(),(ddyxf),(當(dāng)用某次序算二重積分不好算時(shí)當(dāng)用某次序算二重積分不好算時(shí), 可改換積分次可改換積分次序序, 可能好算可能好算.則既可先對(duì)則既可先對(duì) x 積分積分, 又可先對(duì)又可先對(duì) y 積分積分.等等等等

16、,此時(shí)此時(shí),2.（1）如果積分區(qū)域是矩形）如果積分區(qū)域是矩形dycbxa,ddyxf),(dcbadyyxfdx),(badcdxyxfdy),(（2）如果被積函數(shù)）如果被積函數(shù) f (x, y) = f1(x)f2(y),且積分區(qū)域是矩且積分區(qū)域是矩 形區(qū)域，形區(qū)域，則則.)()(),(21dcbaddyyfdxxfdyxf 設(shè)d：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)f2(y)可積，則.)()(),(21dcbaddyyfdxxfdyxfyx0dcabddyxf),(:證ddxdyyfxf)()(21dcbadyyfxfdx)()(21badcdxdyyfxf)()(

17、21.)()(12badcdxxfdyyf比如，比如，.32103210dyexdxdyxedxyy.sin2sin101020rdrrrdrrd若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3d2d1d在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式用積分公式.),(),(),(),(321 dddddyxfdyxfdyxfdyxf 則必須分割則必須分割. .3. 4.設(shè)設(shè)d: y1(x) y y2(x), a x b, 為為 x 型區(qū)域型區(qū)域.其中其中y2(x)為分段函數(shù)為分段函數(shù). 如圖如圖則則baxyxyddyyxfdxdyxf)()(21),(),(由于由于y2(x)是分段函數(shù)是分段函數(shù),

18、里里層積分上限無法確定用層積分上限無法確定用哪一個(gè)表達(dá)式哪一個(gè)表達(dá)式. 故應(yīng)將故應(yīng)將d分成分成d1, d2, 分塊積分分塊積分.xy0d1d2y = 1(x)y = 2(x)ab例例1 將將dxdyyxf ),(d 化為二次積分?；癁槎畏e分。其中其中 d 由直線由直線4 , 2 , 2 , yyxyxy圍成。圍成。xyo24624xy 2 xy解解 1： 先畫出積分區(qū)域先畫出積分區(qū)域 d 。d 是是 y型。型。24 . 42, 2 :yyxyd于是，于是， dxdyyxf ),(ddxyxfyy ),(2 42 dyxyo24624xy 2 xy解解 2：26.21ddd 于是，于是，dxd

19、yyxfdxdyyxfdxdyyxf ),( ),( ),(21ddd dyyxfx ),(2 42 dx41d2d .2, 42 :1xyxd . 42, 64 :2yxxddyyxfx ),(42 64 dx例例2 計(jì)算計(jì)算 dxy d 其中其中 d 由直線由直線2 ,1 , xyxy圍成。圍成。xyo1212xy 1 y2 x解解 先畫出積分區(qū)域先畫出積分區(qū)域 d 。d 是是 x型。型。 .1, 21 :xyxd于是，于是， dxy d dyxyx 1 21 dx12xyx122 21 dx321 22xxdx212448 xx.89 于是，于是， dxy d dyxyx 1 21 dx

20、解解 作作d的的圖圖形形( (見見下下圖圖) ). .先先對(duì)對(duì) y積積分分( (固固定定 x) ), , y的的變變化化范范圍圍由由 0到到 21x, ,然然后后再再在在 x的的最最大大變變化化范范圍圍 0 0, ,1 1 內(nèi)內(nèi)對(duì)對(duì) x積積分分，于于是是得得到到 o y x d 1 1 x dyxxydd21100ddxxxy y2411200111(1)d().22248xxxxx本本題題若若先先對(duì)對(duì)x積積分分，解解法法類類似似. . 例例3解解積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)?.10, 10 :xyxdxyo11xy 1 . 10,10 :yyxd xdyyxfdx1010 ),( 于是，于是， d)

21、,( dyxf. ),( 1010 ydxyxfdy解解 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2設(shè)設(shè) 21dd),(),( dyxfdyxf .20, 10 :21xxyxd .20, 21 :2xyxd則則xyo1211dxy 22d 102112),(yydxyxfdy. 于是，于是，xyo1211dxy 22d設(shè)設(shè)21ddd . 10,211 :2yyxyd dyxf ),(d 原式原式xyo121d解解求求兩兩曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn) ),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42

22、102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx ., 10 :2xyxxd解解 畫畫d的圖形的圖形( (見下圖見下圖).).選擇先對(duì)選擇先對(duì) x積分積分, ,這這時(shí)時(shí) d的表示式為的表示式為 2122yyxy, , 從而從而dyxxydd22= =21222d2dyyxxyy yyyyyyxyyyd )44(d| )(216234221222 = =356157345127345yyyy. . o y x d 2 y x 2 y x 1 2 ) 1 , 1 ( a ) 2 , 4 ( b 因因?yàn)闉?dyey2無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示 解解因因此此，積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮

23、次次序序。 dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e . 10,0:yyxd 例例9.9. 求求.sin110ydxxxdy解：解：由于由于1sinydxxx是是“積不出積不出”的，怎么辦？的，怎么辦？要改換積分次序要改換積分次序. 先畫積分區(qū)域先畫積分區(qū)域d的圖形的圖形.由積分表達(dá)式知，由積分表達(dá)式知，d： y x 1, 0 y 1畫曲線畫曲線 x=y 和和 x=1，直線，直線y=0, y=1.如圖：如圖：故故 原式原式 =ddxdyxxsinxdyxxdx010sin10sinxdxxx10sindxx1cos1cos1

24、0 xyx0dy = x由例由例8，例，例9知，選擇適當(dāng)?shù)姆e分順序，知，選擇適當(dāng)?shù)姆e分順序，有時(shí)能使積分變得簡(jiǎn)便，易行。在作題時(shí)，有時(shí)能使積分變得簡(jiǎn)便，易行。在作題時(shí)，當(dāng)按某一順序積分很難，或不可行時(shí)，可當(dāng)按某一順序積分很難，或不可行時(shí)，可改換積分順序試一試。改換積分順序試一試。1.1.,)(2圍成和由其中求xyxyddyxdxy0y=xy=x2x解解: : 先畫區(qū)域先畫區(qū)域d的圖形的圖形.法法1. 先對(duì)先對(duì)y積分積分.102)()(xxddyyxdxdyxdxyxyxx210221dxxxx104322123203101416310543xxxxy0y=xy=x211法法2. 先對(duì) x 積分

25、.y10)()(yyddxyxdydxdyyx10221dyyxxyy102232321dyyyy203635241103252yyy 2. 2. .0, 2,2第一象限的區(qū)域圍成的和由其中求yxyxydxydxdyd解解: : 先畫d的圖形.先對(duì) x 積分. 102yydxydxdyxydxdyxy0y=x+2y=x2112所以, 原式 = 102yyxydxdy102221dyxyyy102)2(21dyyyy247問問, 若先對(duì)若先對(duì) y 積分積分, 情形怎樣情形怎樣?xy0y=x+2y=x21123. 改換.),(2140的積分順序xxdyyxfdx解：寫出d的表達(dá)式，. 40,21:

26、xxyxd畫 d 的圖形改為先對(duì)x再對(duì)y的積分xxdyyxfdx2140),(yydxyxfdy2202),(yx0dxy21xy 24一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分二、小結(jié)二、小結(jié). drdrd ddxdyyxf),(一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分面積元素面積元素. drdrdxdy 或或i i ii iirrr aodirr .)sin,cos( drdrdrrf . )sin ,cos()()(21 drrrrfd drdrdrrf )sin ,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖

27、, ).()(21 rado )(2 r)(1 r ddxdyyxf),(d：區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r )(2 r)(1 raodd. )sin ,cos()()(21 drrrrfd drdrdrrf )sin ,cos( ddxdyyxf),(d：. )sin ,cos()(0 drrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r)( r aod d： ddxdyyxf),( drdrdrrf )sin ,cos(. )sin ,cos()(020 drrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積面積.

28、drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 r,20 da)( ro ddxdyyxf),( drdrdrrf )sin ,cos(例例1 將將 d ),( dyxf化為在極坐標(biāo)系下的二次積分?；癁樵跇O坐標(biāo)系下的二次積分。1）xyo22422 yxxyo4xyx422 4）d2）xyo222 422 yxdxyo222 2 422 yx3）dd1）xyo22422 yx解解d在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為. 20 r,20 ao22 r d ),( dyxf ddrdrrrf )sin ,cos(. )

29、sin ,cos(2020 drrrrfd 2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為. 20 r,0 xyo222 422 yxd2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為. 20 r,0 d ),( dyxf ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(200 drrrrfd ao22 r3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為. 20 r,20 xyo222 2 422 yxd d ),( dyxf. )sin ,cos(2020 drrrrfd ao22 r3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域

30、d 可表示為可表示為. 20 r,20 d ddrdrrrf )sin ,cos(4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為.cos40 r,22 xyo4xyx422 dao2 cos4 r4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為.cos40 r,22 d ),( dyxf ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(cos4022 drrrrfd2 2 例例 2 2 寫寫出出積積分分 ddxdyyxf),( 的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式， 其其中中 ,11| ),(2xyxyxd 10 x. . 1 yx122 y

31、x解解在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r, , 直直線線方方程程為為 cossin1 r, , ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd drdrdrrf )sin,cos(例例 3 3 計(jì)計(jì)算算dxdyedyx 22，其其中中 d 是是由由中中心心在在原原點(diǎn)點(diǎn)， 半半徑徑為為a的的圓圓周周所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 解解在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下 d：ar 0， 20 . dxdyedyx 22 arrdred0202 ).1(2ae aoaar sincosryrx drdredr 2 arrded02

32、20)(212 20 0 221dear例例4.4. 求求,122ddxdyyx其中其中d：x2+y2 1解：解：一般一般, 若若d的表達(dá)式中含有的表達(dá)式中含有x2+y2時(shí)，可考慮用時(shí)，可考慮用極坐標(biāo)積分。極坐標(biāo)積分。0 xyx2+y2 1令令x=rcos , y=rsin , 則則x2+y2 1的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為r = 1.由由(2)d*: 0 r 1, 0 2 ddxdyyx22110222220sincos1rdrrrd102201rdrrd )(12121022rdr10232)1 (32r32另由幾何意義：另由幾何意義：32)(21122單位球體積ddyx解解32 sin4

33、 r sin2 rdxdyyxd)(22 yyx422 yyx222 03 xy sincosryrx rdrdrd 26 3 61 03 yx sin4 r sin2 rdxdyyxd)(22 36sin4sin22 rdrrd).834(15 rdrdrd 2 36sin4sin244 dr 364 sin60 d 362 22cos1 15 d6 3 sin4 r sin2 r例例 6 6 將將二二重重積積分分dyxfd),(化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的累累次次積積分分，其其中中d: :22yx yrx,2 0. . 解解 畫畫出出d的的圖圖形形( (見見下下圖圖) ), , d可可

34、表表示示為為 02, ,0 rcos2r, , y x o d cos 2 r r r 2 于于是是得得到到 dyxfd),(cos2020d)sin,cos(drrrrrf. . 例例 7 7 計(jì)計(jì)算算dyxxdd2, ,其其中中d是是兩兩圓圓122 yx和和422 yx之之間間的的環(huán)環(huán)形形區(qū)區(qū)域域. . 解解 作作d的圖形的圖形( (見下圖見下圖),),選用極坐標(biāo)， 它可表示選用極坐標(biāo)， 它可表示為為 1r2, ,02 于是于是 dyxxdd2213202221220ddcosdcosdrrrrr = =20213415dd22cos1rr. . 2 y x 1 o 二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)

35、算公式二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二、小結(jié)二、小結(jié) ddrdrdrrfdyxf )sin,cos(),(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 5 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1, 1),(,) 1 (2222yxyxyxddxdyyxyxid22)sin(cos1sincos122022rdrrrddxdyyxyxid222)(),(,)2(22ayxyxddxdyeidyx,)3(22ddyxid：由：由 所圍成區(qū)域（第一象限部分）所圍成區(qū)域（第一象限部分） 0, 222yxy

36、yx622024022drrddyxid)1 (2222020)(aardyxerdreddxdyei42),(,)4(2222yxxyxddxdyyxid)32(316cos202222022022drrddrrddxdyyxidxyyxyxddxdyxyarctgid0 , 41),(,)5(2222140643cossinrdrrrarctgddxdyxyarctgid222(6),( ,)dixy dxdydx yxya2004cossin12daixy dxdydrrrdra二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積xzyod),(yxfz .),( ddyxfv 例

37、例1 計(jì)算由曲面計(jì)算由曲面2241yxz 及及 xoy 面所圍的立體面所圍的立體體積。體積。xyzo1121xyzo1121解解設(shè)立體在設(shè)立體在第一卦限上第一卦限上的體積為的體積為 v1。由立體的對(duì)稱性，所求立由立體的對(duì)稱性，所求立體體積體體積 v = 4v1 。121xyo241xy d立體在第一卦限部分可以看立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為頂為,4122yxz .410,210:2xyxd121xyo241xy d立體在第一卦限部分可以看立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為頂為,4122yxz 它的底為它的底為于是，于是， dyxvd )41(221 dyyxdxx 241022210 )41( 2104103223)41( dxyyxx 2104103223)41( dxyyxx 210232)41(32dxxtxsin21 令令x