重復(fù)測量設(shè)計資料的方差分析

1、第十一章 多因素試驗的方差分析第一節(jié) 析因設(shè)計的方差分析(綱要復(fù)習(xí))1212aibj , , , , ,i kijjaaabbxb因素 水平因素 水平試驗數(shù)據(jù):模模 式式處理組數(shù)：g=ij，每組n個試驗對象試驗數(shù)據(jù)xijki=1,2, , ij =1,2, , jk=1,2, ,n試驗數(shù)據(jù)共gn個 b1 b2 bj 合計 a 1 a 2 22122222() ijijnxxt xx ()iia x a i 合計 ()jjbx x 方差分析基本思想方差分析基本思想 babssssssssssssss處理總誤差a誤差變異分解變異分解*原理：原理：)()()()()(xxxxxxxxxxxxxxxx

2、jiijjiijijijkijijk兩邊平方后求和兩邊平方后求和baba總誤差自由度分解自由度分解(1)(1)(1)(1)(1)(1)gnijijg n變異來源 自由度 ss ms f p 總變異 1gn 2xc a主效應(yīng) 1i 21aissacnj ams aaemsfms b主效應(yīng) 1j 21bissbcni bms bbemsfms ab (1)(1)ij 21abiabsstcssssn abms ababemsfms 誤差 (1)g n 221eissxtn ems 表11-6 完全隨機設(shè)計兩因素析因設(shè)計方差分析表 例 12-2 觀察 a,b 兩種鎮(zhèn)痛藥物聯(lián)合運用在產(chǎn)婦分娩時的鎮(zhèn)痛效

3、果。 a藥取3個劑量： 1.0mg， 2.5mg，5.0mg；b 藥也取3 個劑量：5 g，15 g，30 g。共 9個處理組。將 27 名產(chǎn)婦隨機等分為 9 組，每組 3 名產(chǎn)婦，記錄每名產(chǎn)婦分娩時的鎮(zhèn)痛時間，結(jié)果見表11-7。試分析 a,b 兩藥聯(lián)合運用的鎮(zhèn)痛效果。 表表11-7 a,b兩藥聯(lián)合運用的鎮(zhèn)痛時間（兩藥聯(lián)合運用的鎮(zhèn)痛時間（min）b 藥 物 劑 量 a 藥 物 劑 量 5g 15g 30g 105 115 75 1.0 mg 80 105 95 65 80 85 75 125 135 2.5 mg 115 130 120 80 90 150 85 65 5.0 mg 120 1

4、20 190 125 100 160 變異來源 自由度 ss ms f p 總變異 26 28450.000 a 藥主效應(yīng) 2 6572.222 3286.111 8.47 0.01 b藥主效應(yīng) 2 7022.222 3511.111 9.05 0.01 a 藥b藥 4 7872.222 1968.056 5.07 0.01 誤 差 18 6983.333 387.963 表11-9 a、b兩藥聯(lián)合運用的鎮(zhèn)痛時間的方差分析表 （2）將表11-8計算結(jié)果代入表11-6，得方差分析表,見表11-9。 重復(fù)測量設(shè)計的方差分析anova of repeated measurement data 第十二

5、章content data characteristic analysis of two factors and two levels analysis of two factors and several levels familiar errors 第一節(jié) 重復(fù)測量資料的數(shù)據(jù)特征目的目的：推斷處理、時間、處理時間作用于試 驗對象的試驗指標的作用。資料特征資料特征： 處理因素 g （1 ）個水平，每個水平有n個試驗對象，共計 gn個試驗對象。 時間因素 同一試驗對象在m（2 ）個時 點獲得m個測量值，共計gnm個測量值。方法方法：方差分析 一、前后測量設(shè)計 最為常見，是重復(fù)測量設(shè)計的特例，亦

6、稱單組前后測量設(shè)計，即g=1, m=2, 如表12-1。編 號 治療前 治療后 差值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 130 124 136 128 122 118 116 138 126 124 114 110 126 116 102 100 98 122 108 106 16 14 10 12 20 18 18 16 18 18 x 126.2 110.2 16.0 s 7.08 9.31 3.13 表12-1 高血壓患者治療前后的舒張壓（mmhg） 編 號 哥特里羅紫法 脂肪酸水解法 差值 d 1 0.840 0.580 0.260 2 0.591 0.509 0.082 3

7、0.674 0.500 0.174 4 0.632 0.316 0.316 5 0.687 0.337 0.350 6 0.978 0.517 0.461 7 0.750 0.454 0.296 8 0.730 0.512 0.218 9 1.200 0.997 0.203 10 0.870 0.506 0.364 表表3-3 兩種方法對乳酸飲料中脂肪含量的測定結(jié)果兩種方法對乳酸飲料中脂肪含量的測定結(jié)果(%) 比較 1.配對設(shè)計中同一對子的兩個實驗單位可以隨機分配處理，兩個實驗單位同期觀察試驗結(jié)果，可以比較處理組間差別。 前后測量設(shè)計不能同期觀察試驗結(jié)果不能同期觀察試驗結(jié)果，雖然可以在前后測量

8、之間安排處理，但本質(zhì)上比較的是前后差別，推論處理是否有效是有條件的，即假定測量時間對觀察結(jié)果沒有影響假定測量時間對觀察結(jié)果沒有影響。 與配對設(shè)計設(shè)計的區(qū)別 2. 配對 t 檢驗要求同一對子的兩個實驗單位的觀察結(jié)果分別與差值相互獨立，差值服從正態(tài)分布。 前后測量設(shè)計前后兩次觀察結(jié)果通常與差值不獨立，大多數(shù)情況第一次觀察結(jié)果與差值存在負相關(guān)的關(guān)系，如表12-1中，治療前舒張壓與差值的相關(guān)系數(shù)為-0.602。 如由表 12-1 計算，治療前后舒張壓的相關(guān)系數(shù)為 0.963,p0.01，用治療前舒張壓()x推論治療后舒張壓( )y的回歸方程為：49.5341.266yx ，截距檢驗 p=0.014，回

9、歸系數(shù)檢驗0.01p 。 3. 配對設(shè)計用平均差值推論處理的作用，而前后測量設(shè)計除了分析平均差值外，還可進行相關(guān)回歸分析。 區(qū)別點 配對設(shè)計 單組前后測量設(shè)計 兩實驗單位 可隨機分配 n 觀測時間 同期 兩時間點 試驗數(shù)據(jù)與差值關(guān)系 獨立 n 分析指標 平均差值 平均差值、相關(guān)回歸 推斷 組間差別 前后差別 單組前后測量設(shè)計與配對設(shè)計的區(qū)別區(qū)別 二、設(shè)立對照的前后測量設(shè)計表 12-1 中高血壓患者治療后的舒張壓平均下 降 了16 mmhg ， 雖 然 經(jīng) 配 對t 檢 驗 ： 16.18, 0.01tp，也未必能說明治療有效，因為住院休息、環(huán)境和情緒的改變同樣可以使血壓恢復(fù)平穩(wěn)。因此，確確定定

10、療療效效的的前前后后測測量量設(shè)設(shè)計計必必須須增增加加平平行行對對照照，如將 20 位輕度高血壓患者隨機分配到處理組和對照組，試驗結(jié)果見表 12-2。 表12-2 高血壓患者治療前后的舒張壓（mmhg） 處 理 組 對 照 組 順序號 治療前 治療后 差值 ( )d 順序號 治療前 治療后 差值 ( )d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 130 124 136 128 122 118 116 138 126 124 114 110 126 116 102 100 98 122 108 106 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 118 132 134 114 1

11、18 128 118 132 120 134 124 122 132 96 124 118 116 122 124 128 合 計 1262 1102 合 計 1248 1206 均 數(shù) 126.2 110.2 16.0 均 數(shù) 124.8 120.6 4.2 標準差 7.08 9.31 3.13 標準差 7.90 9.75 8.02 經(jīng)檢驗處理組與對照組的差值 d 方差不齊（2212/6.58fss， 0.01p） ，不符合兩均數(shù)比較 t 檢驗的前提條件。 三、重復(fù)測量設(shè)計 當前后測量設(shè)計的重復(fù)測量次數(shù)m3時，稱重復(fù)測量設(shè)計或重復(fù)測量數(shù)據(jù)。 放 置 時 間 （分） 編 號 0 45 90 1

12、35 1 5.32 5.32 4.98 4.65 2 5.32 5.26 4.93 4.70 3 5.94 5.88 5.43 5.04 4 5.49 5.43 5.32 5.04 5 5.71 5.49 5.43 4.93 6 6.27 6.27 5.66 5.26 7 5.88 5.77 5.43 4.93 8 5.32 5.15 5.04 4.48 表12-3受試者血糖濃度（mmol/l）(g=1) 球?qū)ΨQ檢驗:215.44,5,0.01p與隨機區(qū)組設(shè)計的區(qū)別： 1重復(fù)測量設(shè)計中“處理”是在區(qū)組（受試者）間隨機分配，區(qū)組內(nèi)的各時間點是固定的，不能隨機分配，如表12-5，a、b兩種處理隨機

13、分配給各個患者后，每個患者測量的時間是相同的。 隨機區(qū)組設(shè)計則要求每個區(qū)組內(nèi)實驗單位彼此獨立，處理只能在區(qū)組內(nèi)隨機分配，每個實驗單位接受的處理是不相同的，如表4-9。 變異來源 自由度 ss ms f p 總變異 31 5.751 區(qū)組(受試者) 7 2.828 0.361 7.77 0.01 放置時間 3 2.959 0.986 5.85 0.01 誤差 21 0.264 0.013 表12-4 表 12-3數(shù)據(jù)隨機區(qū)組方差分析表 重復(fù)測量數(shù)據(jù)與第四章介紹的隨機區(qū)組設(shè)計數(shù)據(jù)（表4-9）很相似，如表12-3，而且同樣可以計算出隨機區(qū)組設(shè)計的方差分析表（表12-4）。表12-5患者手術(shù)前后癥狀評

14、分 (g=2)手 術(shù) 后 處理 分組 手術(shù)前 10 天 2 月 4 月 6 月 9 月 a 0.60 0.67 2.84 2.10 2.00 1.60 a 1.42 3.40 4.10 2.92 2.65 3.40 a 0.90 2.30 2.70 1.70 1.10 1.30 a 1.10 1.40 1.00 2.60 0.90 2.10 a 2.30 2.20 3.80 3.50 2.50 1.80 a 0.81 1.20 1.12 1.61 1.49 1.61 b 1.20 1.10 1.13 3.49 1.57 1.54 b 2.71 2.04 2.61 2.17 2.15 1.81

15、b 1.80 1.40 1.00 1.30 2.40 2.40 區(qū)組 a藥 b藥 c藥 1 0.82 0.65 0.51 2 0.73 0.54 0.23 3 0.43 0.34 0.28 4 0.41 0.21 0.31 5 0.68 0.43 0.24 表表4-9 不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量（不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量（g） 變異來源 自由度 ss ms f p 總變異 14 0.5328 處理間 2 0.2280 0.1140 11.88 0.01 區(qū)組間 4 0.2284 0.0571 5.95 0.05 誤 差 8 0.0764 0.0096 表4-10 例4-4的方差分析表 2

16、 重復(fù)測量設(shè)計區(qū)組內(nèi)實驗單位彼此不獨立，如表 12-3，即同一受試者的血樣重復(fù)測量結(jié)果是高度相關(guān)的，其相關(guān)系數(shù)見表 12-6。 重復(fù)測量數(shù)據(jù)若用第四章隨機區(qū)組方差分析比較處理組間差異，前提條件是滿足“球?qū)ΨQ”假設(shè)（通過2檢驗） 。 放置時間 放置時間（分） （分） 0 45 90 135 0 1 0.978* 0.936* 0.860* 45 1 0.879* 0.876* 90 1 0.896* 135 1 表12-6 表12-3各放置時間點血糖濃度的相關(guān)系數(shù) *p0.01 重復(fù)測量數(shù)據(jù)若滿足“球?qū)ΨQ”假設(shè)，可用隨機區(qū)組方差分析；若不滿足“球?qū)ΨQ”假設(shè)，亦可用隨機區(qū)組方差分析，但需校正時間效

17、應(yīng)f界值的自由度。校正的方法是用“球?qū)ΨQ”系數(shù)分別乘處理組間效應(yīng)f 界值的自由度1和2，得1122, ，用12(, )f 作為檢驗界值。 “球?qū)ΨQ”系數(shù)的常用估計方法有三種方法。例如，表12-4 組內(nèi)效應(yīng) f 界值為0.05(3, 21) 3.07f, greenhouse-geisser 的校 正 系 數(shù)0.536, 校 正 后 的f界 值 為0.05(1.6, 11.25) f 0.05(1, 11) 4.84f，大于未校正的界值 3.07。 也就是說， 當重復(fù)測量數(shù)據(jù)不滿足“球?qū)ΨQ”假設(shè)時，采用隨機區(qū)組設(shè)計方差分析，增大了 i 類錯誤（無差別判斷為有差別）的概率。 表12-7 表12-3

18、數(shù)據(jù)“球?qū)ΨQ”檢驗結(jié)果 2值 自由度 p greenhouse -geisser huynh -feldt lower -bound 15.44 5 0.010 0.536 0.671 0.333 第二節(jié) 重復(fù)測量數(shù)據(jù)的兩因素兩水平分析（第三節(jié)當（第三節(jié)當 時的特例）時的特例）第三節(jié) 重復(fù)測量數(shù)據(jù)的兩因素多水平分析2, 2mg一、實驗設(shè)計一、實驗設(shè)計試驗數(shù)據(jù)xijk i=1,2, ,g j=1,2, ,m k=1,2, ,n試驗數(shù)據(jù)共gmn個處理處理aa因素：因素：g g個水平個水平 每個水平每個水平 n n個個 試驗對象試驗對象 時間時間bb因素：因素：m m個時點個時點gaaa,21mbb

19、b,21二、方差分析二、方差分析)(ikikxm b1 b2 bj 合計 a 1 a 2 22122222() ijijnxxt xx ()iia x a i 合計 ()jjb x x kix1kix2imkx變異及自由度分解變異及自由度分解*原理：原理：兩邊平方后求和兩邊平方后求和對象內(nèi)對象間總ssssss1、對象內(nèi)對象間總) 1() 1(1)()(mgngngmnxxxxxxikijkikijk*原理：原理：兩邊平方后求和兩邊平方后求和組間誤對象間組間誤對象間aassssss2、) 1() 1(1)()(ngggnxxxxxxiikiik*原理：原理：兩邊平方后求和兩邊平方后求和3、) 1

20、)(1() 1)(1() 1() 1()()()(mngmgmmgnxxxxxxxxxxxxiikijijkjiijjikijk組內(nèi)誤對象內(nèi)組內(nèi)誤對象內(nèi)abbabbssssssss變異來源 自由度 ss ms f p 組間合計 （觀察對象） gn-1 21()jssmcm組間- 干預(yù)分組（a） g-1 21aissacnm af 組間誤差 g(n-1) assss組間 表 12-14 多個干預(yù)的重復(fù)測量數(shù)據(jù)方差分析表 表 12-15 多個時間點測量前后與交互作用的方差分析表變 異 來 源 自 由 度 ss m s f p 組 內(nèi) 合 計 （ 重 復(fù) 測 量 ） (1)gn m 221()jss

21、xmm組 內(nèi) 測 量 前 后 （ b） 1m 21bjssbcgn bf ab (1 )(1 )gm 21abijbasstsssscn abf 組 內(nèi) 誤 差 ( 1 )(1 )gnm babssssss組 內(nèi) 2m ,且拒絕“球?qū)ΨQ”假設(shè)時，bf和abf的自由度必須用“球?qū)ΨQ”系數(shù)校正。 如果不做 “球?qū)ΨQ” 檢驗 ，建議采用最保守的方法，直接將 bf的界值定為1,(1)(1) g nmf，abf的界值定為1, (1)(1) gg nmf。 注意變異來源 自由度 ss ms f p 組間合計（觀察對象） 21n 21()2jssmc組間- 干預(yù)分組（a） 1 ass 組間誤差 2(1)n

22、assss組間 表12-10 干預(yù)分組作用的方差分析表當當 時，可簡化為以下兩表時，可簡化為以下兩表2, 2mg 表 12-11 測量前后與交互作用的方差分析表 變異來源 自由度 ss ms f p 組內(nèi)合計 （重復(fù)測量） 2n 221()2jssxm組 內(nèi) 測量前后（b） 1 bss ab 1 abss 組內(nèi)誤差 2 (n-1) babssssss組內(nèi) 注 意析因設(shè)計：一張方差分析表：分析處理主效應(yīng)、交互作用。重復(fù)測量設(shè)計：兩張方差分析表，處理效應(yīng)1張，時間效應(yīng)、時間與處理的交互作用1張。*理論：析因設(shè)計：重復(fù)測量設(shè)計：誤差總誤差總abbaabbassssssssss組內(nèi)誤組間誤總組內(nèi)誤組間

23、誤總abbaabbassssssssssss 例12-2 根據(jù)表12-2數(shù)據(jù)，對處理組與對照組、治療前后舒張壓的差別進行統(tǒng)計分析。 表12-13 處理組與對照組比較的方差分析表 變異來源 自由度 ss ms f p 組內(nèi)合計（重復(fù)測量間） 20 1702.0 測量前后(b) 1 1020.1 1020.10 55.0 0.01 ab 1 348.1 348.10 18.8 0.01 組內(nèi)誤差 18 333.8 18.54 表 12-12 測量前后比較與交互作用的方差分析表 注意：處理雖無主效應(yīng)，但因其與時間有交互作用，故亦認為有輔助效應(yīng)。 4.結(jié)論 測量前后的舒張壓有差別（p0.01） ；測量

24、前后與處理存在交互作用（p0.01）,即處理組和對照組治療前后的舒張壓的變化大小不同。 由表12-2計算，兩組治療后的差別110.2120.6=10.4mmhg，大于治療前的差別(126.2124.8=1.4mmhg)，說明治療有效。例 12-3 將手術(shù)要求基本相同的 15 名患者隨機分3組， 在手術(shù)過程中分別采用a，b，c 三種麻醉誘導(dǎo)方法，在0t（誘導(dǎo)前）、1t、2t、3t，4t 五個時相測量患者的收縮壓，數(shù)據(jù)記錄見表 12-16。試進行方差分析。 麻 醉 誘 導(dǎo) 時 相 誘導(dǎo) 方法 患者 序號 0t 1t 2t 3t 4t a 1 120 108 112 120 117 a 2 118

25、109 115 126 123 a 3 119 112 119 124 118 a 4 121 112 119 126 120 a 5 127 121 127 133 126 b 6 121 120 118 131 137 b 7 122 121 119 129 133 b 8 128 129 126 135 142 b 9 117 115 111 123 131 b 10 118 114 116 123 133 c 11 131 119 118 135 129 c 12 129 128 121 148 132 c 13 123 123 120 143 136 c 14 123 121 116

26、 145 126 c 15 125 124 118 142 130 表12-16 不同麻醉誘導(dǎo)時相患者的收縮壓（mmhg） 1分解 ssss組間組內(nèi)， g=3，m =5，n=5，15 名患者的合計分別為 1m 120+108+112+120+117=577， 1m 2m 118+109+115+126+123=591， ， 15m 125+124+118+142+130=639， 2x=1160729，校正數(shù)1155433.08c ,按表 12-14、表 12-15 中的公式計算 222(577599639 ) 1155433.085ss組間1 1157291.80- 1155433.08=1

27、858.72 1160729 1157291.80 3437.20ss組內(nèi) 麻 醉 誘 導(dǎo) 時 相 誘導(dǎo)方法 0t 1t 2t 3t 4t 合 計 （ia） a 605 562 592 629 604 2992 b 606 599 590 641 676 3112 c 631 615 593 713 653 3205 合計（ib） 1842 1776 1775 1983 1933 9309 表12-17 不同麻醉誘導(dǎo)、不同時相患者收縮壓合計值 () (5)ijtn 2分解ass，bss，abss 分組計算不同麻醉誘導(dǎo)、不同時相患者的收縮壓的合計值（ijt），見表 12-17。 表12-18 不

28、同誘導(dǎo)方法患者收縮壓比較的方差分析表 變異來源 自由度 ss ms f p 患者間合計 14 1858.72 誘導(dǎo)方法（a） 2 912.24 456.12 5.78 0.05 患者間誤差 12 946.48 78.87 3按表12-14、表12-15列出方差分析表。 表12-19 麻醉誘導(dǎo)時相及其與誘導(dǎo)方法交互作用的方差分析表 變異來源 自由度 自由度(校正) ss ms f p(校正后) 患者內(nèi)合計 60 3437.20 誘導(dǎo)時相（b） 4 1 2336.45 584.11 106.59 0.01 ab 8 2 837.63 104.70 19.11 0.01 患者內(nèi)誤差 48 48 263.12 5.48 4. fb、fab檢驗界值校正 按表 12-15 的自由度校正方法，fb 的校正自由度11、2(1)(1)g nm 3(51)(51)48，查 f 界值表，fb 的校正界值為0.01(1,48)f=7.19(