階線性微分方程解得結構

1、二階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 當重力與彈性力抵消時, 物體處于 平衡狀態(tài), 例例1. 質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,xxo解解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖. 設時刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動情況.彈性恢復力物體所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令則得有阻尼自由振動方程:

2、0dd2dd222xktxntx阻力txrdd(2) 強迫振動情況. 若物體在運動過程中還受鉛直外力作用，t phfsin，令mhh 則得強迫振動方程:t phxktxntxsindd2dd222求討論上拋高度h與時間t的關系。例例2. 空氣的阻力與物體運動的速度成正比（比例系數(shù)為k）。解解: 如右圖建立坐標軸（h軸），正向朝上。設物體在時刻 t的高度為 h(t) 。在時刻t受到兩個由牛頓第二定律知，mamgkv 力的作用，其一為重力-mg，其二為空氣阻力-kv。由導數(shù)的物理意義知：0v以初速度 垂直上拋一質量為m的物體，如果ho,dhvdt22.d hadt從而得到h(t)滿足的方程：22d

3、 hdhmmgkdtdt n 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為方程的共性 (二階線性微分方程)( )( )( )yp x yq x yf x 可歸結為同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時, 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時, 稱為齊次方程.復習復習: 一階線性方程)()(xqyxpy通解:xxqxxpxxpde)(ed)(d)(xxpcyd)(e非齊次方程特解齊次方程通解yy0)(xf )(11ycxp )(11ycxq0證畢二、二階線性齊次方程解的結構二、二階線性齊次方程解的結構)(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxqy

4、xpy的兩個解,也是該方程的解.證證:)()(2211xycxycy將代入方程左邊, 得 11 yc22yc 22yc22yc)()(1111yxqyxpyc )()(2222yxqyxpyc (疊加原理) )()(2211xycxycy則),(21為任意常數(shù)cc定理定理1.說明說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyccxycxyc并不是通解但是)()(2211xycxycy則為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關與 線性無關概念. 定義定義:)(,),(),(21xyxyxy

5、n設是定義在區(qū)間 i 上的 n 個函數(shù),21nkkk使得ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個函數(shù)在 i 上線性相關線性相關, 否則稱為線性無關線性無關.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們在任何區(qū)間 i 上都線性相關;又如，,12xx若在某區(qū)間 i 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 i 上都 線性無關.若存在不全為不全為 0 的常數(shù)兩個函數(shù)在區(qū)間 i 上線性相關與線性無關的充要條件充要條件:)(),(21xyxy線性相關存在不全為 0

6、的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設)01k)(),(21xyxy線性無關)()(21xyxy常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關相關0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無關定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解, )()(2211xycxycy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xcxcysincos21(自證) 推論推論. nyyy,21若是

7、n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個線性無關解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knncycycyxytan21y為任意常21,(cc則三、二階線性非齊次方程解的結構三、二階線性非齊次方程解的結構 的兩個特解, 則定理定理 3.)()()(xfyxqyxpy 是相應的齊次方程1( )y x設 是二階非齊次方程2,( )yx12( )( )y xyx( )( )0yp x yq x y的一個特解。)(* xy設是二階非齊次方程的一個特解, )(*)(xyxyyy (x) 是相應齊次方程的通解,定理定理 4.)()()(xfyxqyxpy 則是非齊

8、次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxyy代入方程左端, 得)*( yy)*( )(yyxp)*)(*)(*(yxqyxpy )()(yxqyxpy )(0)(xfxf)*( )(yyxq)(*)(xyxyy故是非齊次方程的解, 又y 中含有兩個獨立任意常數(shù),例如例如, 方程xyy 有特解xy *xcxcysincos21對應齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxcxcysincos21證畢因而 也是通解 .定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設是對應齊次方程的 n 個線性)(*)()()(2211xyxycxycxycynn無關特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()

9、()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxy)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設線性無關函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxqyxpy 的解, 21,cc是任意;)(32211yycyca;)()(3212211yccycycb;)1()(3212211yccycycc.)1()(3212211yccycycdd例例3.提示提示:3231,yyyy都是對應齊次方程的解,二者線性無關 . (反證法可證)3322311)()()(yyycyycc3322311)()()(yyycyycd例例4. 已知微分方程( )( )( )yp x yq x yf x個解,e,e,2321xxyyxy求