階常系數(shù)齊次線性方程

1、二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程 定義定義 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法一、定義一、定義0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu): :定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)的兩個(gè)解解, ,那末那末2211ycycy 也是也是(1)(1)的解的解.

2、 .（21, cc是常是常數(shù)）數(shù)）問題問題: :一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211ycycy )1(0)()( yxqyxpy例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xcxcy 三、二階常系數(shù)齊次線性方程解法三、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22

3、xrey 兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxrececy )0( 特征根為特征根為 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexccy 代入原方程并化簡(jiǎn)，代入原方程并化簡(jiǎn)，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根1,ri2,ri()1,ixye()2,ixye)0( 重新組合

4、重新組合)(21211yyy ,cos xex 2121()2yyyi,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xcxceyx 特征根為特征根為定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexccy 例例1 1.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解為

5、故所求通解為).2sin2cos(21xcxceyx 例例2 2思考與練習(xí) 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解為xccy21:0a通解為xacxacysincos21:0a通解為xaxaececy21作業(yè)作業(yè) p358 1 (1) , (5) ; 2 (5) ; 第九節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、小結(jié)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見下表見下表)02 qprr0 q

6、yypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達(dá)達(dá)式式實(shí)實(shí)根根21rr 實(shí)實(shí)根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考題解答思考題解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 則則, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxececz 21.ln21xxececy 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdt

7、xd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程滿足所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一個(gè)二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程求作一個(gè)二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 設(shè)圓柱形浮筒設(shè)圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當(dāng)稍當(dāng)稍向下壓后突 然放開向下壓后突 然放開, ,浮筒 在水中上 下振動(dòng)的浮筒 在水中上 下振動(dòng)的s2周周期期為為, ,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量 . .練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、xeccy421 ； 2 2、tetccx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xcxceyx ； 4 4、xcxcececyx