電子能級(jí)的不連續(xù)性

1、第二章第二章 納米材料的基本理論納米材料的基本理論 2 2.1 .1 電子能級(jí)的不連續(xù)性電子能級(jí)的不連續(xù)性 2.2 2.2 量子尺寸效應(yīng)量子尺寸效應(yīng)2.3 2.3 小尺寸效應(yīng)與表面效應(yīng)小尺寸效應(yīng)與表面效應(yīng) 2.4 2.4 庫(kù)侖堵塞與單電子器件庫(kù)侖堵塞與單電子器件2.5 2.5 介電域效應(yīng)介電域效應(yīng)2.1 2.1 電子能級(jí)的不連續(xù)性電子能級(jí)的不連續(xù)性原子能級(jí)與固體能帶原子能級(jí)與固體能帶1962年，久保（年，久保（kubo）及其合作者針對(duì)金屬）及其合作者針對(duì)金屬超微粒子的研究提出了著名的久保理論。超微粒子的研究提出了著名的久保理論。1986年，年，halperrin對(duì)這一理論進(jìn)行了較全面歸納，并用

2、這對(duì)這一理論進(jìn)行了較全面歸納，并用這一理論對(duì)金屬超微粒子的量子尺寸效應(yīng)進(jìn)行了深入一理論對(duì)金屬超微粒子的量子尺寸效應(yīng)進(jìn)行了深入的分析。的分析。1.久保久保（ kubokubo）理論理論 -關(guān)于金屬粒子電子性質(zhì)的理論關(guān)于金屬粒子電子性質(zhì)的理論（1 1）2 2個(gè)假設(shè)個(gè)假設(shè)l 久保理論是久保理論是針對(duì)金屬超微顆粒費(fèi)米面附近電子能級(jí)針對(duì)金屬超微顆粒費(fèi)米面附近電子能級(jí)狀態(tài)分布而提出來(lái)的狀態(tài)分布而提出來(lái)的，與大塊材料費(fèi)米面附近電子，與大塊材料費(fèi)米面附近電子態(tài)能級(jí)分布的傳統(tǒng)理論不同。態(tài)能級(jí)分布的傳統(tǒng)理論不同。l 這是因?yàn)楫?dāng)微粒尺寸進(jìn)人到納米級(jí)時(shí)，由于量子尺這是因?yàn)楫?dāng)微粒尺寸進(jìn)人到納米級(jí)時(shí)，由于量子尺寸效應(yīng)，原

3、大塊金屬的寸效應(yīng)，原大塊金屬的準(zhǔn)連續(xù)能級(jí)產(chǎn)生離散現(xiàn)象。準(zhǔn)連續(xù)能級(jí)產(chǎn)生離散現(xiàn)象。等能級(jí)近似模型等能級(jí)近似模型開(kāi)始，人們把開(kāi)始，人們把低溫下低溫下單個(gè)小粒子的費(fèi)米面附近電子能級(jí)看成等單個(gè)小粒子的費(fèi)米面附近電子能級(jí)看成等間隔的能級(jí)，按這一模型可計(jì)算單個(gè)超微粒子的比熱。間隔的能級(jí)，按這一模型可計(jì)算單個(gè)超微粒子的比熱。 為能級(jí)間隔、為能級(jí)間隔、k kb b為玻爾茲曼常量、為玻爾茲曼常量、t t為絕對(duì)溫度、為絕對(duì)溫度、 =1/k=1/kb bt t，k kb bt t熱運(yùn)熱運(yùn)動(dòng)能，電子的平均動(dòng)能和平均位能之和動(dòng)能，電子的平均動(dòng)能和平均位能之和在等能級(jí)時(shí)，配分函數(shù)在等能級(jí)時(shí)，配分函數(shù) eeeeeeznnii

4、1113211)1ln(lneeeezuekeetkkeetutucbbbu222222) 1()()()() 1(收斂較大低溫下，,l 在極低溫下在極低溫下(t0)，比熱，比熱0，則與大塊金屬完全不，則與大塊金屬完全不同同。大塊金屬。大塊金屬：溫度與比熱：溫度與比熱之間關(guān)系：之間關(guān)系：等能級(jí)近似模型可以推導(dǎo)出低溫下單個(gè)超微粒子的等能級(jí)近似模型可以推導(dǎo)出低溫下單個(gè)超微粒子的比熱公式，但實(shí)際上無(wú)法用實(shí)驗(yàn)證明。比熱公式，但實(shí)際上無(wú)法用實(shí)驗(yàn)證明。原因：原因：只能對(duì)超微顆粒的集合體進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；無(wú)法測(cè)只能對(duì)超微顆粒的集合體進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；無(wú)法測(cè)到單個(gè)的微粒。到單個(gè)的微粒。3ttcuekekctkbbub2,(）

5、（較大極低溫）時(shí)當(dāng)常數(shù)低溫），時(shí)當(dāng)2)1(1(eekctkbubekeecbu222) 1()()(高溫情況下，能級(jí)準(zhǔn)連續(xù)，電子比熱與大塊材料基本一致：高溫情況下，能級(jí)準(zhǔn)連續(xù)，電子比熱與大塊材料基本一致：3ln2z算出利用最速下降方法，計(jì)zkcbln222而ttc1l 在高溫下，在高溫下，kbt，溫度與比熱成線性關(guān)系，溫度與比熱成線性關(guān)系，這與，這與大塊金屬的比熱關(guān)系基本一致大塊金屬的比熱關(guān)系基本一致絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米能價(jià)電子數(shù)每摩爾原子數(shù)塊體0002022ffbeznttekznc為了解決理論和實(shí)驗(yàn)相脫離的困難，久保對(duì)小顆粒為了解決理論和實(shí)驗(yàn)相脫離的困難，久保對(duì)小顆粒大集合體的電子能態(tài)做了兩點(diǎn)

6、主要假設(shè)：大集合體的電子能態(tài)做了兩點(diǎn)主要假設(shè)：(i) (i) 簡(jiǎn)并費(fèi)米液體假設(shè)簡(jiǎn)并費(fèi)米液體假設(shè)久保把超微粒子靠近費(fèi)米面附近的電子狀態(tài)看作是久保把超微粒子靠近費(fèi)米面附近的電子狀態(tài)看作是受尺寸限制的簡(jiǎn)并電子氣，并進(jìn)一步假設(shè)它們的能受尺寸限制的簡(jiǎn)并電子氣，并進(jìn)一步假設(shè)它們的能級(jí)為準(zhǔn)粒子態(tài)的不連續(xù)能級(jí)，而準(zhǔn)粒子之間交互作級(jí)為準(zhǔn)粒子態(tài)的不連續(xù)能級(jí)，而準(zhǔn)粒子之間交互作用可忽略不計(jì)。用可忽略不計(jì)。當(dāng)當(dāng)kbt(相鄰二能級(jí)間平均能級(jí)間隔相鄰二能級(jí)間平均能級(jí)間隔)時(shí)，這時(shí)，這種體系靠近費(fèi)米面的電子能級(jí)分布服從泊松種體系靠近費(fèi)米面的電子能級(jí)分布服從泊松(poisson)分布：分布： 其中其中為二能態(tài)之間間隔，為二能

7、態(tài)之間間隔，pn()為對(duì)應(yīng)為對(duì)應(yīng)的概率密度，的概率密度，n為為這二能態(tài)間的能級(jí)數(shù)。這二能態(tài)間的能級(jí)數(shù)。 久保等人指出，間隔為久保等人指出，間隔為的二能態(tài)的概率的二能態(tài)的概率pn()與哈密頓量與哈密頓量的變換性質(zhì)有關(guān)。例如，在自旋與軌道交互作用弱和外加的變換性質(zhì)有關(guān)。例如，在自旋與軌道交互作用弱和外加磁場(chǎng)小的情況下，在磁場(chǎng)小的情況下，在比較小的情況下，比較小的情況下，pn()隨隨減小而減小而減小。減小。)exp()(!1)( nnnp久保模型優(yōu)越于等能級(jí)間隔模型，比較好地解釋久保模型優(yōu)越于等能級(jí)間隔模型，比較好地解釋了了低溫下低溫下超超微粒子的物理性能。微粒子的物理性能。)(2200fbgbm上

8、式中：0為真空磁導(dǎo)率，b波爾磁子l大塊材料低溫下的大塊材料低溫下的比熱和磁化率比熱和磁化率與所含電子的奇偶數(shù)與所含電子的奇偶數(shù)無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)3bttcl納米粒子低溫下的比熱、磁化率與所含電子的奇偶數(shù)有關(guān)納米粒子低溫下的比熱、磁化率與所含電子的奇偶數(shù)有關(guān)？與奇、偶性有關(guān)的計(jì)算與奇、偶性有關(guān)的計(jì)算能級(jí)間隔取能級(jí)間隔取3 3能級(jí)即可。在極低溫度下，僅需考慮與基態(tài)能量相近的狀態(tài)。能級(jí)即可。在極低溫度下，僅需考慮與基態(tài)能量相近的狀態(tài)。對(duì)偶數(shù)電子僅涉及間隔為對(duì)偶數(shù)電子僅涉及間隔為的能級(jí)，對(duì)于奇數(shù)電子，則涉及的能級(jí)，對(duì)于奇數(shù)電子，則涉及/ /與與iezi)1)(2(cosh2)()2cosh1(21)(2eebz

9、eebzbb奇偶zzkcbln,ln2210222而2) (22 22223222)1 () ()41 (4(eeeeekceeeeekcbb奇）偶）20220(418(bbeee奇）偶）zzkcbln,ln2210222而上式統(tǒng)一記為：上式統(tǒng)一記為：是能級(jí)分布函數(shù)。、其中，奇偶),()()()()(,)()()(00ppddpffdpff進(jìn)一步簡(jiǎn)化到只涉及最低的激發(fā)態(tài)，則：進(jìn)一步簡(jiǎn)化到只涉及最低的激發(fā)態(tài)，則：ekcekcbb2222(,4(奇）偶）2020(,8(bbe奇）偶）這些理論結(jié)果與較實(shí)驗(yàn)符合，對(duì)實(shí)驗(yàn)有較好的解釋。這些理論結(jié)果與較實(shí)驗(yàn)符合，對(duì)實(shí)驗(yàn)有較好的解釋?？紤]能級(jí)有一定的分布考慮

10、能級(jí)有一定的分布，依賴于電子偶、奇分布表示為：，依賴于電子偶、奇分布表示為：) ,()(ff與與前面推導(dǎo)一致。奇、偶數(shù)值有差別，但,e奇電子服從居里定律。偶電子遵從指數(shù)規(guī)律，奇、偶表達(dá)式不一樣：利用利用等能級(jí)間隔模型，理論上也能計(jì)算出上述物理量等能級(jí)間隔模型，理論上也能計(jì)算出上述物理量222223222)21 (2()41 (4(eekceeeeekcbb奇）偶）20220(418(bbeee奇）偶）與與kubokubo的的poisson分布相比，除奇電子磁化率外，其余分布相比，除奇電子磁化率外，其余的在數(shù)值上是不相同的，的在數(shù)值上是不相同的，關(guān)鍵無(wú)法用實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。關(guān)鍵無(wú)法用實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。(ii

11、)超微粒子電中性假設(shè)超微粒子電中性假設(shè)w w問(wèn)題問(wèn)題一個(gè)超微粒子取走或移出一個(gè)電子所做的功一個(gè)超微粒子取走或移出一個(gè)電子所做的功( (增減一個(gè)增減一個(gè)e e靜電能的變化靜電能的變化) )w=ew=e2 2/(4/(40 0d) d) e e2 2/ /d d .式式w=1.5w=1.510105 5k kb bk/k/d d（） 0 0：真空介電常數(shù)：真空介電常數(shù)：8.8542 8.8542 1010-12-12f/kf/k d:d:超微粒的直徑超微粒的直徑;e:;e:電子電荷：電子電荷：1.60211.6021 1010-19-19庫(kù)庫(kù)。k kb b：玻爾茲曼常數(shù)：玻爾茲曼常數(shù)-1.3805

12、 -1.3805 1010-23-23j/k j/k 式中，式中，t t的變化范圍小，而的變化范圍小，而d d的變化很大。的變化很大。因此：因此：（1 1）低溫下熱漲落）低溫下熱漲落( (k kb bt)t)很難改變納米微粒子的電中性。很難改變納米微粒子的電中性。（2 2）從一個(gè)超微粒子取走或移出一個(gè)電子是十分困難的。）從一個(gè)超微粒子取走或移出一個(gè)電子是十分困難的。 因?yàn)椋涸谝驗(yàn)椋涸赿 d很小的情況下，很小的情況下，w w很大！很大！能保證納米電子器件的可控制性能保證納米電子器件的可控制性（2 2）1 1個(gè)公式個(gè)公式( (能級(jí)間隔與微粒尺寸的關(guān)系能級(jí)間隔與微粒尺寸的關(guān)系) ) =4e=4ef

13、f/3n/3n， 正比于正比于v v-1-1 正比于正比于d d-3-3（對(duì)球型顆粒）（對(duì)球型顆粒） -能級(jí)間隔能級(jí)間隔e ef f-費(fèi)米能級(jí)費(fèi)米能級(jí)n-n-一個(gè)超微粒子的總導(dǎo)電電子數(shù)一個(gè)超微粒子的總導(dǎo)電電子數(shù)根據(jù)上式可得到宏觀物體的能級(jí)問(wèn)距趨于零，金屬費(fèi)米能根據(jù)上式可得到宏觀物體的能級(jí)問(wèn)距趨于零，金屬費(fèi)米能級(jí)附近電子能級(jí)一般是連續(xù)的，這一點(diǎn)只有在高溫或宏觀尺級(jí)附近電子能級(jí)一般是連續(xù)的，這一點(diǎn)只有在高溫或宏觀尺寸情況下才成立。寸情況下才成立。對(duì)納米微粒，它所包含的原子數(shù)有限，對(duì)納米微粒，它所包含的原子數(shù)有限，n n值很小，這就導(dǎo)值很小，這就導(dǎo)致有一定的值，即能級(jí)間距間較大而發(fā)生分裂。致有一定的

14、值，即能級(jí)間距間較大而發(fā)生分裂。粒徑減小，粒徑減小，能級(jí)間隔增大。能級(jí)間隔增大。 0 0 與與v v、d d（半徑半徑r r）的關(guān)系）的關(guān)系nef34jdnjdn31331311087.110187.1331jvnjvn31131311079.710179.7318333/223/22222nhnemmf334,dvvnn（相對(duì)原子量）子數(shù)）每個(gè)原子提供的傳導(dǎo)電aznnma(相鄰電子能級(jí)間隔和顆粒直徑的關(guān)系相鄰電子能級(jí)間隔和顆粒直徑的關(guān)系久保理論提出后，長(zhǎng)達(dá)約久保理論提出后，長(zhǎng)達(dá)約2020年之久一直存在爭(zhēng)論，原因年之久一直存在爭(zhēng)論，原因在于理論與某些研究者的實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在不一致之處。在于理論與某

15、些研究者的實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在不一致之處。例如，例如，1984年年cavocchi發(fā)現(xiàn)，從一個(gè)超微金屬粒子發(fā)現(xiàn)，從一個(gè)超微金屬粒子取走或放入一個(gè)電子克服庫(kù)侖力做功取走或放入一個(gè)電子克服庫(kù)侖力做功(w)的絕對(duì)值的絕對(duì)值從從0到到e2d有一個(gè)均勻的分布，而不是久保理論指有一個(gè)均勻的分布，而不是久保理論指出的為一常數(shù)出的為一常數(shù)(e2d)。 但但 halperin經(jīng)過(guò)深入的研究指出，經(jīng)過(guò)深入的研究指出，w的變化是由的變化是由于在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中電子由金屬粒子向氧化物或其他支于在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中電子由金屬粒子向氧化物或其他支撐試樣的基體傳輸量的變化所引起的。認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)撐試樣的基體傳輸量的變化所引起的。認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果與久保理

16、論的不一致性不能歸結(jié)為久保理論的不果與久保理論的不一致性不能歸結(jié)為久保理論的不正確性，而在于實(shí)驗(yàn)本身。正確性，而在于實(shí)驗(yàn)本身。 20世紀(jì)的世紀(jì)的70至至80年代，超微粒子制備的發(fā)展和實(shí)年代，超微粒子制備的發(fā)展和實(shí)驗(yàn)技術(shù)不斷完善，在超微粒物性的研究上取得了驗(yàn)技術(shù)不斷完善，在超微粒物性的研究上取得了一些突破性的進(jìn)展。一些突破性的進(jìn)展。 例如，用電子自旋共振，磁化率，磁共振和磁弛例如，用電子自旋共振，磁化率，磁共振和磁弛豫及比熱等測(cè)量結(jié)果都證實(shí)了超微粒子存在量子豫及比熱等測(cè)量結(jié)果都證實(shí)了超微粒子存在量子尺寸效應(yīng)，進(jìn)一步支持和發(fā)展了久保理論。尺寸效應(yīng)，進(jìn)一步支持和發(fā)展了久保理論。久保理論本身存在許多不

17、足之處，久保理論提出久保理論本身存在許多不足之處，久保理論提出后一些科學(xué)工作者后一些科學(xué)工作者h(yuǎn)alperin和和denton對(duì)它進(jìn)行了對(duì)它進(jìn)行了修正。修正。 l 關(guān)于關(guān)于 =4e=4ef f/3n/3n 的推導(dǎo)的推導(dǎo) 費(fèi)米能量：費(fèi)米能量：對(duì)于宏觀尺度的大塊金屬，其電子對(duì)于宏觀尺度的大塊金屬，其電子能譜是準(zhǔn)連續(xù)的，主要源于體系中電子數(shù)很多，能譜是準(zhǔn)連續(xù)的，主要源于體系中電子數(shù)很多，n n10102424。 當(dāng)金屬顆粒的體積當(dāng)金屬顆粒的體積v v下降時(shí)，電子密度下降時(shí)，電子密度n n不變，不變，n=n/vn=n/v，按照自由電子模型：，按照自由電子模型：8333/223/22222nhnemmf

18、所以：費(fèi)米能量與顆粒尺寸無(wú)關(guān)。所以：費(fèi)米能量與顆粒尺寸無(wú)關(guān)。電子質(zhì)量電子質(zhì)量體系的集體行為！體系的集體行為！態(tài)密度：態(tài)密度：?jiǎn)挝惑w積樣品中單位能量間隔內(nèi)，包含自單位體積樣品中單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的電子態(tài)數(shù)旋的電子態(tài)數(shù), ,用用g()g()表示。表示。-在費(fèi)米面附近單位體積金屬態(tài)密度： g(eg(ef f)=3n/)=3n/（2e2ef f） n：電子密度-參見(jiàn)固體物理基礎(chǔ)：北京大學(xué)出版社.2000年，閻守勝。-又因每個(gè)許可的能級(jí)上有兩個(gè)不同的自旋態(tài)，又因每個(gè)許可的能級(jí)上有兩個(gè)不同的自旋態(tài)，此時(shí)態(tài)密度此時(shí)態(tài)密度用用1/2g(e1/2g(ef f) )。所以根據(jù)態(tài)密度定義，能級(jí)間隔。所以根據(jù)態(tài)

19、密度定義，能級(jí)間隔：833/222*1*3434*(211nheemnnvgff）n=n/vn=n/v，v=n/v=n/n ng()=1/g()=1/（ v v），）， =1/=1/ g(g(e ef f) ) v v =4e=4ef f/3n/3n結(jié)論：結(jié)論：g(eg(ef f)=3n/)=3n/（2e2ef f）的推導(dǎo)）的推導(dǎo)1 1由由g()g()的定義的定義 ：?jiǎn)挝惑w積的態(tài)密度（單位體積樣品中，單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的電子態(tài)數(shù))。這樣能量到+d間的電子數(shù)：dnvg() d333482kvn 設(shè)在k空間中和+d的等能面球殼，分別對(duì)應(yīng)于k和k+dk。 dmdkmkmkk22222122得：

20、由電子能量38vk1空間的態(tài)密度：kdkkvdn23482dgvdmvdn)()2(232/13fffffkmkkkvnn222233233費(fèi)米面： 2/133221mgffng232/133221ffmg費(fèi)米面：333482kvn233kvnnmkff222費(fèi)迷能量222/133221fffmkmgffmnk232g(eg(ef f)=3n/)=3n/（2e2ef f）的推導(dǎo)）的推導(dǎo)2 2在在k k空間，在半徑為空間，在半徑為k k、能量為、能量為e e的球體內(nèi)的電子態(tài)數(shù)為：的球體內(nèi)的電子態(tài)數(shù)為：圍內(nèi)的電子態(tài)數(shù)空間區(qū)域內(nèi)單位體積范體積） kkne(34322mek 34v2322332)2(

21、34)2(34mevvmene）常數(shù)cmvene()2(3lnln23ln2322edendnee23由由g()g()的定義的定義 ：?jiǎn)挝惑w積樣品中，單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的電子態(tài)數(shù)。devdng)(edendnee23vnnvenvdednee而,23ffenegeng23)(,23)(在在e ef f處，能級(jí)間隔為處，能級(jí)間隔為。1 1個(gè)能級(jí)有個(gè)能級(jí)有2 2個(gè)自選態(tài)：個(gè)自選態(tài)：neegvvegfff34)(2,)(2ef金屬塊體金屬塊體 金屬納米粒子金屬納米粒子 兩個(gè)原子兩個(gè)原子 單個(gè)原子單個(gè)原子 d d減小減小分子軌道分子軌道反鍵反鍵成鍵成鍵原子軌道原子軌道電子電子能級(jí)能級(jí)e e塊狀金

22、屬中傳導(dǎo)電子的能級(jí)是準(zhǔn)連續(xù)的塊狀金屬中傳導(dǎo)電子的能級(jí)是準(zhǔn)連續(xù)的電子能級(jí)的不連續(xù)性：準(zhǔn)連續(xù)的能帶將分裂電子能級(jí)的不連續(xù)性：準(zhǔn)連續(xù)的能帶將分裂成不連續(xù)的能級(jí)成不連續(xù)的能級(jí) 。（3）kubo 不只是強(qiáng)調(diào)不只是強(qiáng)調(diào) =4e=4ef f/3n /3n ，而是在進(jìn)入納，而是在進(jìn)入納米尺度后，米尺度后，磁化率磁化率 ，比熱比熱c c還與納米粒子所含電子的還與納米粒子所含電子的奇偶性奇偶性有關(guān)。有關(guān)。 大塊材料大塊材料 能級(jí)準(zhǔn)連續(xù)，不論電子奇偶都處于能級(jí)準(zhǔn)連續(xù)，不論電子奇偶都處于同樣的準(zhǔn)連續(xù)分布，所以同樣的準(zhǔn)連續(xù)分布，所以x,cx,c與電子奇偶無(wú)關(guān)與電子奇偶無(wú)關(guān)。納米顆粒納米顆粒 能級(jí)分裂能級(jí)分裂 奇偶電子分

23、布奇偶電子分布能級(jí)圖不一樣能級(jí)圖不一樣 又因沒(méi)有準(zhǔn)連續(xù)分布又因沒(méi)有準(zhǔn)連續(xù)分布 產(chǎn)生不同的分布態(tài)，產(chǎn)生不同的分布態(tài)，進(jìn)而影響進(jìn)而影響x,cx,c。2.2.電子能級(jí)分裂的例子電子能級(jí)分裂的例子30nmag30nmag不同粒徑納米不同粒徑納米agag的吸收強(qiáng)度和波長(zhǎng)的吸收強(qiáng)度和波長(zhǎng)50nmag50nmag50nm50nm不同納米尺寸不同納米尺寸cdsecdse（半導(dǎo)體）（半導(dǎo)體）粒子的吸收光譜粒子的吸收光譜隨尺寸減小，能隙寬度增大，隨尺寸減小，能隙寬度增大，吸收光譜峰值向短波方向移動(dòng)吸收光譜峰值向短波方向移動(dòng)2d量子阱量子阱1d量子線量子線0d量子點(diǎn)量子點(diǎn)3d大塊材料大塊材料3.不同維度材料的結(jié)構(gòu)和

24、能態(tài)密度分布不同維度材料的結(jié)構(gòu)和能態(tài)密度分布-g()20092009第第4-54-5次課程次課程從宏觀到微觀的能態(tài)密度從宏觀到微觀的能態(tài)密度自由電子的態(tài)密度自由電子的態(tài)密度l 量子點(diǎn)量子點(diǎn)l 量子線量子線l 量子井（超晶格）量子井（超晶格）l 大塊材料大塊材料kskkkdskdg14)(4)()()(33態(tài)密度可表示為)(14)()()(,)(41)(.)()()(1)()(.)()(3)(3kdsgkkkddskkdgdsskkkdsksdgdnnsnnksnnnnnn由于則之間的垂直距離和處等能面是在點(diǎn)的面元，是其上布里淵區(qū)內(nèi)的部分，在第是等能面假定為，自旋不同的電子態(tài)數(shù)到單位體積內(nèi)，能量從.,)(14)(4)()()(33方向量子化表示除方向連續(xù)表示kikidsi kdgnkinkikinsnnkikzkykxknkikzkykxkik關(guān)系圖為：故分開(kāi)的能級(jí)全部量子化，是一個(gè)個(gè)即成為分開(kāi)的一條條直線，當(dāng)，當(dāng)方向量子化，令為長(zhǎng)寬高電子的本征能量)(.)(0),(),(1),(),(),()()(),(,),(2,22222222,gglmnlmnlmnlmnlmnglmnzyxcbaclbmanmlmnkkkzkykxlmn越明顯。間距越大，量子化