立體幾何高三總復(fù)習(xí)學(xué)案Word版

1、高三總復(fù)習(xí)-立體幾何一、 本講進(jìn)度立體幾何復(fù)習(xí)二、本講主要內(nèi)容空間幾何圖形的證明及計算。三、復(fù)習(xí)指導(dǎo)1、 空間基本元素：直線與平面之間位置關(guān)系的小結(jié)。如下圖： 條件 結(jié)論線線平行線面平行面面平行垂直關(guān)系線線平行如果ab，bc，那么ac如果a，a，=b，那么ab如果，=a，=b，那么ab如果a，b，那么ab線面平行如果ab，a，b，那么a如果，a，那么面面平行如果a，b，c，d，ac，bd，ab=P，那么如果a，b,ab=P,a,b，那么如果，那么如果a，a，那么 條件 結(jié)論線線垂直線面垂直面面垂直平行關(guān)系線線垂直二垂線定理及逆定理如果a，b，那么ab如果三個平面兩兩垂直，那么它們交線兩兩垂直如

2、果ab，ac，那么bc線面垂直如果ab，ac，b，c，bc=P，那么a如果，=b，a,ab，那么a如果a，ba，那么b面面垂直定義（二面角等于900）如果a，a，那么2、 空間元素位置關(guān)系的度量 （1）角：異面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角，都化歸為平面幾何中兩條相交直線所成的角。異面直線所成的角：通過平移的變換手段化歸，具體途徑有：中位線、補(bǔ)形法等。2 / 14直線和平面所成的角：通過作直線射影的作圖法得到。二面角：化歸為平面角的度量，化歸途徑有：定義法，三垂線定理法，棱的垂面法及面積射影法。 （2）距離：異面直線的距離，點面距離，線面距離及面面距離。異面直線的距離：除求公垂線段長

3、度外，通?；瘹w為線面距離和面面距離。線面距離，面面距離?；瘹w為點面距離。3、 兩個重要計算公式（1） cos=cos1cos2其中1為斜線PA與平面所成角，即為PAO，2為PA射影AO與內(nèi)直線AB所成的角，為PAB。顯然，1，2（2） 異面直線上兩點間距離公式 設(shè)異面直線a，b所成角為 則EF2=m2+n2+d22mncos 4、棱柱、棱錐是常見的多面體。在正棱柱中特別要運用側(cè)面與底面垂直的性質(zhì)解題，在正棱錐中，要熟記由高PO，斜高PM，側(cè)棱PA，底面外接圓半徑OA，底面內(nèi)切圓半徑OM，底面正多邊形半邊長OM，構(gòu)成的三棱錐，該三棱錐四個面均為直角三角形。 5、球是由曲面圍成的旋轉(zhuǎn)體。研究球，主

4、要抓球心和半徑。6、立體幾何的學(xué)習(xí)，主要把握對圖形的識別及變換（分割，補(bǔ)形，旋轉(zhuǎn)等），因此，既要熟記基本圖形中元素的位置關(guān)系和度量關(guān)系，也要能在復(fù)雜背景圖形中“剝出”基本圖形。四、典型例題例1、在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點，O為AC與BD的交點（如圖），求證：（1）EG平面BB1D1D；（2）平面BDF平面B1D1H；（3）A1O平面BDF；（4）平面BDF平面AA1C。解析： （1）欲證EG平面BB1D1D，須在平面BB1D1D內(nèi)找一條與EG平行的直線，構(gòu)造輔助平面BEGO及輔助直線BO，顯然BO即是。 （2）按線線平行線面平

5、行面面平行的思路，在平面B1D1H內(nèi)尋找B1D1和OH兩條關(guān)鍵的相交直線，轉(zhuǎn)化為證明：B1D1平面BDF，OH平面BDF。（3） 為證A1O平面BDF，由三垂線定理，易得BDA1O，再尋A1O垂直于平面BDF內(nèi)的另一條直線。猜想A1OOF。借助于正方體棱長及有關(guān)線段的關(guān)系計算得：A1O2+OF2=A1F2A1OOF。 （4） CC1平面AC CC1BD又BDAC BD平面AA1C又BD平面BDF 平面BDF平面AA1C例2、在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為DD1中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是A、 B、 C、 D、解析：取P點的特殊

6、點A1，連OA1，在底面上過O作OEAD于E，連A1E OE平面ADD1A1，AMA1E根據(jù)三垂線定理，得：AMOA1 選D評注：化“動”為“定”是處理“動”的思路例3、如圖，三棱錐DABC中，平面ABD、平面ABC均為等腰直角三角形，ABC=BAD=900，其腰BC=a，且二面角DABC=600。（1） 求異面直線DA與BC所成的角；（2） 求異面直線BD與AC所成的角；（3） 求D到BC的距離；（4） 求異面直線BD與AC的距離。解析：（1） 在平面ABC內(nèi)作AEBC，從而得DAE=600 DA與BC成600角（2） 過B作BFAC，交EA延長線于F，則DBF為BD與AC所成的角 由DAF

7、易得AF=a，DA=a，DAF=1200 DF2=a2+a2-2a2()=3a2 DF=a DBF中，BF=AC=a cosDBF= 異面直線BD與AC成角arccos （3） BA平面ADE 平面DAE平面ABC故取AE中點M，則有DM平面ABC；取BC中點N，由MNBC，根據(jù)三垂線定理，DNBC DN是D到BC的距離在DMN中，DM=a，MN=a DN=a （4） BF平面BDF，AC平面BDF，ACBF AC平面BDF又BD平面BDF AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離 ， 由，即異面直線BD與AC的距離為評注：三棱錐的等體積變換求高，也是求點到面距離的常用方法。例4、如圖，在60

8、0的二面角CD中，AC，BD，且ACD=450，tgBDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，當(dāng)x為何值時，A、B的距離最??？并求此距離。解析：作AECD于E，BFCD于F，則EF為異面直線AE、BF的公垂段，AE與BF成600角，可求得|AB|=，當(dāng)x=時，|AB|有最小值。評注：轉(zhuǎn)化為求異面直線上兩點間距離的最小值。例5、如圖，斜三棱柱ABCABC中，底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長為 b，側(cè)棱AA與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求此三棱柱的側(cè)面積和體積。解析：在側(cè)面AB內(nèi)作BDAA于D連結(jié)CD AC=AB，AD=AD，DAB=DAC=450 DABDAC CDA=BDA=900，B

9、D=CD BDAA，CDAA DBC是斜三棱柱的直截面在RtADB中，BD=ABsin450= DBC的周長=BD+CD+BC=(+1)a，DBC的面積= S側(cè)=b(BD+DC+BC)=(+1)ab V=AA=評注：求斜棱柱的側(cè)面積有兩種方法，一是判斷各側(cè)面的形狀，求各側(cè)面的面積之和，二是求直截面的周長與側(cè)棱的乘積，求體積時同樣可以利用直截面，即V=直截面面積側(cè)棱長。例6、在三棱錐PABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱錐的體積VP-ABC。解析：取PC和AB的中點M和N 在AMB中，AM2=BM2=172-82=259 AM=BM=15cm，MN2

10、=152-92=246 SAMB=ABMN=1812=108(cm2) VP-ABC=16108=576(cm3)評注：把一個幾何體分割成若干個三棱錐的方法是一種用得較多的分割方法，這樣分割的結(jié)果，一方面便于求體積，另一方面便于利用體積的相關(guān)性質(zhì)，如等底等高的錐體的體積相等，等底的兩個錐體的體積的比等于相應(yīng)高的比，等等。五、同步練習(xí)（一） 選擇題 1、l1l2，a，b與l1，l2都垂直，則a，b的關(guān)系是 A、平行 B、相交 C、異面 D、平行、相交、異面都有可能 2、異面直線a，b，ab，c與a成300，則c與b成角范圍是 A、600，900 B、300，900 C、600，1200 D、30

11、0，1200 3、正方體AC1中，E、F分別是AB、BB1的中點，則A1E與C1F所成的角的余弦值是 A、 B、 C、 D、 4、在正ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BC=AB，這時二面角BADC大小為A、600 B、900 C、450 D、12005、一個山坡面與水平面成600的二面角，坡腳的水平線（即二面角的棱）為AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同時乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的點，若PQ=10m，這時甲、乙2個人之間的距離為A、 B、 C、 D、6、E、F分別是正方形ABCD的邊AB和CD的中點，EF交BD于O，以EF為棱將

12、正方形折成直二面角如圖，則BOD=A、1350 B、1200 C、1500 D、9007、三棱錐VABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，側(cè)面與底面ABC所成的二面角分別為，（都是銳角），則cos+cos+cos等于A、1 B、2 C、 D、8、正n棱錐側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面與底面所成的角為，tantan等于A、 B、 C、 D、9、一個簡單多面體的各面都是三角形，且有6個頂點，則這個簡單多面體的面數(shù)是A、4 B、6 C、8 D、1010、三棱錐PABC中，3條側(cè)棱兩兩垂直，PA=a，PB=b，PC=c，ABC的面積為S，則P到平面ABC的距離為A、 B、 C、 D、11、三棱柱AB

13、CA1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點，且滿足AP=C1Q，則四棱錐BAPQC的體積是A、 B、 C、 D、12、多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF=，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為A、 B、5 C、6 D、（二） 填空題13、已知異面直線a與b所成的角是500，空間有一定點P，則過點P與a，b所成的角都是300的直線有_條。14、線段AB的端點到平面的距離分別為6cm和2cm，AB在上的射影AB的長為3cm，則線段AB的長為 _。15、正n棱錐相鄰兩個側(cè)面所成二面角的取值范圍是_。16、如果一個簡單多面體的每個面都是奇數(shù)的多

14、邊形，那么它的面數(shù)是_。（三） 解答題17、如圖，在斜邊為AB的直角三角形ABC中，過A作AP平面ABC，AEPB于E，AFPC于F，CGAB于G，CDPB于D。 （1）求證AEF=CDG；（2）求AEF面積的最大值。18、等邊三角形ABC的邊長為a，沿平行BC的線段PQ折起，使平面APQ平面PBCQ，設(shè)點A到直線PQ的距離為x，AB的長為d（1） x為何值時，d2取得最小值，最小值是多少？（2）若BAC=，求cos的最小值。19、如圖，ABCD是矩形，其4個頂點在平面的同一側(cè)，且它們在平面內(nèi)的射影分別為A，B，C，D，直線AB與CD不重合，（1） 求證：ABCD是平行四邊形；（2） 在怎樣的條件下，ABCD是矩形？并證明你的結(jié)論。20、正三棱錐VABC的底面邊長為a，側(cè)棱與底面