三角形與全等三角形經(jīng)典習(xí)題及答案

1、全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個(gè)角對應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不一定全等。例1. 如圖，四點(diǎn)共線，。求證：。例2. 如圖，在中，是abc的平分線，垂足為。求證：。例3. 如圖，在中，。為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接和。求證：。例4. 如圖，/，/，求證：。例5. 如圖，分別是外角和的平分線，它們交于點(diǎn)。求證：為的平分線。例6. 如圖，是的邊上的點(diǎn)，且，是的中線。求證：。例7. 如圖，在中，為上任意一點(diǎn)。求證：。全等三角形綜合復(fù)習(xí)7月22日作業(yè)一、選擇題：1. 能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是( )a. 兩直角邊對應(yīng)相等b. 一銳角對應(yīng)相等c. 兩銳角對應(yīng)相等d. 斜邊

2、相等2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一的是( )a. ，b. ，c. ，d. ，3. 如圖，已知，增加下列條件：；。其中能使的條件有( )a. 4個(gè)b. 3個(gè)c. 2個(gè)d. 1個(gè)4. 如圖，交于點(diǎn)，下列不正確的是( )a. b. c. 不全等于d. 是等腰三角形5. 如圖，已知，則等于( )a. b. c. d. 無法確定二、填空題：6. 如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，且，則點(diǎn)到的距離等于_；7. 如圖，已知，是上的兩點(diǎn)，且，若，則_； 8. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_；9. 如圖，在等腰中，平分交于，于，若，則的周長等于_；10. 如圖，點(diǎn)在同一條直線上，/，/，且，若

3、，則_；三、解答題：11. 如圖，為等邊三角形，點(diǎn)分別在上，且，與交于點(diǎn)。求的度數(shù)。 12. 如圖，為上一點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)。求證：。答案例1. 思路分析：從結(jié)論入手，全等條件只有；由兩邊同時(shí)減去得到，又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件，可以是，也可以是。由條件，可得，再加上，可以證明，從而得到。解答過程：，在與中(hl)，即在與中(sas)解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再對比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰?/p>

4、等三角形及其全等條件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路。例2. 思路分析：直接證明比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉(zhuǎn)移”到。那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將延長交于，則構(gòu)造了fbd，可以通過證明三角形全等來證明2=dfb，可以由三角形外角定理得dfb=1+c。解答過程：延長交于在與中(asa 又 。解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3. 思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。以線段為邊的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯伞＝獯疬^程：，為延長線

5、上一點(diǎn)在與中(sas)。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應(yīng)邊和對應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4. 思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對角線，可以把原問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題。解答過程：連接/，/，在與中(asa)。解題后的思考：連接四邊形的對角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。例5. 思路分析：要證明“為的平分線”，可以利用點(diǎn)到的距離相等來證明，故應(yīng)過點(diǎn)向作垂線；另一方面，為了利用已知條件

6、“分別是和的平分線”，也需要作出點(diǎn)到兩外角兩邊的距離。解答過程：過作于，于，于平分，于，于平分，于，于，且于，于為的平分線。解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題。例6. 思路分析：要證明“”，不妨構(gòu)造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長至，使。解答過程：延長至點(diǎn)，使，連接在與中(sas)，又，在與中(sas)又。解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例7. 思路分析：欲證，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證明。由

7、于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段。而構(gòu)造可以采用“截長”和“補(bǔ)短”兩種方法。解答過程：法一：在上截取，連接在與中(sas)在中，即abacpbpc。法二：延長至，使，連接在與中(sas)在中， 。解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時(shí)，一般采用“截長補(bǔ)短”法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補(bǔ)短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣