2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第5節(jié)事件的獨立性與條件概率及其關(guān)系全概率公式學(xué)案含解析新人教B版

1、第5節(jié)事件的獨立性與條件概率及其關(guān)系、全概率公式一、教材概念結(jié)論性質(zhì)重現(xiàn)1條件概率定義一般地，當(dāng)事件b發(fā)生的概率大于0時(即p(b)0)，已知事件b發(fā)生的條件下事件a發(fā)生的概率，稱為條件概率表示p(a|b)計算公式p(a|b)性質(zhì)(1)0p(b|a)1；(2)p(a|a)1；(3)如果b與c互斥，則p(bc|a)p(b|a)p(c|a)2.事件的相互獨立性事件a與事件b相互獨立對任意的兩個事件a與b，如果p(ab)p(a)p(b)時，就稱事件a與b相互獨立(簡稱獨立)性質(zhì)如果事件a與b相互獨立，則與b，a與，與也相互獨立，p(b|a)p(b)，p(a|b)p(a)(1)易混淆“相互獨立”和“事

2、件互斥”兩事件互斥是指兩事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個事件相互獨立不一定互斥(2)易混淆p(b|a)與p(a|b)前者是在a發(fā)生的條件下b發(fā)生的概率，后者是在b發(fā)生的條件下a發(fā)生的概率3全概率公式(1)p(b)p(a)p(b|a)p()p(b|)(2)定理1若樣本空間中的事件a1，a2，an滿足：任意兩個事件均互斥，即aiaj，i，j1,2，n，ij；a1a2an；p(ai)0，i1,2，n.則對中的任意事件b，都有bba1ba2ban，且p(b)p(bai)p(ai)p(b|ai)二、基本技能思想活動體驗1判斷下列說法的正誤，對的

3、打“”，錯的打“”(1)相互獨立事件就是互斥事件( )(2)對于任意兩個事件，公式p(ab)p(a)p(b)都成立( )(3)p(b|a)表示在事件a發(fā)生的條件下，事件b發(fā)生的概率，p(ab)表示事件a，b同時發(fā)生的概率( )(4)若事件a，b相互獨立，則p(b|a)p(b)( )2已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們的大小和形狀完全相同甲每次從中任取一個球不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()a. b. c. d.b解析：設(shè)“第一次拿到白球”為事件a，“第二次拿到紅球”為事件b.依題意p(a)，p(ab).故在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率

4、p(b|a).3天氣預(yù)報，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為()a0.2b0.3 c0.38d0.56c解析：設(shè)甲地降雨為事件a，乙地降雨為事件b，則兩地恰有一地降雨為ab，所以p(ab)p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)0.20.70.80.30.38.4設(shè)甲乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6,0.4，汽車和火車正點到達目的地的概率分別為0.9，0.8.則甲正點到達目的地的概率為()a0.72b0.96 c0.86d0.84c解析：設(shè)事件a表示甲正點到達目的地，事件b表示

5、甲乘火車到達目的地，事件c表示甲乘汽車到達目的地，由題意知p(b)0.4，p(c)0.6，p(a|b)0.8，p(a|c)0.9.由全概率公式得p(a)p(b)p(a|b)p(c)p(a|c)0.40.80.60.90.320.540.86.故選c.5某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個問題，即停止答題，晉級下一輪假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于_0.128解析：記“該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪”為事件a.由題意知，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有

6、第二個問題回答錯誤，第三、四個問題回答正確，第一個問題可對可錯，故p(a)10.20.80.80.128.考點1相互獨立事件的概率基礎(chǔ)性12019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會發(fā)布了15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為高性能處理器“鯤鵬920”、清華大學(xué)“面向通用人工智能的異構(gòu)融合天機芯片”、特斯拉“特斯拉完全自動駕駛芯片”、寒武紀(jì)云端ai芯片“思元270”、賽靈思“versal自適應(yīng)計算加速平臺”現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項進行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為()a. b.

7、c. d.d解析：根據(jù)題意可知，1名學(xué)生從15項中任選1項，其中選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為，故其沒有選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為，則3名學(xué)生均沒有選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為.因此至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為1.故選d.2(2020天津市和平區(qū)高三二模)已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次(假定費用只可能為1,2,3元)甲、乙租車費用為1元的概率分別是0.5，0.2，甲、乙租車費用為2元的概率分別是0.2，0.4，則甲、乙兩人租車費用相同的概率為()a0.18b0.3c0.24d0.36b解析：由題意知甲、乙租車費用為3元的概率分別是0.3,0.4.所以甲、乙兩人所租車費用相同的概率為p

8、0.50.20.20.40.30.40.3.3(2019全國卷)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了x個球該局比賽結(jié)束(1)求p(x2)；(2)求事件“x4且甲獲勝”的概率解：(1)x2就是1010平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分因此p(x2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)x4且甲獲勝，就是1010平后，兩人又

9、打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分因此所求概率為0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面計算較煩瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算考點2條件概率基礎(chǔ)性(1)2020年初，新型冠狀肺炎在歐洲爆發(fā)后，我國第一時間向相關(guān)國家捐助醫(yī)療物資，并派出由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國家現(xiàn)有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁和4個需要援助的國家可供選擇，每個醫(yī)療小組只去一個國家設(shè)事件a“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事

10、件b“小組甲獨自去一個國家”，則p(a|b)()a. b. c. d.a解析：事件a“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事件b“小組甲獨自去一個國家”，則p(ab)，p(b)，p(a|b).故選a.(2)一個正方形被平均分成9個部分，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中)設(shè)投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域的事件記為a，投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事件記為b，求p(ab)，p(a|b)解：如圖，n()9，n(a)3，n(b)4，所以n(ab)1，所以p(ab)，p(a|b).求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求p(a)和p(ab)，得p(b|a)，這是求條件概率的通法

11、(2)借助古典概型概率公式，先求事件a包含的樣本點數(shù)n(a)，再求事件a與事件b的交事件中包含的樣本點數(shù)n(ab)，得p(b|a).1已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放著現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()a. b. c. d.d解析：設(shè)事件a為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件b為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則p(a)，p(ab)，則所求的概率為p(b|a).2將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件a為“三個點數(shù)都不相同”，b為“至少出現(xiàn)一個6點”，則條件概率p(a|b)_，p(

12、b|a)_.解析：p(a|b)的含義是在事件b發(fā)生的條件下，事件a發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個6點”的條件下，“三個點數(shù)都不相同”的概率因為“至少出現(xiàn)一個6點”有66655591(種)情況，“至少出現(xiàn)一個6點且三個點數(shù)都不相同”共有c5460(種)情況，所以p(a|b).p(b|a)的含義是在事件a發(fā)生的條件下，事件b發(fā)生的概率，即在“三個點數(shù)都不相同”的條件下，“至少出現(xiàn)一個6點”的概率因為“三個點數(shù)都不相同”有654120(種)情況，所以p(b|a).考點3全概率公式基礎(chǔ)性甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的

13、概率；(2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率解：(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品的事件數(shù)為c28，這2個產(chǎn)品都是次品的事件數(shù)為c3.所以這2個產(chǎn)品都是次品的概率為.(2)設(shè)事件a為“從乙箱中取出的一個產(chǎn)品是正品”，事件b1為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是正品”，事件b2為“從甲箱中取出1個正品1個次品”，事件b3為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是次品”，則事件b1、事件b2、事件b3彼此互斥p(b1)，p(b2)，p(b3)，p(a|b1)，p(a|b2)，p(a|b3)，所以p(a)p(b1)p(a|b1)p(b2)p(a|b2)p(b3)p(a|b3).通常把b1，b2，bn看成導(dǎo)致a發(fā)生的一組原因如若a是“次品”，必是n個車間生產(chǎn)了次品；若a是“某種疾病”，必是幾種病因?qū)е耡發(fā)生；若a表示“被擊中”，必