萊布尼茨與微積分

1、萊布尼茨與微積分今天 , 微積分已成為基本的數學工具而被廣泛地應用于自然科學的各個領域。 恩格斯說過 :“在一切理論成就中, 未有像十七世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了, 如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績, 那就正是在這里。 ”接下來我將從五個方面來介紹萊布尼茨的生平事跡。一、人物簡介戈特弗里德威廉萊布尼茨（GottfriedWilhelm Leibniz ，1646 年 1716年），德國哲學家、數學家。涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個范疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。二、人物生平早期（致力于哲學） ：1. 生于

2、公元 1646 年 7 月 1 日書香之家，父親道德哲學教授，母親出身于教授家庭。2. 8 歲時，萊布尼茨進入尼古拉學校，學習拉丁文、希臘文、修辭學、算術、邏輯、音樂以及圣經 、路德教義等。3. 1661 年， 15 歲的萊布尼茨進入萊比錫大學學習法律。4. 1663 年 5 月，他以論個體原則方面的形而上學爭論 一文獲學士學位。晚期（致力于自然科學）：1. 1667 年 2 月，萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇數學論文論組合的藝術2. 1672 年，萊布尼茨作為一名外交官出使巴黎，深受惠更斯的啟發(fā)，決心鉆研高等數學，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作，開始微積分的創(chuàng)造性工作。3. 1684 年

3、 10 月在教師學報上發(fā)表的論文一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算 ，是最早的微積分文獻。4. 1686 年發(fā)表他的第一部積分學論文深奧的幾何與不可分量及無限的分析，提出擺線方程y2xx2dx，這篇論文中第一次出現在2xx2印刷板物上。5. 1713 年，萊布尼茨發(fā)表了微積分的歷史和起源一文，總結了自己創(chuàng)立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。6. 公元 1716 年 11 月 14 日，由于膽結石引起的腹絞痛臥床一周后，萊布尼茨孤寂地離開了人世，終年 70 歲。三、個人成就（一）微積分的創(chuàng)立1創(chuàng)立了很多微積分符號1675 年到 1677 年

4、他創(chuàng)造出了 dx, dy,這些符號，用 dx 表示相鄰兩個 x 的差；dy表示相鄰兩個 y 的差，也是函數的微分； 用 dy 表示成切線的斜率；dx代替了以前的和號“omn”（是 sum的第一個字母）；ydx 表示面積。2. 給出了 dy 的演算法則加法和減法：如果 vx ywz ，則 dv dx dy dw dz乘法： yvx, dyxdvvdx除法： dvvdy mydv，等。yy23. 微積分基本定理萊布尼茲在手稿中闡述：給定一條曲線，其縱坐標為y ，求該曲線下的面積。他假設可以求出一條曲線（他稱之為割圓曲線），它的縱坐標為z ，使得：dzdz z ，萊布尼茲通常假設曲y 即 dz yd

5、x 。他發(fā)現曲線的面積 ydxdx線 z 通過原點。這就將求面積的問題轉化成了反切線的問題，即要求曲線的面積只需要找到一條曲線， 使它 的切線的斜率為dzy ，如果實在區(qū)間a, bdxb上，則只需用在0,b的面積減去0,a 的面積便得到ydxz bz a 。a問題的關鍵：沒有發(fā)現微分和積分是互逆的兩種運算，而這正是微積分建立的關鍵所在。只有確立了這一基本關系，才能在此基礎上構建系統的微積分學。微積分創(chuàng)建工作的完成：1、萊布尼茨 1684 年 10 月在教師學報上發(fā)表的論文一種求極大極小的奇妙類型的計算，是最早的微積分文獻。對微積分的創(chuàng)建有著劃時代的意義。2 、萊布尼茨從幾何問題出發(fā)，運用分析學

6、方法引進微積分概念、得出微積分運算法則。3 、萊布尼茨創(chuàng)建巧妙簡潔的微積分符號 ，對微積分的發(fā)展有極大影響 。4 、1713 年，萊布尼茨發(fā)表微積分的歷史和起源一文，總結了自己創(chuàng)建微積分的歷程。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分的比較：牛頓堅持唯物論的經驗論 , 特別重視實驗和歸納推理。他在研究經典力學規(guī)律和萬有引力定律時 , 遇到了一些無法解決的數學問題 , ，因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法流數法。“牛頓的研究采用了最初比和最后比的方法。他認為流數是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬間的比值 , 消失量的最后比就是量在消失的瞬間的

7、比值。 ”這個解釋太模糊了 , 算不上精確的數學概念 , 只不過是一種直觀的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度與末速度的數學抽象 , 在物體作位置移動的過程中的每一瞬間具有的速度是自明的 , 牛頓就是從這個客觀事實出發(fā)提出了最初比和最后比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點。萊布尼茲的微積分創(chuàng)造始于研究“切線問題”和“求積問題” , 他從微分三角形認識到 : 求曲線的切線依賴于縱坐標之差與橫坐標之差的比值 ; 求曲邊圖形的面積則依賴于在橫坐標的無限小區(qū)間上的縱坐標之和或無限薄的矩形之和。萊布尼茲認識到求和與求差運算是可逆的。萊布尼茲用無窮小的思想給出了微積分的基本定理 , 并發(fā)展成為高階微

8、分。萊布尼茲在微積分的研究過程中 , 連續(xù)性原則成為其工作的基石 , 而連續(xù)性原則是扎根于他哲學中無限的本質的思想。一、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的相同點：1、都使微積分不再是幾何學的延伸，建立在符號運算的基礎上，具有一般性，使之成具有廣泛應用的學科；2、把求積問題歸結為微分問題的逆問題，從而建立了微積分基本定理；3、把微積分建立在實無窮小的基礎上，后來他們?yōu)榛乇軣o窮小運算上的矛盾，不自覺地使用了極限概念；4、用代數的方法從過去的幾何形式中解脫出來; 都研究了微分與反微分之間的互逆關系。二、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的不同點：1、他們建立微積分的出發(fā)點不同。牛頓是在力學研究的基礎上，運用幾何方法研

9、究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和面積的問題上，運用分析學方法引進微積分要領的。2、微積分工作的側重點不同。牛頓關心微積分體系和基本方法的建立；而萊布尼茲運算公式的建立與推廣。在積分上，牛頓偏重于求積分的逆運算，即不定積分；而萊布尼茨側重于求微分的和，即定積分。牛頓在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣精深；但萊布尼茲的表達形式簡潔準確，勝過牛頓。3、對微積分具體內容的研究不同。牛頓先有導數概念，后有積分概念；萊布尼茲則先有積分概念，后有導數概念。4、對無窮小認識的程度不一樣。牛頓不分階，而萊氏分階，認識比前者深刻。雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法不同，但他們殊途同歸，各自獨立完

10、成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，正是因為有了牛頓與萊布尼茲的工作，才使微積分成為獨立的學科并給整個自然科學帶來革命性的影響。他們創(chuàng)立的微積分,對科學發(fā)展具有深遠的影響（二）數學上的貢獻1、始創(chuàng)微積分。2、對負數和復數的性質的探討。3、首次引入行列式的概念。4、數理邏輯的首創(chuàng)者和真正奠基人。（三）物理方面的貢獻1、提出了能量守恒定律的雛形。2、證明了永動機的荒謬性。3、提出馬里奧特萊布尼茨理論。4、利用微積分求極值的方法推導出折射定律。（四）哲學? 突出了著名的“單子論”? “沒有兩片完全相同的樹葉，世界上沒有性格完全相同的人?！?萊布尼茨（五）“乘法機”的發(fā)明? 受八卦啟發(fā)，率先為計算機設計系統提出二進

11、制運算法則，為計算機的現代發(fā)展奠定了基礎。? 能進行乘除運算的“乘法機”的發(fā)明。四、著作目錄? 1663 年 5 月，以論個體原則方面的形而上學爭論 一文獲學士學位 。? 1664 年 1 月，萊布尼茨完成了論文論法學之艱難 ，獲哲學碩士學位。?1667 年 2 月 他以論文論身份獲法學博士學位。? 1667 年發(fā)表了他的第一篇數學論文論組合的藝術 。? 1684 年 10 月發(fā)表論文一種求極大極小的奇妙類型的計算 ，是最早的微積分文獻。? 1677 年，萊布尼茨發(fā)表通向一種普通文字 ，人們公認他是世界語的先驅。? 1677 年，萊布尼茨發(fā)表通向一種普通文字 ，人們公認他是世界語的先驅。? 1

12、693 年，萊布尼茨發(fā)表原始地球一書一定程度上促進了 19 世紀地質學理論的發(fā)展。?1703 發(fā)表論文二進位算術的闡述關于只用0 和 1 兼論其用處及伏羲氏所用數字的意義，為二進制的創(chuàng)立奠定了基礎。? 1713 年，萊布尼茨發(fā)表微積分的歷史和起源一文，總結了其獨立創(chuàng)建微積分的總過程。五、評價“當一個人考慮到自己并把自己的才能和萊布尼茨的才能來作比較時，就會弄到恨不得把書都丟了去找個世界上比較偏僻的角落藏起來以便安靜的死去。這個人是混亂的大敵：罪錯綜復雜的事物一進入他的心靈就弄得秩序井然。他把兩種幾乎不相容的品質結合在一起了，這就是探索發(fā)現的精神和講求條理的精神； 而他借以積累起最廣泛的各種不同種類知識最堅毅又最五花八門的研究既沒有剝弱這一品質，也沒有剝弱另一種品質。就哲學家和數學家這兩個詞所能具有的最充分的意義來說，他是一位哲學家和一位數學家。 ”狄德羅六、總結萊布尼茨是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼