精算模型第2章

1、第二章第二章 個別保單的理賠額和理賠次個別保單的理賠額和理賠次數(shù)數(shù)第一節(jié) 理賠額的分布一、常用名詞 投保人（insurer）承保人, 保險公司（insurance）損失事件（loss event or claim） 注意：事故不等于損失事件損失額（loss）理賠事件（payment event）賠付額，理賠額（amount paid） 注意：損失事件不等于理賠事件，理賠額不等于損失額 記號： X表示投保人實際損失額（ground-up loss）。 Y表示保險人每次理賠事件的賠付額(amount paid per payment)，簡稱理賠額; Y*表示投保人每次損失事件中獲得的實際索賠額(a

2、mount paid per loss) 二、常見的部分賠償形式1、免賠額（deductible）含義：當(dāng)損失額低于某一限額時不做賠償，這一限額稱為免賠額（或自付額），當(dāng)損失額高于免賠額，只賠償高出的部分。例如 免賠額為50元數(shù)學(xué)形式：0LXdYXdXdPundefinedXdYXdXd例例1：已知某風(fēng)險標的的原始損失額如下：x()P Xx012340.40.20.20.150.5假設(shè)免賠額為1，求每次理賠事件的賠付額Y和每次損失事件的賠付額的分布。()P Xxy()LP Yy012340.40.20.20.150.05001230.2/0.40.15/0.40.05/0.40.40.20.2

3、0.150.05()PP YyxYL的分布容易計算，(0)(0)()( )LLXYFP YP XdFd( )()(),y0LXYFyP XdyFdy()0()0LYXP XdyffdyyYP的分布是在Xd的條件下，Xd的條件分布。記YP的分布函數(shù)記為F YP(y)，當(dāng)y0時為，( )()(|)PPYFyP YyP Xdy Xd(,)()P Xdy XdP Xd()( )1( )F ydF dF d當(dāng)y0時， (0)0PYFYP的分布密度函數(shù)可以寫為()( )( ),01( )PYYdf xdfxFxxdxF d2、保單限額（Policylimit）含義：每次保險事故中按保險單所約定的最高賠償金

4、額。例如:最高保單限額為1500元數(shù)學(xué)形式：,PLXXuYYuXu( )()( ),PXYFyP XyFyyu( )()1,PPYFyyyuYP( )( )()PXYfyyufyP Xuyu請問：當(dāng)免賠額和保單限額同時存在時，情況會怎樣？例例2:設(shè)某醫(yī)療保險單上規(guī)定了免賠額為100,保單限額為5,000，有三個投保人看病花費分別為50,4000,和5500,問他們獲得的賠付額各是多少?注意：如果同時規(guī)定最高保單限額為u，免賠額為d，則投保人所能得到的最高賠償金額為u。0,LXdYXddXuduXud,PXdYXddXuduXud未定義解解：設(shè)Xi表示第i個投保人的損失額,Yi表示他所獲得的賠付

5、,則所以，由X1=40,X2=4000,X3=5500,得Y1=0,Y2=4000-100=3900,Y3=5000Yi0,Xi100,5000,Xi100100 Xi5100Xi5100例例3：假設(shè)某險種的保單規(guī)定免賠額為100元，保單限額為900元。假設(shè)損失服從Weibull分布，求理賠額YP的分布。( )1,0,0,0 xF xex 解解：設(shè)X表示實際損失額，YP表示理賠額，則100100,1001000900,1000PXYXXXYP的分布函數(shù)和分布密度分別為0(100)(100)( ),09001(100)9001,XXYXyFyFFyyFy0,未定義(100),09001(100)

6、1(1000)( ),9001(100)0,900PXXXYXfyyFFfyyFy當(dāng)y900時，1(1000)exp (1000) (900)1(100)exp (100) pXYXFfF當(dāng)時，0900y1(100)(100)exp(100) ( )1(100)exp (100) PXYXfyyxfyF 3、比例分擔(dān)含義：在保險單中約定一個比例常數(shù)，當(dāng)損失事故中的實際損失額為X時，保險公司只賠付aX，例如，a0.8LPYYXa1( )()PXYyfyfaa當(dāng)免賠額、保單限額和比例分擔(dān)三者同時存在時,(),(),PXdYXddXLLdXLaa未定義0,(),(),LXdYXddXLLdXLaa三

7、、理賠額的期望 記號0()dXdIXXdXdXXdXddXd顯然，()dXdXIX設(shè)X表示損失額，YP表示每次賠償理賠額，YL每次損失的賠付額免賠額情形：(),|LLdYIXYYXdXd Xd保單限額()PLuYYXuXIX保單限額、免賠額同時存在()()(),|LPLdu dYXudXdIXIXYYXd比例分擔(dān)、保單限額、免賠額同時存在：()()()Ldu dYXudXdIXIXaa1、有限期望函數(shù) 性質(zhì)1.ddFddxxxfdXE)(1 ()()(lim()()dE XdE X2.對于非負隨機變量X,ddFddxxxfdXE0)(1 ()()(3、對非負隨機變量X,0()(1( )dE X

8、dF x dx證明：0000()( )(1( )(1( )|(1( )(1( )(1( )ddddE Xdxf x dx dF dxF xF y dy dF dF x dxE(X(ud)E(Xd) (1F(x)dxdud例例4 4：設(shè)某險種的損失額X具有密度函數(shù)5)3(324)(xxfx0,假定最高理賠額為u=4萬元,求理賠額的期望是多少?解解：設(shè)理賠額為Y，則XXuYYXuuXu4054032432481( )(3)|1(3)4(3)xxF xdyyyx 由3027()(1( )1(3)dE XdF x dxd 知327( )(4)10.9212(34)E YE X 2、剩余期望函數(shù) E(X

9、)，eX(d)與E(Xd)的關(guān)系() ( )( )(|)1( )Xdxd f xedE Xd XddxF d()()( )1( )XXE XE XdedFdE(X)=E(Xd)+eX(d)(1-F(d)例例5：設(shè)某險種的損失額X具有密度函數(shù)5324( ),0(3)f xxx假定免賠額等于0.2萬元,求每次損失事件實際賠付額和每次理賠額事件理賠額Y的期望。解解4054032432481( )(3)|1(3)4(3)xxF xdyyyx 經(jīng)計算得到 ，且()1E X 41(0.2)81/(3.2)0.7724XF327(0.2)10.1760(30.2)E X 0.2()()(0.2)1 0.17

10、600.8240E IXE XE X ()(0.2)1 0.1760( )1.0671(0.2)0.7725XE XE XE YF上面的例子可以總結(jié)為下面的定理： 定理定理 設(shè)X表示實際損失額，免賠額為d，比例分擔(dān)額a,保單覆蓋的最大損失u，則每次損失賠付額YL和賠償?shù)睦碣r額Y的期望分別為() ()()LE YE XuE Xda() ()()()1( )1( )LPXXE YE XuE XdE YFdFda證明：保單覆蓋的最大損失u，則最高賠償額為0,(),(),LXdYXddXuudXuaa可以表示為()()LYXuXda所以() ()()LE YE XuE Xda由于YP是Xd條件下，的值

11、，因此LY() ()()()1( )1( )LPXXE YE XuE XdE YFdFda()uda四、通貨膨脹效應(yīng)1、通貨膨脹率已知為r對損失額的影響設(shè)X表示過去時期內(nèi)損失額,Z表示現(xiàn)在或未來時期內(nèi)的損失額,則兩者的關(guān)系為Z=(1+r)X。容易計算得到2( )()(1)1( )()(1)(1)( )(1) (),var( )(1) var()ZXZXzFzFrzfzfrrE Zr E XZrX 對理賠額的影響：定理：定理：設(shè)X表示實際損失額,免賠額為d,保單覆蓋的最大損失u和比例分擔(dān)額a,通貨膨脹率為r,則明年每次損失賠付額為0,/ (1)(1),/ (1)/ (1)(),/ (1)LXdr

12、Zr XddrXurudXuraa每次理賠的理賠額為/(1)(1),/(1)/(1)(),/(1)PXdrZr XddrXurudXuraa*()(1) ( / (1)-(/ (1)E ZarE XurE Xdr(1) ( / (1)-(/ (1)( )1()1XarE XurE XdrE ZdFr例例6假設(shè)某險種在2003年的實際損失額服從離散分布。保單上規(guī)定每次損失的免賠額為1500元。假設(shè)從2003年到2004年的通貨膨脹額為5，2004年的免賠額保持不變，求2004年的每次損失賠付額的期望是多少。比今年相比，增長率是多少？121000()(123456) 100066E X 解解15

13、15008500(1500)1000666E X150015 15008550()10001.0566 1.056 1.05E X今年每次損失的索賠額為明年每次損失的索賠額為*()()(1500)(210008500)/612500/6E YE XE X*11500()1.05 ()()13500/61.05E YE XE X增長率為82 通貨膨脹率是隨機的考慮模型Y=CX,隨機變量C和X是獨立的,C1，C表示隨機通貨膨脹,一般是主觀預(yù)測得來，設(shè)其分布函數(shù)為FC(c),密度為fC(c)。若X的分布函數(shù)為( , )F x滿足 ，則( , )( ,)cXXFxFx c00( )(|)( )( ,)

14、( )YCXCFyP cXy Cc fc dcFy cfc dc0( )( ,)( )YXCfyfy cfc dc容易計算出，明年的損失額的期望和方差為( )()( ) ()E YE CXE C E X22( )() ()()( )Var YVar X E CE XVar C22222222222222( )()( )()() ()() ()() ()( )()()()()( )Var YE C XE CE XE CE XE CE XE CE XE CE XE C Var XE XVar C這是因為例例7預(yù)測明年的通貨膨脹率在2%到6%之間，而且低通貨膨脹率的可能性更大。設(shè)損失X服從均值為10

15、的指數(shù)分布，求明年損失額的期望。101( )10 xXfxe解解：不妨考慮這樣一個密度函數(shù)1( ),1.02c1.06Cfcac其中1.061.0211.06ln()0.0384661.02adcc這個密度函數(shù)滿足低通貨膨脹率的可能性更大這個條件。經(jīng)計算得到C的期望和方差為1.061.021 11.06 1.02( )1.0399E Ccdca ca221.06221.021 11.061.02()1.08152E Ccdca ca于是由公式計算得到( )( ) ()1.0399(10)10.399E YE C E Xvar(Y) var(X)E(C2)(EX)2var(C) (1.0815)

16、(102)(10)2(0.00013) 108.16第2節(jié) 理賠次數(shù)主要內(nèi)容1、母函數(shù)與矩母函數(shù)2、一張保單的理賠次數(shù)分布3、理賠次數(shù)的混合分布4、理賠次數(shù)的復(fù)合分布5、免賠額對理賠次數(shù)分布的影響1、N的母函數(shù)與矩母函數(shù) 設(shè)N是一個離散隨機變量，取值于 0,1,2,記(),0,1,2,.kpP Nk k( )kNkk oPzp z其母函數(shù)為矩母函數(shù)為0( )zkNkkMze p母函數(shù)與矩母函數(shù)的關(guān)系( )()zNNMzP e 母(矩母)函數(shù)性質(zhì)1、若N的母(矩母)函數(shù)存在，那么母(矩母)函數(shù)與分布函數(shù)是相互唯一決定的。2、由母(矩母)函數(shù)可以導(dǎo)出矩的計算： 122222(1)()(1)(1)(

17、1)()()()()()(1)(1)(1)kkkkPkpE NPk kpE N NE NE NVar NE NE NPPP請問(0)?(0)?NNMM3、設(shè)NN1+Nn,Ni相互獨立，則11( )( )( )( )jjnNNjnNNjPzPzMzMz二、一張保單的理賠次數(shù)分布 1、泊松分布(Poisson)對于保險公司而言，客戶因發(fā)生損失而提出理賠的人數(shù)類似于等待服務(wù)現(xiàn)象，因此對大多數(shù)險種來說，個別保單的理賠次數(shù)可用泊松分布來表示，即在單位時間內(nèi)個別保單發(fā)生理賠次數(shù)N的分布列為：()( ),0,1,2,!kttP N tkekk在單位時間內(nèi)理賠次數(shù)N的分布列為(),0,1,2!kkpP Nke

18、kk泊松分布的性質(zhì)：（1）均值和方差（2）母函數(shù)（3）矩母函數(shù)（4）可加性()()E NVar N()( )exp( (1)!kkkNk ok ozPzz eezkk(1)( )()ttNeM tE ee定理定理1：設(shè),是相互獨立的泊松隨機變量，參數(shù)分別為，則服從泊松分布，參數(shù)為。證明：1N111( )( )exp(1)exp(1)innnNNiiiiiPzPzzz故N服從泊松分布，參數(shù)為。（5）可分解性）可分解性假設(shè)損失事故可以分為m個不同類型C1,CmEi表示第i類事故發(fā)生。pi表示第i類事故發(fā)生的概率，Ni表示第i類事故發(fā)生的次數(shù)，N表示所有事故發(fā)生的次數(shù)。定理定理2 2：若N服從參數(shù)為

19、的泊松分布，則N1,N2,Nn都是相互獨立的，且服從泊松分布，參數(shù)分別是pi，。證明證明：給定N=n，Ni|n服從二項分布B(1,pi)，N1,Nn服從多項分布因此其中nn1+n2+nn(1)()(|) ()(1)!()!()!jjjjjjjjjjjjjn nnnnn nnjjn nnpjjnpjjP NnP NnNn P NneCppnpeenpen因此，的聯(lián)合分布等于Ni分布的乘積，Ni是相互獨立的隨機變量。例例1：設(shè)N表示損失事故發(fā)生的次數(shù)，X表示損失額，服從泊松分布，=10，XU0,20。問損失額超過5的事故發(fā)生次數(shù)的概率分布。解解：令E表示事件“損失額超過5”所以損失額超過5的次數(shù)服

20、從參數(shù)為100.75=7.5的泊松分布。2051( )0.7520P Edx例例2：假設(shè)某險種的個體保單損失X的分布為又假設(shè)個體保單在一年內(nèi)發(fā)生的損失事件的次數(shù)N服從泊松分布，200。Ni表示損失額為i的損失事件的次數(shù)。（1）求的分布。（2）假設(shè)免賠額為1，求個體保單在一年內(nèi)發(fā)生的理賠事件次數(shù)的分布。(1)0.40,(2)0.35,(3)0.25XXXfff123,N NN解解：由于，且N服從泊松分布，由定理知，Ni相互獨立且服從泊松分布。參數(shù)i等于計算得到123NNNN()200 ()iP XiP Xi12380;70;50（2）留作課堂練習(xí)2、其他常見的理賠次數(shù)分布（1）負二項分布）負二項

21、分布其中：11()() () ,1,0,1,2,.11krkkrpP Nkrkk (1)(1),01,1!xx xxkppqkk 負二項分布的性質(zhì)（1）當(dāng)r1，負二項分布退化為幾何分布（2）母函數(shù)1() ()11kkkppq001( )(1)11() (1)111krkNkrkrkrkrPzqqzkkrqqzqzkqzqqz注意：我們這里的負二項是廣義的負二項分布，r可以為非整數(shù)。將化簡得到( )(1(1) ,rNqPzzp11rqqz（3）均值和方差()rqE Nrp2()(1)rqVar Nrp()()E NVar N（2）二項分布性質(zhì)00( )() (1)(1)(1(1)kkm kNkk

22、kmmmPzz pqzqkqzqq z（1）母函數(shù)與矩母函數(shù)()(1(1)zmNMzq e（2）均值與方差111()( )|(1(1)|mNzzE NPzmqq zmq()(1)Var Nmqq()()E NVar N請問：如何從觀察數(shù)據(jù)簡單區(qū)別負二項分布、二項分布和泊松分布例例3：設(shè)有100個40歲的投保人投保生命險，q表示一個投保人明年死亡的概率，問明年死亡人數(shù)的分布是什么？3、(a,b,0)分布族上述3種分布都可以用(a, b, 0)分布來表示定義定義：設(shè)隨機變量N的分布列滿足則稱分布族為(a, b, 0)分布族 000,01kkkppp且，注：泊松分布，二項分布，負二項分布是（a,b,

23、0)分布族泊松分布：11( )!( )(1)!kkkkepkpkek負二項分布00,abpe，1111() ()1121()()111krkkrkkrkpkrpk121(1)(2)(1)!(2)1k rkk rkkrkrrkkkrrkrk 111(1) 111kkpkrpkrk 因此，0(1)10,()111rrabp當(dāng)r1時，負二項分布是幾何分布，二項分布 1111( ) ( )1(1)1( )( )mkm kkkmkm kkkpqpmkppmppkqqqkpq 0(1),mpnpabpqqq 11kkpp1a0b 01(1)1pq例例4：設(shè)N是一隨機變量，令，如果問N的分布是什么？()kp

24、P Nk1143kkppk 解：由知，N服從二項式分布1031 (1),43pnpqq1311,44npq解出練習(xí)練習(xí)：設(shè)X的分布屬于(a,b,0)分布族，已知(0)(1)0.25(2)0.1875P XP XP X求(3)P X 三、理賠次數(shù)的混合分布 背景：從保單中隨意抽取一份保單，求該保單的理賠次數(shù)分布。同質(zhì)性：指所有的保單相互獨立，且都有相同的風(fēng)險水平，即各保單的損失額的分布相同，損失次數(shù)的分布也相同。非同質(zhì)性：保單組合中的每個保單風(fēng)險水平各不相同。表示其風(fēng)險水平。 數(shù)學(xué)模型設(shè)Q是一個隨機變量，當(dāng)Q時，令 為Q的累積分布，u為的密度函數(shù)，則N的分布列為 或者N的分布稱為混合分布。 (

25、)(|)kpP NkQ ( )()vPQ ()( ) ( )kkpP Nkpud()( ) ( )ikkiipP Nkpu例例5：某司機總體被平均分成兩個類型。每個司機發(fā)生車禍的次數(shù)都服從泊松分布。第一種類型的司機的平均發(fā)生車禍的次數(shù)服從（0.2，1.8）的均勻分布。第二種類型的司機的平均發(fā)生車禍的次數(shù)服從（0.5，2.0）的均勻分布。從這個總體中隨機抽取一個司機，求他不發(fā)生車禍的概率。1.80.21.80.2110|10.40841.61.6P Nedee類別解解2.00.520.5110|20.31411.51.5P Nedee類別00110220.50.40840.31410.3613P

26、 NP NPP NP類別類別類別類別 混合分布性質(zhì) 1.母函數(shù)或者其中PN(z|)表示在Q條件下，N的母函數(shù)。2均值和方差 ( )( | ) ( )NNPzPzud( )( |) ( )NNiiPzPzu()( (|)E NE E NQ()(|) (|)Var NE Var NVar E NQQ 常見的幾種混合泊松分布1、離散型混合對于規(guī)模較小的保單組合，假設(shè)保單組合由n種不同的風(fēng)險水平構(gòu)成，泊松參數(shù)取值于, ，設(shè)，。當(dāng)Lk時，保單的損失次數(shù)服從參數(shù)為k的泊松分布。則從保單組合中任意抽取一份保單的分布為()kkaPL 例例6：假設(shè)投保車險的駕駛員可以分為兩類，他們出事的次數(shù)服從泊松分布，其中好

27、的一類的泊松參數(shù)為0.11，壞的一類的泊松參數(shù)為0.70，好的駕駛員和壞的駕駛員的比例為0.94和0.06，則任意一個駕駛員出事的次數(shù)分布時多少？12120.700.11()(1)!0.700.110.060.94!kkkkeeP Nkppkkeekk解2、連續(xù)型的混合對于規(guī)模較大的保單組合，可以假設(shè)其中的泊松參數(shù)服從連續(xù)分布。以u()表示的密度函數(shù)，通常稱為結(jié)構(gòu)函數(shù)。則從保單組合中隨機抽取一份保單的損失次數(shù)分布為性質(zhì)：(1)母函數(shù)的表達式0()( )!keP Nkudk(1)(1)(1)( )( )()( )()zzzP zeudeudP eQ（2）結(jié)構(gòu)函數(shù)的唯一性，設(shè)P1和P2是兩個混合泊

28、松分布的母函數(shù)，分別表示為若P1(z)=P2(z)，則u()=v(。(1)1(1)2( )( )( )( )zzP zeudP zevd例例7：設(shè)Q的母函數(shù)為求N的分布。解解：利用母函數(shù)公式()logPzaQ( )logexp( (1)(1)1(1)NPzzzzaaa定理定理3：設(shè)保單組合中每張保單的理賠次數(shù)N服從泊松分布，但參數(shù)是一個隨機變量，隨每張保單變化而變化。若服從伽瑪分布，則N服從負二項分布。 1feaaaL四、理賠次數(shù)的復(fù)合分布問題：一次損失事故的發(fā)生可能會導(dǎo)致多份保單同時發(fā)生索賠，如何求索賠次數(shù)的分布。例1：設(shè)從城市A到城市B的某航線每個月有70個航班，假設(shè)每個航班有 的可能性取

29、消，假設(shè)每次飛行有 的概率出事。進一步假設(shè)每趟飛機有200個座位，每次飛行有 的就座率和6個機組人員，假設(shè)出事飛機上的每個人都死亡，并且都買了保險。求每個月此航線的索賠次數(shù)的期望和方差。.解：令S 表示下個月此航線的總索賠次數(shù) N表示下個月出行的航班數(shù)P表示飛機上的人員數(shù)，M 表示乘客數(shù)11( , ),70,0.98NB n p np22(, ),200,0.9MB np np6PMD00.999990.00001DP12NSDDDD表示發(fā)生事故的死亡人數(shù)，則。12NSDDD定義：設(shè) M和N 分別為兩個計數(shù)隨機變量， iid 與 M的分別相同，則 N 的分布稱為 的復(fù)合分布, 的分布稱為第一分

30、布，M 稱為第二分布。背景： N表示單位時間內(nèi)損失事故的發(fā)生數(shù)，M表示第i個損失事故產(chǎn)生的索賠次數(shù)，S表示單位時間內(nèi)索賠的總次數(shù)。 12,NM MM12NSMMMS的性質(zhì) 母函數(shù)( )( )SNMP zPPz0012000( )() (|)()(|)()( )( )kSknkNnknMNMnP zP Nn P Sk Nn zP Nnz P MMMk NnP Nn PzPPz 例1： M服從泊松分布，N 服從泊松分布，2(1)1( )( )exp(1)zSNMP zPPze1(1)( )zNPze2(1)( )zMPze， 例2：求例1中S的母函數(shù)： 70( )(1(1)(1 0.98(1)nN

31、Pzp zz(0)0.99999Df(6)0.00001 ()DfjP Mj62000( )( )0.999990.00001 (1 0.9(1)kDDkPzz fkzz620070( )( )10.98(0.999990.00001(10.9(1)1)SNDP zPPzzz， 均值和方差00( )( |) ()() ()() ()nnE SE S Nn P NnnE M P NnE M E N2( )( |)( ( |)()()()()() ()Var SE Var S NVar E S NE NVar MVar NE ME N Var MVar N E M 例1續(xù)：求例1中S的期望和方差1()68.6E Nn p()70 0.98 0.021.372V