[1.3.2球的體積和表面積

1、藍(lán)溪中學(xué) 陳坤裕球的概念球的概念球的截面的形狀圓面圓面球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓大圓不過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的不過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓小圓 學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來(lái)所以學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來(lái)所以我們先來(lái)回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法我們先來(lái)回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法 我們把一個(gè)半徑為我們把一個(gè)半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來(lái)，把一個(gè)圓近似的看成是邊長(zhǎng)分別是拼接起來(lái)，把一個(gè)圓近似的看成是邊長(zhǎng)分別是.的的矩矩形形和和RR 當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來(lái)越高

2、；當(dāng)當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來(lái)越高；當(dāng)份數(shù)無(wú)窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式份數(shù)無(wú)窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式法法導(dǎo)導(dǎo)出出球球的的體體積積公公式式下下面面我我們們就就運(yùn)運(yùn)用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變變?yōu)闊o(wú)窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積為無(wú)窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和,21RRr ,)(222nRRr ,)2(223nRRr AOB2C2AO

3、OR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOAnininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半半球球)1(2122223nnnnR 6) 12() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).343233RVRV 從從而而半半球球334RVR 的的球球的的體體積積為為：定定理理：半半徑徑是是2)2)若每小塊表面看作一個(gè)平面若每小塊表面看作一個(gè)平面, ,將每小塊平面作為底面將每小塊平面

4、作為底面, ,球心作為球心作為頂點(diǎn)便得到頂點(diǎn)便得到n n個(gè)棱錐個(gè)棱錐, ,這些棱錐體積之和近似為球的體積這些棱錐體積之和近似為球的體積. .當(dāng)當(dāng)n n越大越大, ,越接近于球的體積越接近于球的體積, ,當(dāng)當(dāng)n n趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球的體積趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球的體積. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果將表面平均分割成但如果將表面平均分割成n n個(gè)小塊個(gè)小塊, ,每小塊表面可近似看作一個(gè)平面每小塊表面可近似看作一個(gè)平面, ,這這n n小塊平面面積之和可近似小塊平面面積之和可近似看作球的表面積看作球的表面積. .當(dāng)當(dāng)n n趨近于無(wú)窮大時(shí)趨近于

5、無(wú)窮大時(shí), ,這這n n小塊平面面積之和接小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積近于甚至等于球的表面積. . 球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公式呢求出，如何求球的表面積公式呢? ?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法, ,是否也可借助于這種是否也可借助于這種極限極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式呢思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式呢? ? 下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式oiS o第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n

6、 n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：nSSSS ,321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確和和RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: “: “小小錐體錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132

7、RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 從從而而Rhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 例例1.1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cmRV 練習(xí)練習(xí)1 1：把直徑是：把直徑是5cm5cm的鋼球放入一個(gè)正方體的鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中的有蓋紙盒中, ,至少要用多少紙至少要用多少紙? ?用料最省時(shí)用料最省時(shí), ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體2215056cmS 側(cè)側(cè)側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱

8、長(zhǎng)為5cm例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球個(gè)頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問(wèn)球的球面上，問(wèn)球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A

9、 AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是它的棱長(zhǎng)是4cm,這個(gè)球的體積為這個(gè)球的體積為cm3. 8 3323.有三個(gè)球有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于一球切于正方體的各側(cè)棱正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn)一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這求這三個(gè)球的體積之比三個(gè)球的體積之比_.1.球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉?lái)的倍體積變?yōu)樵瓉?lái)的倍.練習(xí)一練習(xí)一33:22:14.4.若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積

10、之比是_. .練習(xí)二練習(xí)二2422:134:11.若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的_倍倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍倍.3.若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是，則其體積之比是_.7.7.將半徑為將半徑為1 1和和2 2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么 這個(gè)大鉛球的表面積是這個(gè)大鉛球的表面積是_.5.5.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為 ， 則它的外接球的表面積為則它的外接球的表面積為_(kāi). .15,5,36.6.若兩球表面積之差為若兩球表面積之差為4848 , ,它們大圓周長(zhǎng)之和為它們大圓周長(zhǎng)之和為1212 , , 則兩球的直徑之差為則兩球的直徑之差為_(kāi). .練習(xí)二練習(xí)二 94 3312l了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：了解球的體積、表