無窮小比較第一

1、 第一章 ,0時(shí)xxxxsin,32都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 無窮小的比較第七節(jié),0limck定義定義. .,0lim若則稱 是比 高階高階的無窮小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limc或,設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記 作 則稱 是比 低階低階的無窮小;則稱 是 的同階同階無窮小;則稱 是關(guān)于 的 k 階階無窮小;則稱 是 的等價(jià)等價(jià)無窮小, 記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(o0 x時(shí)3x26xxsin;xxtan

2、;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時(shí)xcos1是關(guān)于 x 的二階無窮小,xcos1221x且機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如, 當(dāng)0 x時(shí),11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時(shí)當(dāng) x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.1. 證明:當(dāng)定理定理1.)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 時(shí)x,sinxx,tanxx故,0 時(shí)x, )(sinxoxx

3、)(tanxoxx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2 .2 .設(shè),且lim存在 , 則lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)對同一變化過程 , , 為無窮小 ,說明說明: :無窮小的性質(zhì), (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價(jià)可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī) 則. 若 = o() , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: ,不等價(jià)與且若,則例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則,limlim且.時(shí)此結(jié)論未必

4、成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(3) (3) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則: :極限存在或有且若)(,x界, 則)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 32210limxxxx例例1. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 231x221x例例2. 2. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時(shí)當(dāng)x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)0lim,0, )0(c,1,0lim ck1. 無窮小的比較設(shè) , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價(jià)無窮小 是 的 k 階無窮小機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 等價(jià)無窮小替換定理,0時(shí)當(dāng) xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1思考與練習(xí)思考與練習(xí)th 2p59