第2章測量誤差分析與處理

1、第第2章章 測量誤差分析與處理測量誤差分析與處理研究誤差的意義在于：研究誤差的意義在于：1. 正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，以便減小和消除誤差；以便減小和消除誤差；2. 正確認識誤差和實驗數據，合理計算所得結正確認識誤差和實驗數據，合理計算所得結果，以便在一定條件下得到最接近于真值的果，以便在一定條件下得到最接近于真值的數據；數據；3. 正確組成測量系統(tǒng)，合理選擇儀器和測量方正確組成測量系統(tǒng)，合理選擇儀器和測量方法，以便在最經濟條件下得到最理想的結果。法，以便在最經濟條件下得到最理想的結果。 第一節(jié)第一節(jié) 測量誤差的概念測量誤差的概念 一、一、

2、 測量誤差的來源測量誤差的來源（1）測量裝置的誤差）測量裝置的誤差 （2）環(huán)境誤差）環(huán)境誤差 （3）方法誤差）方法誤差 （4）人員誤差）人員誤差 二、二、測量誤差的分類測量誤差的分類 按照測量結果中存在的誤差的特點與性質不按照測量結果中存在的誤差的特點與性質不同，測量誤差可分為同，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差、隨機誤差隨機誤差和和粗大粗大誤差誤差 三、測量誤差的表示三、測量誤差的表示 誤差誤差 + 真值真值 = 測得值測得值 測量誤差通常采用測量誤差通常采用絕對誤差和相對誤差絕對誤差和相對誤差兩種方式兩種方式來表示。來表示。 常見的絕對誤差可以用真誤差、剩余誤差、最大常見的絕對誤差可以用真誤

3、差、剩余誤差、最大絕對誤差、算術平均誤差、標準誤差、或然誤差、絕對誤差、算術平均誤差、標準誤差、或然誤差、極限誤差等方法表示。極限誤差等方法表示。 絕對誤差與根據需要和方便的取值之比值稱為相絕對誤差與根據需要和方便的取值之比值稱為相對誤差。對應不同相比的取值，相對誤差可用實對誤差。對應不同相比的取值，相對誤差可用實際相對誤差、示值相對誤差、引用相對誤差、最際相對誤差、示值相對誤差、引用相對誤差、最大相對誤差、分貝誤差等方法表示。大相對誤差、分貝誤差等方法表示。 第二節(jié)第二節(jié) 直接測量誤差的分析與處理直接測量誤差的分析與處理 一、一、 隨機誤差的分析與處理隨機誤差的分析與處理1. 隨機誤差的定義

4、和分布特點隨機誤差的定義和分布特點（1）定義）定義 在相同的條件下對同一被測量進行多次重復測量，在相同的條件下對同一被測量進行多次重復測量，誤差的大小和符號的變化沒有一定規(guī)律，且不可誤差的大小和符號的變化沒有一定規(guī)律，且不可預知，這類誤差稱為隨機誤差。預知，這類誤差稱為隨機誤差。 隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素綜合作用的結果。小因素綜合作用的結果。 （2）分布的特點）分布的特點 有界性有界性 單峰性單峰性 對稱性對稱性 抵償性抵償性 2. 隨機誤差的正態(tài)分布特征隨機誤差的正態(tài)分布特征 理論和實踐都證明了大多數的隨機誤差都理論和實踐都證

5、明了大多數的隨機誤差都服從正態(tài)分布的規(guī)律，其分布密度函數為：服從正態(tài)分布的規(guī)律，其分布密度函數為： )2(2221)(ef)2)(2221)(xexf01lim1niinn 和和確定之后，正態(tài)分布就完全確定了。正態(tài)分布密度函確定之后，正態(tài)分布就完全確定了。正態(tài)分布密度函數的曲線如圖所示。從該曲線可以看出，正態(tài)分布很好地數的曲線如圖所示。從該曲線可以看出，正態(tài)分布很好地反映了隨機誤差的分布規(guī)律。反映了隨機誤差的分布規(guī)律。 （1）真值）真值 設設x1、x2 、xn 為為n次測量所得的值，則次測量所得的值，則算術平均值為算術平均值為 由隨機誤差的抵償性可知，有由隨機誤差的抵償性可知，有故故 時時 n

6、xnxxxxniin121iixniiniinx1101lim1niinnnx(2) 均方根誤差均方根誤差 均方根誤差的定義式為均方根誤差的定義式為 可以證明，均方根誤差的估計值計算公式為：可以證明，均方根誤差的估計值計算公式為： niinniinxnn1212)(1lim1limniiniivnxxn121211)(11(3) 算術平均值的均方根誤差算術平均值的均方根誤差 如果在相同的條件下將同一被測量分成如果在相同的條件下將同一被測量分成m 組，對組，對每組重復測量每組重復測量n次，則每組測量值都有一個平均值。由次，則每組測量值都有一個平均值。由于隨機誤差的存在，這些算術平均值也各不相同，

7、而是于隨機誤差的存在，這些算術平均值也各不相同，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術平均值與真值間也存圍繞真值有一定的分散性，即算術平均值與真值間也存在著隨機誤差。用表示算術平均值的均方根誤差，由概在著隨機誤差。用表示算術平均值的均方根誤差，由概率論中方差運算法則可以求出率論中方差運算法則可以求出 在有限次測量中，以表示算術平均值均方根誤差的在有限次測量中，以表示算術平均值均方根誤差的估計值，有估計值，有 nxnx3.隨機誤差的工程計算隨機誤差的工程計算 隨機誤差出現(xiàn)的性質決定了人們不可能準確地獲得隨機誤差出現(xiàn)的性質決定了人們不可能準確地獲得單個測量值的真誤差的值。我們所能做的只能是在一定單個測

8、量值的真誤差的值。我們所能做的只能是在一定的概率意義下估計隨機誤差數值的范圍，或者求得隨機的概率意義下估計隨機誤差數值的范圍，或者求得隨機誤差出現(xiàn)在給定區(qū)間的概率。誤差出現(xiàn)在給定區(qū)間的概率。 對于服從正態(tài)分布的測量誤差，出現(xiàn)于區(qū)間對于服從正態(tài)分布的測量誤差，出現(xiàn)于區(qū)間 內的概內的概率為率為 考慮到正態(tài)分布密度函數的對稱性，出現(xiàn)于區(qū)間考慮到正態(tài)分布密度函數的對稱性，出現(xiàn)于區(qū)間 的概率為的概率為 d21)()2/(22ebapbaba,aa,d212)()()2/(022eapaapa 令令 ，則，則 ，函數函數 稱為概率積分，不同的稱為概率積分，不同的z對應不同對應不同 的。的。若某隨機誤差在若

9、某隨機誤差在 范圍內出現(xiàn)的概率為范圍內出現(xiàn)的概率為2 ，則隨機誤差超出此區(qū)間的概率為則隨機誤差超出此區(qū)間的概率為 za /az )(2d22)()(2/02zzezpapzz)(z)(zz)(z)(21z例例2-1 計算計算z分別等于分別等于1、2、3時對應的置信概率時對應的置信概率p。 解：如圖所示，當解：如圖所示，當 z=1時，區(qū)間為時，區(qū)間為 -，此時，此時當當 z=2時，區(qū)間為時，區(qū)間為 -2，2，此時此時316828. 0d22)(2/110zep2219545. 0d22)2(2/2202zep當當 z=3時，區(qū)間為時，區(qū)間為 -3，3，此時，此時37019973. 0d22)3(

10、2/3302zep 在一般測量中，測量次數很少超過幾十次，在一般測量中，測量次數很少超過幾十次，因此可以認為大于因此可以認為大于 的誤差是不可能出現(xiàn)的，的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為單次測量的極限誤差，即通常把這個誤差稱為單次測量的極限誤差，即 當當z=3時，對應的概率時，對應的概率p=99.73%。幾個概念：幾個概念：把區(qū)間（把區(qū)間（ ）稱為置信區(qū)間，對）稱為置信區(qū)間，對應的概率應的概率 稱為置信概率，稱為置信概率， 稱為稱為置信限，置信限，z稱為置信因子，稱為置信因子， 稱為顯著性稱為顯著性水平或置信水平。水平或置信水平。 33lmzz ,)(zzppzp1測量結果的表示方法測量

11、結果的表示方法 若以單次測量值表示測量結果若以單次測量值表示測量結果x，有，有 x = 單次測量值單次測量值置信區(qū)間半長置信區(qū)間半長 (p=置信概率置信概率) 例如：例如：x = 單次測量值單次測量值3 (p=99.73) x = 單次測量值單次測量值2 (p=95.45) 若以算術平均值表示測量結果若以算術平均值表示測量結果x，有，有 x = 算術平均值算術平均值置信區(qū)間半長置信區(qū)間半長 (p=置信概率置信概率) 例如：例如：x = 3 (p=99.73) x = 2 (p=95.45)xx 在實際測量中的子樣容量通常很?。ɡ缭趯嶋H測量中的子樣容量通常很?。ɡ鏽 則認為該測量列中含有周期

12、性系統(tǒng)誤差。則認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。 4.系統(tǒng)誤差的一般處理原則系統(tǒng)誤差的一般處理原則 （1）從產生誤差根源上消除誤差）從產生誤差根源上消除誤差 用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測量人員，對測量過程中可能產生系統(tǒng)誤差的各個它要求測量人員，對測量過程中可能產生系統(tǒng)誤差的各個環(huán)節(jié)作仔細分析，并在正式測試前就將誤差從產生根源上環(huán)節(jié)作仔細分析，并在正式測試前就將誤差從產生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時，并無一成不變的方法，但以下幾方面

13、分析查找誤差源時，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應予考慮的：是應予考慮的： 所用基準件、標準件（如量塊、刻尺等）是否準確所用基準件、標準件（如量塊、刻尺等）是否準確可靠；可靠； 所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經過檢定，并有有效周期的檢定證書；過檢定，并有有效周期的檢定證書； 儀器的調整、測儀器的調整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理； 所采用的測所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差；量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差； 測量的測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動、塵污、氣流環(huán)境條

14、件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動、塵污、氣流等；等； 注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。勞、注意力不集中等。 （2）用修正方法消除系統(tǒng)誤差）用修正方法消除系統(tǒng)誤差 這種方法是預先將測這種方法是預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應的修正同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結果。值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結果。（3）在實際測量時，盡可能采用有效的測量方法，）在

15、實際測量時，盡可能采用有效的測量方法，以消除或減弱系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。以消除或減弱系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。 (a) 采用對置法可消除恒值系統(tǒng)誤差。采用對置法可消除恒值系統(tǒng)誤差。 (b) 采用對稱觀測法可消除累進系統(tǒng)誤差。采用對稱觀測法可消除累進系統(tǒng)誤差。 (c) 采用半周期法，可以很好地消除周期性系統(tǒng)誤差。采用半周期法，可以很好地消除周期性系統(tǒng)誤差。 對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩次讀數平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。次讀數平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。 例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉中心與刻度盤中例如

16、儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉中心與刻度盤中心的偏心心的偏心 等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。 三、粗大誤差的分析與處理三、粗大誤差的分析與處理1.粗大誤差的定義及產生的原因粗大誤差的定義及產生的原因 粗大誤差是指明顯歪曲了測量結果而使該次測量失粗大誤差是指明顯歪曲了測量結果而使該次測量失效的誤差，也稱為疏失誤差。含有粗大誤差的測量值稱效的誤差，也稱為疏失誤差。含有粗大誤差的測量值稱為壞值或異常值。為壞值或異常值。 產生粗大誤差的原因很多，主要有：產生粗大誤差的原因很多，主要有：主觀原因主觀原因 測量者在測量時粗心大意、操作不當或過于測量

17、者在測量時粗心大意、操作不當或過于疲勞而造成錯誤的讀數或記錄，這是產生粗大誤差的主疲勞而造成錯誤的讀數或記錄，這是產生粗大誤差的主要原因。要原因?？陀^原因客觀原因 測量條件意外的改變（如外界振動、機械沖測量條件意外的改變（如外界振動、機械沖擊、電源瞬時大幅度波動等），引起儀表示值的改變。擊、電源瞬時大幅度波動等），引起儀表示值的改變。 對粗大誤差，除了設法從測量結果中發(fā)現(xiàn)和鑒別而對粗大誤差，除了設法從測量結果中發(fā)現(xiàn)和鑒別而加以剔除外，重要的是要加強測量的工作責任心和嚴格加以剔除外，重要的是要加強測量的工作責任心和嚴格的科學態(tài)度。此外，還要保證測量條件的穩(wěn)定。的科學態(tài)度。此外，還要保證測量條件的

18、穩(wěn)定。 2. 2. 判別粗大誤差的準則判別粗大誤差的準則 (1) 3 (1) 3 準則（萊伊特準則）準則（萊伊特準則） 如果在測量列中，發(fā)現(xiàn)有大于如果在測量列中，發(fā)現(xiàn)有大于3 3 的殘余誤差的殘余誤差的測得值，即的測得值，即 則可以認為它含有粗大誤差，應予以剔除。則可以認為它含有粗大誤差，應予以剔除。 實際使用時，標準誤差取其估計值，且按萊伊特準則實際使用時，標準誤差取其估計值，且按萊伊特準則剔除含有粗差的壞值后，應重新計算新測量列的算術平均剔除含有粗差的壞值后，應重新計算新測量列的算術平均值及標準誤差，判定在余下的數據中是否還有含粗大誤差值及標準誤差，判定在余下的數據中是否還有含粗大誤差的壞

19、值。的壞值。 注意：該準則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準則，注意：該準則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準則，它是以測量次數充分大為前提，但通常測量次數比較少，它是以測量次數充分大為前提，但通常測量次數比較少，因此該準則只是一個近似的準則。因此該準則只是一個近似的準則。在測量次數較少時，在測量次數較少時，最好不要選用該準則。最好不要選用該準則。3iv 【例】例】 對某量進行對某量進行1515次等精度測量，測得值如下表所列，次等精度測量，測得值如下表所列，設這些測得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測量列中是否含有粗設這些測得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測量列中是否含有粗大誤差的測得值。大誤差

20、的測得值。 表 2-11v序號12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0

21、001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.0004410.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121003374.01512 iiv404.20151nlxii01496.01512iiv0151iiv2vv2vl 由表可得由表可得 根據根據 準則，第八測得值的殘余

22、誤差為：準則，第八測得值的殘余誤差為： 即它含有粗大誤差即它含有粗大誤差, ,故將此測得值剔除。再根據剩下的故將此測得值剔除。再根據剩下的1414個個測得值重新計算，得：測得值重新計算，得： 由表知，剩下的由表知，剩下的1414個測得值的殘余誤差均滿足個測得值的殘余誤差均滿足 , ,故可以認為這些測得值不再含有粗大誤差。故可以認為這些測得值不再含有粗大誤差。404.20 x033. 01401496. 0112nvnii099. 0033. 0333099. 0104. 08v411.20 x016.013003374.0112 nvnii 3iv2格拉布斯準則格拉布斯準則 設對某量作多次等精

23、度獨立測量，得到一測量設對某量作多次等精度獨立測量，得到一測量列：列：x1，x2，xn。當。當 xi 服從正態(tài)分布時，計服從正態(tài)分布時，計算得到算得到 niixnx11xxviiniivn1211將將xi按大小順序排列成順序統(tǒng)計量按大小順序排列成順序統(tǒng)計量)()2()1(nxxx 計算首、尾測得值的格拉布斯準則數計算首、尾測得值的格拉布斯準則數)1()1(xxg)()(xxgnn 取定置信水平取定置信水平(一般為一般為0.05或或0.01)，根據子，根據子樣容量樣容量n和置信水平和置信水平，從表中查出相應的格拉布，從表中查出相應的格拉布斯準則臨界值斯準則臨界值 。若。若 ，即判，即判斷該測得值

24、含有粗大誤差，應予以剔除。斷該測得值含有粗大誤差，應予以剔除。 注意當注意當 和和 都大于都大于 ，應先剔除，應先剔除大大 者，再重新計算者，再重新計算 和和 ，這時子樣容量為，這時子樣容量為（ ），再進行判斷，直至余下的測得值），再進行判斷，直至余下的測得值中不再發(fā)現(xiàn)壞值。中不再發(fā)現(xiàn)壞值。 ),(0ng),(0)(nggi)1(g)(ng),(0ngx1n 按測得值的大小，順序排列得按測得值的大小，順序排列得 今有兩測得值今有兩測得值 ， 可懷疑，但由于可懷疑，但由于 故應先懷疑故應先懷疑 是否含有粗大誤差，計算是否含有粗大誤差，計算 查表查表2-122-12得得 則則 故表故表2-112-

25、11中第八個測得值中第八個測得值 含有粗大誤差，應予剔除。含有粗大誤差，應予剔除。 剩下的剩下的1414個數據，再重復上述步驟，判別個數據，再重復上述步驟，判別 是否含有粗大誤差。是否含有粗大誤差。 解：解： 故可判別故可判別 不包含粗大誤差，而各不包含粗大誤差，而各 皆小于皆小于1.181.18，故可認為其余，故可認為其余測得值也不含粗大誤差。測得值也不含粗大誤差。 , 30.20)1(x43.20)15(x)1(x)15(x104. 030.20404.20)1( xx026. 0404.2043.20)15( xx)1(x15. 3033. 030.20404.20)1(g41. 2)0

26、5. 0 ,15(0g41. 2)05. 0 ,15(15. 30)1(gg8x)15(x， 411.20 x016. 018.1016.0411.2043.20)15(g)15(x)(ig還用上例測得值，試判別該測量列中的測得值是否含有粗大誤差。還用上例測得值，試判別該測量列中的測得值是否含有粗大誤差。 第三節(jié)第三節(jié) 間接測量誤差的分析與處理間接測量誤差的分析與處理 一、間接測量中系統(tǒng)誤差的傳遞一、間接測量中系統(tǒng)誤差的傳遞 在間接測量中，函數關系的一般形式為在間接測量中，函數關系的一般形式為),(21mxxxfy式中式中 為各個直接測量值；為各個直接測量值；y為間接為間接測量值。測量值。 對于以上函數，其增量可用函數的全微分表示，對于以上函數，其增量可用函數的全微分表示，則有則有 mxxx,21mmxxfxxfxxfy2211 上式為間接測量中系統(tǒng)誤差的傳遞公式上式為間接測量中系統(tǒng)誤差的傳遞公式 二、二、 間接測量中隨機誤差的傳遞間接測量中隨機誤差的傳遞 ),(21mxxxfyxjxiijjjiixmxxyxfxfxfxfxfm22222222121 若各直接測量值是相互獨立的，相關系數若各直接測量值是相互獨立的，相關系數 為零，則式可以簡化為為零，則式可以簡化為ijmixixmxxyimx