第一章常用計量經濟模型

1、第一節(jié)第一節(jié) 時間序列的外推、平滑和季節(jié)調整時間序列的外推、平滑和季節(jié)調整一、時間序列的成分 趨勢成分（trend）、循環(huán)成分（cyclical）、季節(jié)成分（season）、不規(guī)則成分（irregular）二、簡單外推模型二、簡單外推模型由時間序列過去行為進行預測的簡單模型（適用于yt有一個長期增長的模式）1、線性趨勢模型 yt =c1+ c2 t2、指數(shù)增長趨勢模型 rttaey rtayt loglog兩邊取對數(shù)3、自回歸趨勢模型4、二次曲線趨勢模型 121ttyccy121loglogttyccy對數(shù)自回歸趨勢模型2321tctccyt美國商業(yè)部：1986年1月至1995年12月百貨公司

2、的月零售額（億元）例1 百貨公司銷售預測三、平滑技術三、平滑技術（目的是“消除”時間序列中的不規(guī)則成分引起的隨機波動，適用于穩(wěn)定的時間序列）1、移動平均模型 移動平均數(shù)=最近n期數(shù)據(jù)之和/n例如3期移動平均)(31321ttttyyyy中心移動平均3期中心移動平均)(3111ttttyyyy2、指數(shù)加權移動平均模型 221)1 ()1 (ttttyyyy即（ewmaexponentially weighted moving averages） 1)1 (tttyyy越小，時間序列的平滑程度越高。例2 美國月度新建住房數(shù)（1986年1月至1995年10月）四、季節(jié)調整四、季節(jié)調整（目的是“消除”

3、時間序列中的季節(jié)成分引起的隨機波動）census (美國普查局開發(fā)的標準方法)icslyt移動平均比值法(ratio to moving averages)icslytratio to moving averagesratio to moving averagesmultiplicativemultiplicative第一步 用中心移動平均平滑序列yt 對于月度資料 )5 . 05 . 0(1216556ttttttyyyyyy對于季度資料 )5 . 05 . 0(412112ttttttyyyyyy此時可大致認為 已無季節(jié)和不規(guī)則波動，可看作 的估計tycl第二步 估計si 令 tttyyz

4、)(isclicslzt即為即為si的估計的估計第三步 消除不規(guī)則變動，得到s的估計 對si中同一季節(jié)的數(shù)據(jù)進行平均，從而消除掉i。例如，對于月度數(shù)據(jù)，假定 y1是1月份的數(shù)據(jù)， y2是1月份的數(shù)據(jù)， y3是1月份的數(shù)據(jù)， y4是1月份的數(shù)據(jù)，總共4年數(shù)據(jù)。則)(4137251311zzzzz)(41)(41483624121238261422zzzzzzzzzz第四步 調整s的估計，使其連乘積等于1或和等于12。12immzzsimmzzs12第二節(jié)第二節(jié) 隨機時間序列模型隨機時間序列模型基本假定：時間序列是由某個基本假定：時間序列是由某個隨機過程隨機過程生成的。生成的。 在一定條件下，我們

5、可以從樣本觀察值中估計在一定條件下，我們可以從樣本觀察值中估計隨機過程的概率結構，這樣我們就能夠建立序列的隨機過程的概率結構，這樣我們就能夠建立序列的模型并用過去的信息確定序列未來數(shù)值的概率。模型并用過去的信息確定序列未來數(shù)值的概率。常用模型：常用模型：arar模型、模型、mama模型、模型、armaarma模型、模型、arimaarima模模型、型、varvar模型、模型、ecmecm等。等。統(tǒng)計特征不隨時間變化而變化的過程是統(tǒng)計特征不隨時間變化而變化的過程是平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程（stable process） 如果過程是如果過程是嚴平穩(wěn)的嚴平穩(wěn)的（ strictly stationary），那

6、么對任），那么對任意的意的t和和k，時刻，時刻t的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于時刻的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于時刻t+k的聯(lián)合概的聯(lián)合概率密度函數(shù)。也就是說，對于具有嚴平穩(wěn)性質的隨機過程，率密度函數(shù)。也就是說，對于具有嚴平穩(wěn)性質的隨機過程，其全部概率結構只依賴于時間之差。其全部概率結構只依賴于時間之差。 嚴平穩(wěn)性的條件很嚴格，我們希望稍微放松限制條件。嚴平穩(wěn)性的條件很嚴格，我們希望稍微放松限制條件。于是從實際角度考慮，我們可以用聯(lián)合分布的矩的平穩(wěn)性來于是從實際角度考慮，我們可以用聯(lián)合分布的矩的平穩(wěn)性來定義隨機過程的平穩(wěn)性。定義隨機過程的平穩(wěn)性。 一、平穩(wěn)過程一、平穩(wěn)過程m階弱平穩(wěn)過程階弱平穩(wěn)過程（weakl

7、y stationary）是指隨機過程的聯(lián)合是指隨機過程的聯(lián)合概率分布的矩直到概率分布的矩直到m階都是相等的。階都是相等的。 若一個過程若一個過程 r(t) 是是2階弱平穩(wěn)過程階弱平穩(wěn)過程，那么它會滿足下列條件：，那么它會滿足下列條件： （1 1）隨機過程的均值保持不變；）隨機過程的均值保持不變； （2 2）隨機過程的方差不隨時間變化；）隨機過程的方差不隨時間變化； （3 3）r(i)和和r(j)之間的相關性只取決于時間之差之間的相關性只取決于時間之差 j- i。注注：弱平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程；弱平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程； 而嚴平穩(wěn)過程若存在二階矩，則必是而嚴平穩(wěn)過程若存在二階矩，則必是

8、2階弱平穩(wěn)過程。階弱平穩(wěn)過程。 例例 白噪聲過程白噪聲過程ttr 其中隨機變量其中隨機變量 滿足滿足 t 0)e( t 0,00,)e(2jjjtt 顯然白噪聲過程是一個顯然白噪聲過程是一個2階弱平穩(wěn)過程。階弱平穩(wěn)過程。 例例 隨機游走模型隨機游走模型 tttpp 1其中其中 是服從正態(tài)分布的白噪聲是服從正態(tài)分布的白噪聲 t 0)e( tp顯然顯然22)e( tpt 因此因此pt 是非平穩(wěn)過程。是非平穩(wěn)過程。用用x(t)表示一隨機過程，表示一隨機過程，滯后期為滯后期為k的自相關系數(shù)的自相關系數(shù)定義為定義為 二、自相關函數(shù)二、自相關函數(shù) kttkttxxck ),ov()(如果如果x(t)是一個

9、平穩(wěn)過程，則有是一個平穩(wěn)過程，則有 ktt 因此因此 )0()(),ov()(2 kxxcktktt 其中其中 ),cov()(kttxxk 2),cov()0(tttxx 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù) 自相關函數(shù)揭示了自相關函數(shù)揭示了x(t)的相鄰數(shù)據(jù)點之間的相鄰數(shù)據(jù)點之間存在多大程度的相關。存在多大程度的相關。 如果對所有的如果對所有的k0，序列的自相關函數(shù)等于，序列的自相關函數(shù)等于0或近或近似等于似等于0，則說明序列的當前值與過去時期的觀測值，則說明序列的當前值與過去時期的觀測值無關，這時該序列沒有可預測性。無關，這時該序列沒有可預測性。 相反，如果金融序列間是自相關的，就意味著當相反，如果金融

10、序列間是自相關的，就意味著當前回報依賴歷史回報，因此可以通過回報的歷史值預前回報依賴歷史回報，因此可以通過回報的歷史值預測未來回報。測未來回報。 例例 白噪聲過程的自相關函數(shù)白噪聲過程的自相關函數(shù) 0,00,1)0()()(kkkk )()0)(0(),cov()(kttkttktteek 0)e( t 0,00,)e(2jjjtt 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)自相關函數(shù)自相關函數(shù)樣本自相關函數(shù)樣本自相關函數(shù) n樣本自相關函數(shù)可以用來檢驗序列的所有k0的自相關函數(shù)的真實值是否為0的假設。 ttttktkttrrtrrrrktk121)(11)(11)( box和pierce的q統(tǒng)計量)()( 212k

11、ktqkk 如果檢驗通過，則隨機過程是白噪聲。如果檢驗通過，則隨機過程是白噪聲。自相關函數(shù)還可被用于檢驗一個序列是否平穩(wěn)。自相關函數(shù)還可被用于檢驗一個序列是否平穩(wěn)。 平穩(wěn)時間序列的自相關函數(shù)隨著滯后期平穩(wěn)時間序列的自相關函數(shù)隨著滯后期k的增加而快速下降為的增加而快速下降為0 0 )(k k平穩(wěn)序列)(k k非平穩(wěn)序列齊次非平穩(wěn)過程齊次非平穩(wěn)過程 yt非平穩(wěn)，但非平穩(wěn)，但yt yt-1平穩(wěn)，稱平穩(wěn)，稱yt為一階齊次非平穩(wěn)過程為一階齊次非平穩(wěn)過程 例例 隨機游走過程是一階齊次非平穩(wěn)過程隨機游走過程是一階齊次非平穩(wěn)過程tttpp 1tttpp 1例例 利率的模型利率的模型時間序列的當前值依賴于過去時

12、期的觀察值。時間序列的當前值依賴于過去時期的觀察值。 三、自回歸（三、自回歸（a auto-uto-r regressionegression）模型）模型 tptptttyyyy 2211tttyy 11p階自回歸模型階自回歸模型ar(p)：一一階自回歸模型階自回歸模型ar(1)：均值均值11 若若, 11 則過程平穩(wěn)。則過程平穩(wěn)。例例 帶漂移項的隨機游走過程帶漂移項的隨機游走過程tttpp 1過程是非平穩(wěn)的過程是非平穩(wěn)的不妨設常數(shù)項為不妨設常數(shù)項為0 0 平穩(wěn)平穩(wěn)ar(1)過程過程的自相關函數(shù)的自相關函數(shù) )(e2110tty 方差方差協(xié)方差協(xié)方差21201 202112221112e tt

13、yytt01121111111e)(ee ttttttttyyyyyy02121122122)(ee ttttttyyyy01 kk 自相關函數(shù)自相關函數(shù) 10 11 k kkk10 這說明自回歸過程具有無限記憶力。這說明自回歸過程具有無限記憶力。 過程當前值與過去所有時期的值相關，且時期越早，過程當前值與過去所有時期的值相關，且時期越早，相關性越弱。相關性越弱。 四、移動平均（四、移動平均（moving averages）模型）模型 qtqtttty 2211q階移動平均模型階移動平均模型ma (q)：一一階移動平均模型階移動平均模型ma (1)：均值均值 )(ety11 ttty 若若,1

14、2 qii 則過程平穩(wěn)。則過程平穩(wěn)。ma (1)過程過程的自相關函數(shù)的自相關函數(shù) 221212111221120)1(2e)(e)(e ttttttty協(xié)方差協(xié)方差2111)-)(e( ttyy0 k 0 )-)(e( )-)(e(3121122 ttttttyy 自相關函數(shù)自相關函數(shù) 10 1, 0 kk 21111 這說明這說明ma (1)過程過程僅有一期的記憶力。僅有一期的記憶力。 ma (q)過程過程有有q期的記憶力。期的記憶力。五、混合自回歸五、混合自回歸- -移動平均（移動平均（arma）模型）模型 qtqttptpttyyy 1111arma (p , q)：arma(1 , 1

15、)：1111 ttttyy 均值均值11 arma (1,1)過程過程的自相關函數(shù)的自相關函數(shù) 22111210121 協(xié)方差協(xié)方差21011 112 211 kkk 112111111212)(1( 方差方差自相關函數(shù)自相關函數(shù)11 kk 六、六、arima模型模型 ttdbyb )()( arima (p,d,q)：對原序列：對原序列yt作作d階差分后應用階差分后應用arma (p,q)自回歸算子：自回歸算子：ppbbbb 2211)(qqbbbb 2211)(移動平均算子：移動平均算子：d 的確定的確定 ： 差分后檢查自相關函數(shù)，確定序列是否平穩(wěn)，差分后檢查自相關函數(shù)，確定序列是否平穩(wěn)，

16、直到平穩(wěn)為止。直到平穩(wěn)為止。p、q 的確定的確定：由自相關函數(shù)、偏自相關函數(shù)確定，或由：由自相關函數(shù)、偏自相關函數(shù)確定，或由aicaic、scsc準則確定。準則確定。arima模型的確認模型的確認 若自回歸過程的階數(shù)為若自回歸過程的階數(shù)為p，則對于，則對于jp應有應有偏自相關函數(shù)偏自相關函數(shù)j 0若移動平均過程的階數(shù)為若移動平均過程的階數(shù)為q，則對于，則對于jq應有應有自相關函數(shù)自相關函數(shù)j 0aicaic、scsc準則準則: : 選擇使準則值達到最小的模型階數(shù)。選擇使準則值達到最小的模型階數(shù)。第三節(jié)第三節(jié) varvar模型模型一、一、varvar（v vector ector a autou

17、tor regressionegression，向量自回歸），向量自回歸）二、格蘭杰因果關系（二、格蘭杰因果關系（granger causalitygranger causality） 如果變量如果變量x的過去和現(xiàn)在信息能有助于改進變的過去和現(xiàn)在信息能有助于改進變量量y的預測，則稱的預測，則稱y是由是由x格蘭杰原因引起的格蘭杰原因引起的（ y is granger-caused by x ）。）。 即若變量即若變量x的過去和現(xiàn)在信息被考慮進總體的的過去和現(xiàn)在信息被考慮進總體的所有其它信息中時，所有其它信息中時，y能被預測得更有效。能被預測得更有效。granger, c. w. .j. (196

18、9) investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods. econometrica, 37, 424-438.granger causality testgranger causality test假定假定(x , y)t 由由var(p)過程生成，即過程生成，即 ptptptpttptptptpttxxyyyxxyyy21212121201111111110 檢驗檢驗“x 不不是是y的的granger cause”:”:檢驗檢驗“y不不是是x的的granger cause”:”:0:h112110 p 0:h222210 p 三、脈沖響應函數(shù)三、脈沖響應函數(shù)( (impulse response functions)脈沖響應函數(shù)脈沖響應函數(shù) 確定每