曲線積分與曲面積分(解題方法歸納)

1、第十一章解題方法歸納一、曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法1.曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法歸納如下：(1)利用性質(zhì)計(jì)算曲線積分和曲面積分.(2)直接化為定積分或二重積分計(jì)算曲線或曲面積分(3)利用積分與路徑無關(guān)計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分.(4)利用格林公式計(jì)算平面閉曲線上的曲線積分.(5)利用斯托克斯公式計(jì)算空間閉曲線上的曲線積分.(6)利用高斯公式計(jì)算閉曲面上的曲面積分.2.在具體計(jì)算時(shí)，常用到如下一些結(jié)論：（1）若積分曲線L關(guān)于y軸對稱，則2Lf(x,y)dsL0f(x,y)ds=1f對x為奇函數(shù)f對x為偶函數(shù)P(x,y)dx=2P(x,y)dyLQ(x,y)dy=2Q(x,y)dyQ對x為奇函數(shù)L0

2、P對x為奇函數(shù)LP對x為偶函數(shù)10Q對x為偶函數(shù)L1其中L是L在右半平面部分.1若積分曲線L關(guān)于x軸對稱，則2Lf(x,y)dsL0f(x,y)ds=1f對y為奇函數(shù)f對y為偶函數(shù)P(x,y)dx=2P(x,y)dyLQ(x,y)dy=2Q(x,y)dyQ對y為偶函數(shù)L0P對y為偶函數(shù)LP對y為奇函數(shù)10Q對y為奇函數(shù)L1其中L是L在上半平面部分.1（2）若空間積分曲線L關(guān)于平面y=x對稱，則L1/13f(x)ds=f(y)ds.L（3）若積分曲面S關(guān)于xOy面對稱，則f(x,y,z)dS=2R(x,y,z)dSf對z為偶函數(shù)S1S0f對z為奇函數(shù)R(x,y,z)dxdy=2R(x,y,z)d

3、xdyR對z為奇函數(shù)S10R對z為偶函數(shù)S其中S是S在xOy面上方部分.1若積分曲面S關(guān)于yOz面對稱，則f(x,y,z)dS=2R(x,y,z)dSf對x為偶函數(shù)S1S0f對x為奇函數(shù)S10P對x為偶函數(shù)P(x,y,z)dydz=2P(x,y,z)dydzP對x為奇函數(shù)S其中S是S在yOz面前方部分.1若積分曲面S關(guān)于zOx面對稱，則f(x,y,z)dS=2R(x,y,z)dSf對y為偶函數(shù)S1S0f對y為奇函數(shù)Q(x,y,z)dzdx=2Q(x,y,z)dzdxQ對y為奇函數(shù)S10Q對y為偶函數(shù)S其中S是S在zOx面右方部分.1x=x(t)（4）若曲線弧L:(atb)，則y=y(t)Lf(

4、x,y)ds=bfx(t),y(t)x2(t)+y2(t)dta(ab)若曲線弧L:r=r(q)(aqb)（極坐標(biāo)），則Lf(x,y)ds=bfr(q)cosq,r(q)sinqr2(q)+r2(q)dqa若空間曲線弧G:y=y(t)(atb)，則z=z(t)x=x(t)2/13Gf(x,y,z)ds=bfx(t),y(t),z(t)x2(t)+y2(t)+z2(t)dt(a0)的逆例4計(jì)算曲線積分Lxy2dy-x2ydx6/13時(shí)針方向.解法1直接計(jì)算.將積分曲線L表示為參數(shù)方程形式x=acosqL:y=asinq(q:02p)xydy-x代入被積函數(shù)中得22ydxLx2+y2=a32pco

5、sqsin2qcosq-cos2qsinq(-sinq)dq0=2a32psin2qcos2qdq=2a32psin2q(1-sin2q)dq001p31p1=8a32(sin2q-sin4q)dq=8a3g-gg=pa3p0224222解法2利用格林公式蜒xydy-xa22ydxLx2+y2=1Lxy2dy-x2ydx=1a(x2+y2)dxdyDxydy-xdqar2grdr=1pa3其中D:x2+y2a2，故22ydxLx2+y2=12p0a02方法技巧本題解法1用到了定積分的積分公式：ngn-2gLn-1gn-3gLgn為奇數(shù)gggn為偶數(shù)n-1n-3p2sinnqdq=0nn-223

6、31p422解法2中，一定要先將積分曲線x2+y2=a2代入被積函數(shù)的分母中，才能應(yīng)用格林公式，否則不滿足P,Q在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件.例5計(jì)算曲線積分(x+y)dx-(x-y)dy，其中L為沿y=pcosx由點(diǎn)Lx2+y2A(-p,p)到點(diǎn)B(-p,-p)的曲線弧.解直接計(jì)算比較困難.由于P=x+y-x+y,Q=x2+y2x2+y2，Px2-y2-2xyQ=y(x2+y2)2x因此在不包含原點(diǎn)O(0,0)的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無關(guān).取圓周x2+y2=2p2上從A(-p,p)到點(diǎn)B(-p,-p)的弧段L代替原弧段L，7/13y=2psinq(q:-其參數(shù)方程為：Lx=2pcosq:p

7、45p4)，代入被積函數(shù)中得L(x+y)dx-(x-y)dy1=x2+y22p2L(x+y)dx-(x-y)dy=4(cosq+sinq)(-sinq)-(cosq-sinq)cosqdq3=-4dq=-p25pp-45pp-4方法技巧本題的關(guān)鍵是選取積分弧段L，既要保證L簡單，又要保證不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).例6計(jì)算曲面積分xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S為x+y+z=1的法S向量與各坐標(biāo)軸正向夾銳角的側(cè)面.解由于曲面S具有輪換對稱性，xdydz=ydzdx=zdxdy，S投影到(xOy面的區(qū)域D=x,y)xySSSx+y1，故xdydz+ydzdx+zdxdy=3zdxdy=3(1-SS

8、Sx-y)2dxdyDxy0(1-x-y)2dy=(1-x)4dx=3(1-x-y)2dxdy=31dx(1-01t=1-x-0t4(1-t)dt=301x)21120方法技巧由于積分曲面S具有輪換對稱性，因此可以將dydz,dzdx直接轉(zhuǎn)換為dxdy，S只要投影到xOy面即可.例7計(jì)算曲面積分(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy，其中S為錐S面z2=x2+y2在0zh部分的上側(cè).解利用高斯公式.添加輔助面S:z=h(x2+y2h2)，取下側(cè)，則1(x-yS2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy=(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x

9、2)dxdyS+S18/13-(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdyS1=-3dxdydz-(h-x2)dxdy=-3dxdydz+(h-x2)dxdyWS1WDxy其中W為S和S圍成的空間圓錐區(qū)域，D為S投影到xOy面的區(qū)域，即1xy(D=x,y)x2+y2h2，由D的輪換對稱性，有xyxyx2dxdy=1(x2DxyDxy2+y2)dxdy=-3gph2gh+hdxdy-(x2+y2)dxdy=-ph3+hgph2-dqhr3dr=-1ph4(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中L:x例8計(jì)算曲線積分故(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z

10、-x2)dxdyS1132DxyDxy12p0204方法技巧添加輔助面時(shí)，既要滿足封閉性，又要滿足對側(cè)的要求.本題由于積分錐面取上側(cè)（內(nèi)側(cè)），因此添加的平面要取下側(cè)，這樣才能保證封閉曲面取內(nèi)側(cè)，使用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分時(shí)，前面要添加負(fù)號.2+y2=1Lx-y+z=2從z軸的正向往負(fù)向看，L的方向是順時(shí)針方向.解應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算.令S:x-y+z=2(x2+y21)取下側(cè)，S在xOy(面的投影區(qū)域?yàn)镈=x,y)x2+y21，則xydydzdzdxdxdy(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz=LSxz-yyx-zzx-y=2dxdy=-2dxdy=-2pSDxy方法技巧本題用斯托克

11、斯公式計(jì)算比直接寫出曲線L的參數(shù)方程代入要簡單，所有應(yīng)用斯托克斯公式的題目，曲面S的選取都是關(guān)鍵，S既要簡單，又要滿足斯托克斯的條件，需要大家多加練習(xí).二、曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用9/131.曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用歸納如下：(1)曲線或曲面形物體的質(zhì)量.(2)曲線或曲面的質(zhì)心（形心）.(3)曲線或曲面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(4)變力沿曲線所作的功.(5)矢量場沿有向曲面的通量.(6)散度和旋度.2.在具體計(jì)算時(shí)，常用到如下一些結(jié)論：（1）平面曲線形物體M=r(x,y)dsL空間曲線形物體M=r(x,y,z)dsL曲面形構(gòu)件M=r(x,y,z)dSS（2）質(zhì)心坐標(biāo)r(x,y)dsr(x,y)ds

12、平面曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo)：x=xr(x,y)dsL,y=yr(x,y)dsLLL空間曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo)：r(x,y)ds,r(x,y)ds,z=r(x,y)dsx=xr(x,y,z)dsLLy=yr(x,y,z)dsLLzr(x,y,z)dsLL曲面形物體的質(zhì)心坐標(biāo)：xr(x,y,z)dSyr(x,y,z)dSzr(x,y,z)dSr(x,y,z)dSr(x,y,z)dSr(x,y,z)dSx=S,y=S,z=SSSSLLxyL當(dāng)密度均勻時(shí)，質(zhì)心也稱為形心.（3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面曲線形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I=y2r(x,y)ds,I=x2r(x,y)dsxy空間曲線形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I=(y2+z2

13、)r(x,y,z)ds,I=(z2+x2)r(x,y,z)dsLLI=(x2+y2)r(x,y,z)dsz10/13曲面形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Ix(y2z2)(x,y,z)dS,Iy(z2x2)(x,y,z)dSIz(x2y2)(x,y,z)dS其中(x,y)和(x,y,z)分別為平面物體的密度和空間物體的密度.（4）變力沿曲線所作的功平面上質(zhì)點(diǎn)在力FP(x,y)i+Q(x,y)j作用下，沿有向曲線弧L從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，F(xiàn)所做的功WP(x,y)dxQ(x,y)dyAB空間質(zhì)點(diǎn)在力FP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k作用下，沿有向曲線弧L從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，F(xiàn)所做的功WP(x,

14、y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzAB（2）矢量場沿有向曲面的通量矢量場AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k通過有向曲面指定側(cè)的通量P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy（3）散度和旋度矢量場AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的散度divAPQRxyz矢量場AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的旋度rotA(RQyzPRQP)i()j+()kzxxyxPiyQjkzR1.曲線積分或曲面積分應(yīng)用題的計(jì)算步驟：11/13例9設(shè)質(zhì)點(diǎn)在場力F=ky,-x的作用下，沿曲線L:y=

15、cosx由A(0,)（1）根據(jù)所求物理量，代入相應(yīng)的公式中；（2）計(jì)算曲線積分或曲面積分.pr222移動(dòng)到B(,0)，求場力所做的功.（其中r=x2+y2,k為常數(shù)）p2解積分曲線L如圖11.7所示.場力所做的功為yW=ABAP(x,y)dx+Q(x,y)dyLL1roBxABr2=kyxdx-dy2，則=yr4x(x+y0)令P=yxPk(x2-y2)Q,Q=-22r2r2圖11.7即在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無關(guān).另取由A到B的路徑：L:x=1cosq,y=sinq(q:0)222W=kdx-dy=k0-(sin2q+cos2q)dq=kL1r2r22yxp2方法技巧本題的關(guān)鍵是

16、另取路徑L，一般而言，最簡單的路徑為折線1路徑，比如AOUOB，但不可以選取此路徑，因?yàn)镻,Q在原點(diǎn)處不連續(xù).換句話說，所取路徑不能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)然路徑L的取法不是唯一的.1例10設(shè)密度為1的流體的流速v=xz2i+sinxk，曲面S是由曲線y=1+z2x=0(1z2)饒z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，其法向量與z軸正向的夾角為銳角，求單位時(shí)間內(nèi)流體流向曲面S正側(cè)的流量Q.解旋轉(zhuǎn)曲面為S:x2+y2-z2=1(1z2)，令S為平面z=1在S內(nèi)的部分1取上側(cè)，S為平面z=2在S內(nèi)的部分取下側(cè)，則S+S+S為封閉曲面的內(nèi)側(cè)，212故Q=P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdyS=xz2dydz+sinx