A曲線積分與曲面積分習(xí)題課習(xí)題課PPT教學(xué)課件

1、與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題第1頁/共34頁 曲曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyx

2、R)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)系系 RdxdyQdzdxPdydz計計 算算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān))一代,二投,三定向 (與側(cè)有關(guān)) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,第2頁/共34頁定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計算計算計算計算計算計算Green公式Stokes公式Guass公式（二）（二）各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系第3頁/共34頁點函數(shù)點函數(shù))(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdM

3、fbaR 時時上區(qū)間上區(qū)間當(dāng)當(dāng).),()(,2 DdyxfdMfDR 時時上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng)積分概念的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分第4頁/共34頁 dVzyxfdMfR),()(,3 時時上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng).),()(,3 dszyxfdMfR 時時上空間曲線上空間曲線當(dāng)當(dāng).),()(,3 SdSzyxfdMfSR 時時上曲面上曲面當(dāng)當(dāng)曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 時時上平面曲線上平面曲線當(dāng)當(dāng)曲線積分曲線積分第5頁/共34頁計算上的聯(lián)系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),()

4、,()()(),(),(2121體元素體元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素第6頁/共34頁 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos( )(曲曲面元素面元素dS)(投影投影面元素面元素dxdy第7頁/共34頁理論上的聯(lián)系1.定積分

5、與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式第8頁/共34頁3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式第9頁/共34頁習(xí)題習(xí)題: 計算,d22syxL其中L為

6、圓周.22xayx提示提示: 利用極坐標(biāo) ,)22(cos: arLdd22rrs原式 =sxaLd22dcos22aa22a說明說明: 若用參數(shù)方程計算,:L)20( txaoyrda)cos1 (2txatyasin2t則tyxsdd22 tad2P246 3 (1)第10頁/共34頁ttad)cos1 ( P246 3(3). 計算計算,dd)2(Lyxxya其中L為擺線, )sin(ttax)cos1 (tay上對應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(t

7、ttadsin2第11頁/共34頁zoyx1P246 3(6). 計算計算其中由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在 上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd)cos1 (cos42022221221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx從 z 軸正向看沿逆時針方向.,12所得 z第12頁/共34頁例例. 計算計算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆時針方向以原點為中心,CoyxABL解法解法1 令,22xyQyxP則xQ這說明積分與路徑無關(guān), 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx

8、 d2332a1yPa 為半徑的上半圓周.第13頁/共34頁解法解法2 ,BA它與L所圍區(qū)域為D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)332aBALyxyxyxId)(d)(22則添加輔助線段第14頁/共34頁 sin)cos1 (:taytaxLDyaLxo計算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L為上半圓周, 0,)(222yayax提示提示: :LxxyyexyeId)2cos(dsinLxyd2Lxyd2BAyxDdd0ax20d0022dsin2tta0: t2a沿逆時針方向.ABABL練習(xí)題練習(xí)題: P246

9、題題 3(5) ; P246 題題6; 103(5).第15頁/共34頁P246 6 .設(shè)在右半平面 x 0 內(nèi), 力構(gòu)成力場,其中k 為常數(shù), ,22yx 證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān).提示提示:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易證53yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF 沿右半平面內(nèi)任意有向路徑 L 所作的功為第16頁/共34頁P246 11.求力沿有向閉曲線 所作的功, 其中 為平面 x + y + z = 1 被三個坐標(biāo)面所截成三提示提示: BAzyxCozxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1從 z 軸正

10、向看去沿順時針方向.利用對稱性角形的整個邊界,),(xzyF 第17頁/共34頁設(shè)三角形區(qū)域為 , 方向向上, 則zxyzxyWdddzyxSd313131yzx1:zyxSd)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法2nBAzyxCo23yxDyxdd33利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式第18頁/共34頁例例驗證驗證yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在整個在整個xoy 平面內(nèi)是某一函數(shù)平面內(nèi)是某一函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,并求這樣一個并求這樣一個),(yxu. . 解解yyeyxxyxQxyyxyxP128),(,83),(2322 是某個函數(shù)的全微分

11、是某個函數(shù)的全微分 ,1632xQxyxyPdyyeyxxdxxyyxyxuyyx)128()83(),(23),()0 , 0(22 BAO)1(124)128(223023 yyyyABOAeyeyxyxdyyeyxx第19頁/共34頁)0()0 ,()0 ,()ln(2 2222222222 aaBaAayxLdyaxxyxdxxayIL的弧段的弧段依反時針方向到依反時針方向到上由點上由點是圓周是圓周其中其中、計算、計算)0 ,( aB )0 ,(aA22124axyxQ 解：解：2212axyyP dyaxxyxdxxayIl)ln(2 222222 Ddxdy422 a dyaxxy

12、xdxxayl)ln(2 222222 0022 dxxall第20頁/共34頁22222(1)(0)4LxdyydxILxyRRxy例、計算其中 為取逆時針。222244yxxyyPxQ 解：解：0)()1)1( dxdyyPxQIRD（)1)2( R（0)(4)1)3(22 dxdyyPxQyxydxxdyIRDl（2224: yxl llydxxdyyxydxxdyI2224 222111222 Dldxdyydxxdy第21頁/共34頁22222222()(1),51LIx yzdxxydyxydzLxyzzxyoz 例計算：其中為球面與旋轉(zhuǎn)拋物面的交線，從軸正向看去為順時針。 212

13、2zyxL解：解： 2sincoszyxL dI0)1sin(coscossincos20222 2 第22頁/共34頁2222,2zdszxyxyx例、計算其中為錐面在柱體內(nèi)的部分。dxdyzzdsyx221 解：解：dxdy2 dxdyyxID222 drrd cos202222。9232 第23頁/共34頁2222222222( )( , , ),( , , )0 xyztF tf x y z dsxyzxyf x y zzxy例求其中， 21),(),()(ssdszyxfdszyxftF解：解： 1),(sdszyxfdxdyyxttds222 222222222)()(tyxdxd

14、yyxttyxtF.62584t s1s2第24頁/共34頁22(2),(01),sIxz dydzzdxdyszxyzz例、計算其中 為有向曲面其法向量與 軸夾角為銳角。1s vsdvI)12(1解：解： 23 11sszdxdy Ddxdy 。2 I第25頁/共34頁zyxo練習(xí)練習(xí):P246 題題4(3) ,ddddddyxzxzyzyx其中 為半球面222yxRz的上側(cè).且取下側(cè) , 提示提示: 以半球底面0原式 =3323R032R0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx記半球域為 ,高斯公式有計算為輔助面, 利用第26頁/共34頁例例.證明證明: 設(shè)(常向量)則單位外法向向

15、量, 試證Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos設(shè) 為簡單閉曲面, a 為任意固定向量,n 為的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a第27頁/共34頁例例. 計算曲面積分計算曲面積分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外側(cè)Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134第28頁/共34頁2121I例例. 設(shè)設(shè) 是曲面是曲面9) 1(16)2(5122yxz232

16、22)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足夠小的正數(shù), 作曲面取下側(cè) 使其包在 內(nèi), 2為 xoy 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,1與21ozyx取上側(cè), 計算, )0( z則第29頁/共34頁21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二項添加輔助面, 再用高斯公式計算, 得第30頁/共34頁(1) 在任一固定時刻 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是備用題備用題 地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝率攝象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像, 若地球半徑為R , 衛(wèi)星距地球表面高度為H =0.25 R , 衛(wèi)星繞地球一周的時間為 T , 試求(2) 在yzxo解解: 如圖建立坐標(biāo)系.,54cos8 . 0arccosR25. 1R3T的時間內(nèi) , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少 ?多少 ? 第31頁/共34頁(1) 利用球坐標(biāo)利用球坐標(biāo), 任一固定時刻監(jiān)視的地球表面任一固定時刻監(jiān)視的地球表面積為積為yzxoR25. 1R02201dsindRS)cos1 (22R252R(2) 在2S202