第六章方差分析1

1、第六章第六章 方差分析（方差分析（anova）多個均數(shù)的比較多個均數(shù)的比較 兩個總體平均數(shù)比較：兩個總體平均數(shù)比較： t 檢驗。檢驗。2121xxsxxt3個或個或3個以上總體平均數(shù)如何比較呢？個以上總體平均數(shù)如何比較呢？用用t t檢驗進行多個平均數(shù)比較的局限性：檢驗進行多個平均數(shù)比較的局限性：1 1、檢驗過程煩瑣、檢驗過程煩瑣2 2、無統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的精確性和、無統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低檢驗的靈敏性低 3 3、推斷的可靠性低，檢驗的、推斷的可靠性低，檢驗的i i型錯誤率大型錯誤率大 如果用如果用t檢驗方法：需要對多個平均數(shù)進行兩兩比較檢驗方法：需要對多個平均

2、數(shù)進行兩兩比較（1）3個平均數(shù)：比較個平均數(shù)：比較3次次 323121321;,xxxxxxxxx和和和（2）4個平均數(shù)：比較個平均數(shù)：比較6次次4342324131214321;,xxxxxxxxxxxxxxxx和和和和和和，（3）k個平均數(shù)：個平均數(shù)：2) 1(2kkck1、檢驗過程煩瑣、檢驗過程煩瑣 對同一試驗的多個處理進行比較時，應該有一個統(tǒng)一的試驗誤差的估計值。若用t檢驗法作兩兩比較，由于每次比較需計算一個試驗誤差，故使得各次比較誤差的估計不統(tǒng)一，同時沒有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計的精確性降低，從而降低檢驗的靈敏性。2、無統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低、無

3、統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低 型錯誤：原假設實際為正確，但做出了拒絕原假設的判斷型錯誤：原假設實際為正確，但做出了拒絕原假設的判斷 犯犯型錯誤的概率等于顯著性水平型錯誤的概率等于顯著性水平。 設每次比較的顯著性水平為設每次比較的顯著性水平為0.050.05， 則，犯則，犯型錯誤的概率為型錯誤的概率為0.050.05，或者說不犯，或者說不犯型錯誤型錯誤 的概的概 率為率為1 10.050.050.950.95。 c c次檢驗均不犯次檢驗均不犯型錯誤的概率為型錯誤的概率為0.950.95c c 或者說，或者說，c c次檢驗犯次檢驗犯型錯誤的總概率為型錯誤的總概率為1 10.95

4、0.95c c 因此，不能簡單地用因此，不能簡單地用t 檢驗方法對檢驗方法對3 個或個或3個以個以上的總體平均數(shù)進行兩兩比較。上的總體平均數(shù)進行兩兩比較。 方差分析方法可以有效地解決這個問題。方差分析方法可以有效地解決這個問題。3、推斷的可靠性低，檢驗的、推斷的可靠性低，檢驗的i型錯誤率大型錯誤率大方差分析由英國統(tǒng)計方差分析由英國統(tǒng)計學家學家r.a.fisherr.a.fisher于于19231923年首創(chuàng)，為紀念年首創(chuàng)，為紀念fisherfisher，以，以f f命名，故命名，故方差分析又稱方差分析又稱 f f 檢驗檢驗 （f f test test）。用于推）。用于推斷斷多個總體均數(shù)多個總

5、體均數(shù)有無有無差異差異 方差分析(analysis of variance)(analysis of variance)方差分析的基本思想：方差分析的基本思想：將將k k個處理的觀測值作為一個整體看待個處理的觀測值作為一個整體看待把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應于把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應于不同變異來源的平方和及自由度不同變異來源的平方和及自由度獲得不同變異來源總體方差估計值獲得不同變異來源總體方差估計值通過計算這些總體方差的估計值的適當比值，就通過計算這些總體方差的估計值的適當比值，就能檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等能檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等方差分析實質(zhì)上是關

6、于方差分析實質(zhì)上是關于觀測值變異原因的數(shù)量分析觀測值變異原因的數(shù)量分析table 1. the hemoglobin concentration of tibetan chicken and dwarf chicken 1 embryos incubated at 2900m and 100m g/100ml 2 dwarf tibetan day of incubation 2900 m 100 m 2900 m 100 m 12 5.74 0.36b 6.07 0.30b 7.26 0.34a 7.03 0.28a 15 8.78 0.31b 8.11 0.27bc 9.59 0.28a

7、7.70 0.27c 18 9.69 0.28a 8.84 0.33b 10.35 0.28a 8.48 0.35b a-cmeans within the same row with no common superscript differ significantly 3 (p0.05) . 4 第一節(jié)第一節(jié) 方差分析的基本原理與步驟方差分析的基本原理與步驟 將數(shù)據(jù)之間的變異分解為組間變異和組內(nèi)變異。將數(shù)據(jù)之間的變異分解為組間變異和組內(nèi)變異。所謂的組：指樣本，不同的組來自不同的總體，所謂的組：指樣本，不同的組來自不同的總體，接受不同接受不同的處理的處理。（1）組內(nèi)變異：）組內(nèi)變異： 由于同組

8、內(nèi)的個體來自同一總體（接受同一處理），由于同組內(nèi)的個體來自同一總體（接受同一處理），因此組內(nèi)變異因此組內(nèi)變異僅僅是由于個體之間的隨機誤差造成的。僅僅是由于個體之間的隨機誤差造成的。（2）組間變異：）組間變異： 不同組個體間的變異，除了個體之間的隨機誤差以不同組個體間的變異，除了個體之間的隨機誤差以外，還包括不同處理（不同的組來自不同總體）所造成的外，還包括不同處理（不同的組來自不同總體）所造成的差異。差異。方差分析的基本原理方差分析的基本原理方差分析法的基本原理：方差分析法的基本原理： 檢驗統(tǒng)計量組內(nèi)變異組間變異 比較組間變異和組內(nèi)變異，如果組間變異顯比較組間變異和組內(nèi)變異，如果組間變異顯著大

9、于組內(nèi)變異，表明不同的處理之間確實存在著大于組內(nèi)變異，表明不同的處理之間確實存在差異，或者說不同的總體平均數(shù)之間存在差異；差異，或者說不同的總體平均數(shù)之間存在差異；反之，則沒有差異。反之，則沒有差異。 組間變異組間變異組內(nèi)變異組內(nèi)變異總變異總變異數(shù)學模型數(shù)學模型就是為了某種目的，根據(jù)對研究對象所觀察就是為了某種目的，根據(jù)對研究對象所觀察到的現(xiàn)象及其實踐經(jīng)驗，用到的現(xiàn)象及其實踐經(jīng)驗，用字母字母、數(shù)學及其它、數(shù)學及其它數(shù)學符數(shù)學符號號建立起來的建立起來的等式等式或或不等式不等式及及圖表圖表、圖象圖象、框圖框圖等歸等歸結(jié)成的一套反映對象某些主要數(shù)量關系的結(jié)成的一套反映對象某些主要數(shù)量關系的數(shù)學數(shù)學公

10、式公式、邏輯邏輯準則準則和具體算法，用來描述客觀事物的和具體算法，用來描述客觀事物的特征特征，內(nèi)，內(nèi)在聯(lián)系和在聯(lián)系和運動規(guī)律運動規(guī)律。 6.1.1線性模型與基本假定 處處理理觀觀測測值值合合計計平平均均1x11 x12 11nxx11x2x21 x22 22nxx22x kxk1 xk2 kknxxkkx總數(shù) = n，總和 = x ，總平均 = x1、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 設有設有k 個組，每組的觀察值數(shù)據(jù)是來自該組的處理所代個組，每組的觀察值數(shù)據(jù)是來自該組的處理所代表的總體的一個樣本。表的總體的一個樣本。全部數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)如下：全部數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)如下：6.1.1線性模型與基本假定 因此，將觀測值用以下

11、線性模型表示為：因此，將觀測值用以下線性模型表示為：ai : 第第i 個處理的總體平均數(shù)（第個處理的總體平均數(shù)（第i組所來自總體的總體平組所來自總體的總體平 均數(shù)）均數(shù)）ij : 隨機誤差隨機誤差), 0(2nij假設：（假設：（1）（2）各個各個ij彼此獨立彼此獨立ijiijax6.1.1線性模型與基本假定 單因素試驗的線性模型（linear modellinear model） 方差分析的基本假定 效應的可加性（additivityadditivity） 分布的正態(tài)性（normalitynormality） 方差的同質(zhì)性（homogeneityhomogeneity）在這個模型中ijx表示

12、為總平均數(shù)、處理效應i、試驗誤差ij之和。1 由ij相互獨立且服從正態(tài)分布n（0， 2） ， 可知各處理ai(i=1， 2， ，2 k)所屬總體亦應具正態(tài)性， 即服從正態(tài)分布n(i,2)。 盡管各總體的均3 數(shù)i可以不等或相等，2則必須是相等的。 4 ijiijax6.1.1線性模型與基本假定 觀測值變異的分解通過對總平方和與自由度的剖分來完成觀測值變異的分解通過對總平方和與自由度的剖分來完成 kinjijtixxss112)(總平方和2222)()(2)()()()(xxxxxxxxxxxxxxiiiijiijiiijij1 1、 平方和的剖分平方和的剖分（1）先將離均差平方和改寫為：）先將

13、離均差平方和改寫為：6.1.2平方和與自由度的剖分 iinjiiiijnjijxxnxxxx12212)()()(因為：因為：（2）再求一個組內(nèi)的離均差平方和相加得：）再求一個組內(nèi)的離均差平方和相加得：iinjiijinjiiijxxxxxxxx110)()(2)(2離均差之和為離均差之和為0 kiiikinjiijkinjijxxnxxxxii12112112)()()(組內(nèi)平方和組內(nèi)平方和組間平方和組間平方和（3）最后，將）最后，將k 個組的離均差平方和相加得：個組的離均差平方和相加得：ettsssssstetsssssstssess組內(nèi)離均差平方和，簡稱組內(nèi)離均差平方和，簡稱組內(nèi)平方和組內(nèi)平方和：度量了組內(nèi)的變異。由于組內(nèi)變異與處理無度量了組內(nèi)的變異。由于組內(nèi)變異與處理無關，是由于個體間的隨機誤差造成的，所以關，是由于個體間的隨機誤差造成的，所以又稱為又稱為誤差平方和誤差平方和。組間離均差平方和，簡稱組間離均差平方和，簡稱組間平方和組間平方和：度量了組間的變異。由于組間的差異除了隨度量了組間的變異。由于組間的差異除了隨機誤差以外，還包括不同處理造成的差異，機誤差以外，還包括不同處理造成的差異，所以又稱為處理平方和。所以又稱為