相似三角形專題試題解析范文

1、相似三角形專題試題解析 相似形專題 1（2022阿壩州）如圖，abc和ade是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，bac=dae=90，點(diǎn)p為射線bd，ce的交點(diǎn) （1）求證：bd=ce； （2）若ab=2，ad=1，把a(bǔ)de繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，當(dāng)eac=90時(shí)，求pb的長(zhǎng)； 【解答】解：（1）abc和ade是等腰直角三角形，bac=dae=90， ab=ac，ad=ae，dab=cae adbaec bd=ce （2）解：當(dāng)點(diǎn)e在ab上時(shí)，be=abae=1 eac=90， ce= 同（1）可證adbaec dba=eca peb=aec， pebaec = = pb= 當(dāng)點(diǎn)e在ba延長(zhǎng)線上時(shí)，be=3 e

2、ac=90， ce= 同（1）可證adbaec dba=eca bep=cea， pebaec = = pb= 綜上所述，pb的長(zhǎng)為或 2（2022常德）如圖，直角abc中，bac=90，d在bc上，連接ad，作bfad分別交ad于e，ac于f （1）如圖1，若bd=ba，求證：abedbe； （2）如圖2，若bd=4dc，取ab的中點(diǎn)g，連接cg交ad于m，求證：gm=2mc；ag2=afac 【解答】證明：（1）在rtabe和rtdbe中， abedbe； （2）過(guò)g作ghad交bc于h， ag=bg， bh=dh， bd=4dc， 設(shè)dc=1，bd=4， bh=dh=2， ghad， =

3、， gm=2mc； 過(guò)c作cnac交ad的延長(zhǎng)線于n，則cnag， agmncm， =， 由知gm=2mc， 2nc=ag， bac=aeb=90， abf=can=90bae， acnbaf， =， ab=2ag， =， 2cnag=afac， ag2=afac 3（2022杭州）如圖，在銳角三角形abc中，點(diǎn)d，e分別在邊ac，ab上，agbc于點(diǎn)g，afde于點(diǎn)f，eaf=gac （1）求證：adeabc； （2）若ad=3，ab=5，求的值 【解答】解：（1）agbc，afde， afe=agc=90， eaf=gac， aed=acb， ead=bac， adeabc， （2）由（1

4、）可知：adeabc， = 由（1）可知：afe=agc=90， eaf=gac， eafcag， ， = 4（2022眉山）如圖，點(diǎn)e是正方形abcd的邊bc延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)de，過(guò)頂點(diǎn)b作bfde，垂足為f，bf分別交ac于h，交cd于g （1）求證：bg=de； （2）若點(diǎn)g為cd的中點(diǎn)，求的值 【解答】解：（1）bfde， gfd=90， bcg=90，bgc=dgf， cbg=cde， 在bcg與dce中， bcgdce（asa）， bg=de， （2）設(shè)cg=1， g為cd的中點(diǎn)， gd=cg=1， 由（1）可知：bcgdce（asa）， cg=ce=1， 由勾股定理可知：de=

5、bg=， sincde=， gf=， abcg， abhcgh， =， bh=，gh=， = 5（2022河池）（1）如圖1，在正方形abcd中，點(diǎn)e，f分別在bc，cd上，aebf于點(diǎn)m，求證：ae=bf； （2）如圖2，將 （1）中的正方形abcd改為矩形abcd，ab=2，bc=3，aebf于點(diǎn)m，探究ae與bf的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 【解答】（1）證明：四邊形abcd是正方形， abc=c，ab=bc aebf， amb=bam+abm=90， abm+cbf=90， bam=cbf 在abe和bcf中， ， abebcf（asa）， ae=bf； （2）解：ae=bf， 理由：四

6、邊形abcd是矩形， abc=c， aebf， amb=bam+abm=90， abm+cbf=90， bam=cbf， abebcf， =， ae=bf 6（2022泰安）如圖，四邊形abcd中，ab=ac=ad，ac平分bad，點(diǎn)p是ac延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且pdad （1）證明：bdc=pdc； （2）若ac與bd相交于點(diǎn)e，ab=1，ce：cp=2：3，求ae的長(zhǎng) 【解答】（1）證明：ab=ad，ac平分bad， acbd， acd+bdc=90， ac=ad， acd=adc， adc+bdc=90， pdad， adc+pdc=90， bdc=pdc； （2）解：過(guò)點(diǎn)c作cmpd于點(diǎn)m，

7、 bdc=pdc， ce=cm， cmp=adp=90，p=p， cpmapd， =， 設(shè)cm=ce=x， ce：cp=2：3， pc=x， ab=ad=ac=1， =， 解得：x=， 故ae=1= 7（2022天水）abc和def是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，bac=edf=90，def的頂點(diǎn)e與abc的斜邊bc的中點(diǎn)重合，將def繞點(diǎn)e旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段de與線段ab相交于點(diǎn)p，線段ef與射線ca相交于點(diǎn)q （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)q在線段ac上，且ap=aq時(shí)，求證：bpecqe； （2）如圖，當(dāng)點(diǎn)q在線段ca的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：bpeceq；并求當(dāng)bp=2，cq=9時(shí)bc的長(zhǎng) 【解答】（1）

8、證明：abc是等腰直角三角形， b=c=45，ab=ac， ap=aq， bp=cq， e是bc的中點(diǎn)， be=ce， 在bpe和cqe中， ， bpecqe（sas）； （2）解：abc和def是兩個(gè)全等的等腰直角三角形， b=c=def=45， beq=eqc+c， 即bep+def=eqc+c， bep+45=eqc+45， bep=eqc， bpeceq， =， bp=2，cq=9，be=ce， be2=18， be=ce=3， bc=6 8（2022綏化）如圖，在矩形abcd中，e為ab邊上一點(diǎn)，ec平分deb，f為ce的中點(diǎn)，連接af，bf，過(guò)點(diǎn)e作ehbc分別交af，cd于g，h

9、兩點(diǎn) （1）求證：de=dc； （2）求證：afbf； （3）當(dāng)afgf=28時(shí)，請(qǐng)直接寫出ce的長(zhǎng) 【解答】解：（1）四邊形abcd是矩形， abcd， dce=ceb， ec平分deb， dec=ceb， dce=dec， de=dc； （2）如圖，連接df， de=dc，f為ce的中點(diǎn)， dfec， dfc=90， 在矩形abcd中，ab=dc，abc=90， bf=cf=ef=ec， abf=ceb， dce=ceb， abf=dcf， 在abf和dcf中， ， abfdcf（sas）， afb=dfc=90， afbf； （3）ce=4 理由如下：afbf， baf+abf=90，

10、ehbc，abc=90， beh=90， feh+ceb=90， abf=ceb， baf=feh， efg=afe， efgafe， =，即ef2=afgf， afgf=28， ef=2， ce=2ef=4 9（2022雨城區(qū)校級(jí)自主招生）在rtabc中，bac=90，過(guò)點(diǎn)b的直線mnac，d為bc邊上一點(diǎn)，連接ad，作dead交mn于點(diǎn)e，連接ae （1）如圖1，當(dāng)abc=45時(shí)，求證：ad=de； （2）如圖2，當(dāng)abc=30時(shí)，線段ad與de有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由 【解答】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)d作dfbc，交ab于點(diǎn)f， 則bde+fde=90， dead， fde+adf=9

11、0， bde=adf， bac=90，abc=45， c=45， mnac， ebd=180c=135， bfd=45，dfbc， bfd=45，bd=df， afd=135， ebd=afd， 在bde和fda中 ， bdefda（asa）， ad=de； （2）解：de=ad， 理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)d作dgbc，交ab于點(diǎn)g， 則bde+gde=90， dead， gde+adg=90， bde=adg， bac=90，abc=30， c=60， mnac， ebd=180c=120， abc=30，dgbc， bgd=60， agd=120， ebd=agd， bdegda， =， 在rt

12、bdg中，=tan30=， de=ad 10（2022深圳模擬）如圖1，邊長(zhǎng)為2的正方形abcd中，e是ba延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ae=ab，點(diǎn)p從點(diǎn)d出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿dcb向終點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)，直線ep交ad于點(diǎn)f，過(guò)點(diǎn)f作直線fgde于點(diǎn)g，交ab于點(diǎn)r （1）求證：af=ar； （2）設(shè)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t， 求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形prbc是矩形？ 如圖2，連接pb請(qǐng)直接寫出使prb是等腰三角形時(shí)t的值 【解答】（1）證明：如圖，在正方形abcd中，ad=ab=2， ae=ab， ad=ae， aed=ade=45， 又fgde， 在rtegr中，ger=gre=45， 在rtarf中，fra

13、=afr=45， fra=rfa=45， af=ar； （2）解：如圖，當(dāng)四邊形prbc是矩形時(shí)， 則有prbc， afpr， eaferp， ，即：由（1）得af=ar， ， 解得：或（不合題意，舍去）， ， 點(diǎn)p從點(diǎn)d出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿dcb向終點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)， （秒）； 若pr=pb， 過(guò)點(diǎn)p作pkab于k， 設(shè)fa=x，則rk=br=（2x）， efaepk， ， 即：=， 解得：x=3（舍去負(fù)值）； t=（秒）； 若pb=rb， 則efaepb， =， ， bp=ab=2= cp=bcbp=2=， （秒） 綜上所述，當(dāng)pr=pb時(shí)，t=；當(dāng)pb=rb時(shí)，秒 11（2022江漢區(qū)校級(jí)

14、模擬）如圖，正方形abcd的對(duì)角線ac，bd相交于點(diǎn)o，延長(zhǎng)cb至點(diǎn)f，使cf=ca，連接af，acf的平分線分別交af，ab，bd于點(diǎn)e，n，m，連接eo （1）已知bd=，求正方形abcd的邊長(zhǎng)； （2）猜想線段em與cn的數(shù)量關(guān)系并加以證明 【解答】解：（1）四邊形abcd是正方形， abd是等腰直角三角形， 2ab2=bd2， bd=， ab=1， 正方形abcd的邊長(zhǎng)為1； （2）cn=2em 證明方法一、理由：四邊形abcd是正方形， acbd，oa=oc cf=ca，ce是acf的平分線， ceaf，ae=fe eo為afc的中位線 eobc 在rtaen中，oa=oc eo=o

15、c=ac， cm=em ce平分acf， ocm=bcn， nbc=com=90， cbncom， ， cn=cm， 即cn=2em 證明方法二、四邊形abcd是正方形， bac=45=dbc， 由（1）知，在rtace中，eo=ac=co， oec=oce， ce平分acf， oce=ecb=oec， eobc， eom=dbc=45， oem=oce eomcan， ， cn=2cm 12（2022濟(jì)寧二模）將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中a1cb1=acb=90，a1=a=30 （1）將圖1中a1b1c繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得圖2，點(diǎn)p1是a1c與ab的交點(diǎn)，點(diǎn)q是a1b1與bc的交點(diǎn)，

16、求證：cp1=cq； （2）在圖2中，若ap1=a，則cq等于多少？ （3）將圖2中a1b1c繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到a2b2c（如圖3），點(diǎn)p2是a2c與ap1的交點(diǎn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，有ap1ccp1p2？這時(shí)線段cp1與p1p2之間存在一個(gè)怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【解答】（1）證明：b1cb=45，b1ca1=90， b1cq=bcp1=45； 又b1c=bc，b1=b， b1cqbcp1（asa） cq=cp1； （2）解：如圖：作p1dac于d， a=30， p1d=ap1； p1cd=45， =sin45=， cp1=p1d=ap1； 又ap1=a，cq=cp1， cq=a； （3）解：當(dāng)p1

17、cp2=p1ac=30時(shí)，由于cp1p2=ap1c，則ap1ccp1p2， 所以將圖2中a1b1c繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30到a2b2c時(shí)，有ap1ccp1p2 這時(shí)=， p1p2=cp1 13（2022惠陽(yáng)區(qū)模擬）把rtabc和rtdef按如圖（1）擺放（點(diǎn)c與e重合），點(diǎn)b、c（e）、f在同一條直線上已知：acb=edf=90，def=45，ac=8cm，bc=6cm，ef=10cm如圖（2），def從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿cb向abc勻速移動(dòng)，在def移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)p從abc的頂點(diǎn)a出發(fā)，以2cm/s的速度沿ab向點(diǎn)b勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)p移動(dòng)到點(diǎn)b時(shí)，點(diǎn)p停止移動(dòng)，def也隨之停

18、止移動(dòng)de與ac交于點(diǎn)q，連接pq，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s） （1）用含t的代數(shù)式表示線段ap和aq的長(zhǎng)，并寫出t的取值范圍； （2）連接pe，設(shè)四邊形apeq的面積為y（cm2），試探究y的最大值； （3）當(dāng)t為何值時(shí)，apq是等腰三角形 【解答】（1）解：ap=2t edf=90，def=45， cqe=45=def， cq=ce=t， aq=8t， t的取值范圍是：0t5； （2）過(guò)點(diǎn)p作pgx軸于g，可求得ab=10，sinb=，pb=102t，eb=6t， pg=pbsinb=（102t） y=sabcspbesqce= 當(dāng)（在0t5內(nèi)），y有最大值，y最大值=（cm2） （3）若ap=

19、aq，則有2t=8t解得：（s） 若ap=pq，如圖：過(guò)點(diǎn)p作phac，則ah=qh=，phbc aphabc， ， 即， 解得：（s） 若aq=pq，如圖：過(guò)點(diǎn)q作qiab，則ai=pi=ap=t aiq=acb=90a=a， aqiabc 即， 解得：（s） 綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，apq是等腰三角形 14（2022廬陽(yáng)區(qū)一模）abc，a、b、c的對(duì)邊分別是a、b、c，一條直線de與邊ac相交于點(diǎn)d，與邊ab相交于點(diǎn)e （1）如圖，若de將abc分成周長(zhǎng)相等的兩部分，則ad+ae等于多少；（用a、b、c表示） （2）如圖，若ac=3，ab=5，bc=4de將abc分成周長(zhǎng)、面積相等的兩部分，求

20、ad； （3）如圖，若de將abc分成周長(zhǎng)、面積相等的兩部分，且debc，則a、b、c滿足什么關(guān)系？ 【解答】解：（1）de將abc分成周長(zhǎng)相等的兩部分， ad+ae=cd+bc+be=（ab+ac+bc）=（a+b+c）； （2）設(shè)ad=x，ae=6x， sade=adaesina=3， 即：x（6x）=3， 解得：x1=（舍去），x2=， ad=； （3）debc， adeabc， ， =， ad=b，ae=c， bc=（a+b+c）， =1 15（2022嘉興模擬）已知：如圖，四邊形abcd是正方形，paq=45，將paq繞著正方形的頂點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，使它與正方形abcd的兩個(gè)外角ebc和fd

21、c的平分線分別交于點(diǎn)m和n，連接mn （1）求證：abmnda； （2）連接bd，當(dāng)bam的度數(shù)為多少時(shí)，四邊形bmnd為矩形，并加以證明 【解答】（1）證明：四邊形abcd是正方形， abc=adc=bad=90， bm、dn分別是正方形的兩個(gè)外角平分線， abm=adn=135， man=45， bam=and=45dan， abmnda； （2）解：當(dāng)bam=22.5時(shí)，四邊形bmnd為矩形；理由如下： bam=22.5，ebm=45， amb=22.5， bam=amb， ab=bm， 同理ad=dn， ab=ad，bm=dn， 四邊形abcd是正方形 abd=adb=45， bdn=

22、dbm=90 bdn+dbm=180， bmdn 四邊形bmnd為平行四邊形， bdn=90， 四邊形bmnd為矩形 16（2022肥城市三模）如圖，在銳角abc中，d，e分別為ab，bc中點(diǎn)，f為ac上一點(diǎn)，且afe=a，dmef交ac于點(diǎn)m （1）點(diǎn)g在be上，且bdg=c，求證：dgcf=dmeg； （2）在圖中，取ce上一點(diǎn)h，使cfh=b，若bg=1，求eh的長(zhǎng) 【解答】（1）證明：如圖1所示， d，e分別為ab，bc中點(diǎn)， deac dmef， 四邊形defm是平行四邊形， dm=ef， 如圖2所示， d、e分別是ab、bc的中點(diǎn)， deac， bde=a，deg=c， afe=a

23、， bde=afe， bdg+gde=c+fec， bdg=c， gde=fec， degecf； ， ， ， dgcf=dmeg； （2）解：如圖3所示， bdg=c=deb，b=b， bdgbed， ， bd2=bgbe， afe=a，cfh=b， c=180ab=180afecfh=efh， 又feh=cef， efhecf， =， ef2=ehec， deac，dmef， 四邊形defm是平行四邊形， ef=dm=da=bd， bgbe=ehec， be=ec， eh=bg=1 17（2022肥城市模擬）abc中，ab=ac，點(diǎn)d、e、f分別在bc、ab、ac上，edf=b （1）如圖

24、1，求證：decd=dfbe （2）d為bc中點(diǎn)如圖2，連接ef 求證：ed平分bef； 若四邊形aedf為菱形，求bac的度數(shù)及的值 【解答】（1）證明：abc中，ab=ac， b=c b+bde+deb=180，bde+edf+fdc=180，edf=b， fdc=deb， bdecfd， ， 即decd=dfbe； （2）解：由（1）證得bdecfd， ， d為bc中點(diǎn)， bd=cd， =， b=edf， bdedfe， bed=def， ed平分bef； 四邊形aedf為菱形， aef=def， bed=def， aef=60， ae=af， bac=60， bac=60， abc是等

25、邊三角形， b=60， bed是等邊三角形， be=de， ae=de， ae=ab， = 18（2022長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，在abc 中，點(diǎn)p是ac邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作與bc平行的直線pq，交ab于點(diǎn)q，點(diǎn)d在線段 bc上，聯(lián)接ad交線段pq于點(diǎn)e，且=，點(diǎn)g在bc延長(zhǎng)線上，acg的平分線交直線pq于點(diǎn)f （1）求證：pc=pe； （2）當(dāng)p是邊ac的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形aecf是矩形 【解答】（1）證明：pqbc， aqeabd，aepadc， =， =， =， =， pc=pe； （2）pfdg， pfc=fcg， cf平分pcg， pcf=fcg， pfc=fcg， pf=pc， pf=

26、pe， p是邊ac的中點(diǎn)， ap=cp， 四邊形aecf是平行四邊形， pqcd， pec=dce， pce=dce， pce+pcf=（pcd+pcg）=90， ecf=90， 平行四邊形aecf是矩形 19（2022安徽模擬）如圖，已知abc中，ac=bc，點(diǎn)d、e、f分別是線段ac、bc、ad的中點(diǎn)，bf、ed的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)g，連接gc （1）求證：ab=gd； （2）如圖2，當(dāng)cg=eg時(shí)，求的值 【解答】解：（1）d、e分別是線段ac、bc的中點(diǎn)， de為abc的中位線， deab，即egab， fdg=a， 點(diǎn)f為線段ad的中點(diǎn)， af=df， 在abf與dgf中， abfdgf（

27、asa） ab=gd （2）de為abc的中位線， de=ab，ce=bc=ac dg=ab， eg=de+dg eg=ab deab， gec=cba， ac=bc，cg=eg geccba ， 即， 20（2022蜀山區(qū)二模）如圖，在abc中，d、e分別為ab、ac上的點(diǎn)，線段be、cd相交于點(diǎn)o，且dcb=ebc=a （1）求證：bodbae； （2）求證：bd=ce； （3）若m、n分別是be、ce的中點(diǎn)，過(guò)mn的直線交ab于p，交ac于q，線段ap、aq相等嗎？為什么？ 【解答】（1）證明：bco=cbo， dob=bco+cbo=2bco， a=2bco， dob=a， abe=a

28、be， bodbae； （2）解：延長(zhǎng)cd，在cd延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)f，使bf=bd， bdf=bfd， bdf=abo+dob，bec=abo+a， 由（1）得bod=a， bdf=bec， bfd=bec， 在bfc與ceb中， bfcceb， bd=bf， bd=ce； （3）解：ap=aq， 理由：取bc的中點(diǎn)g，連接gm，gn， m，n分別是be，cd的中點(diǎn)， gm，gn是中位線， gmce，gm=ce，gnbd，gn=bd， bd=ce， gm=gn， 3=4， gmce， 2=4， gnbd， 3=1， 1=2， ap=aq 21（2022石家莊二模）如圖，在矩形abcd和矩形pef

29、g中，ab=8，bc=6，pe=2，pg=4pe與ac交于點(diǎn)m，ef與ac交于點(diǎn)n，動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)a出發(fā)沿ab以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)b勻速運(yùn)動(dòng)，伴隨點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)，矩形pefg在射線ab上滑動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)k從點(diǎn)p出發(fā)沿折線peef以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)p、k同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)k到達(dá)點(diǎn)f時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)p也隨之停止設(shè)點(diǎn)p、k運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0） （1）當(dāng)t=1時(shí)，ke=1，en=； （2）當(dāng)t為何值時(shí)，apm的面積與mne的面積相等？ （3）當(dāng)點(diǎn)k到達(dá)點(diǎn)n時(shí)，求出t的值； （4）當(dāng)t為何值時(shí)，pkb是直角三角形？ 【解答】解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，根據(jù)題意得，ap=1，pk=1， pe=2， ke

30、=21=1， 四邊形abcd和pefg都是矩形， apmabc，apmnem， =，=， mp=，me=， ne=； 故答案為：1； （2）由（1）并結(jié)合題意可得， ap=t，pm=t，me=2t，ne=t， tt=（2t）（t）， 解得，t=； （3）當(dāng)點(diǎn)k到達(dá)點(diǎn)n時(shí)，則pe+ne=ap， 由（2）得，t+2=t， 解得，t=； （4）當(dāng)k在pe邊上任意一點(diǎn)時(shí)pkb是直角三角形， 即，0t2； 當(dāng)點(diǎn)k在ef上時(shí)， 則ke=t2，bp=8t， bpkpke， pk2=bpke，pk2=pe2+ke2， 4+（t2）2=（8t）（t2）， 解得t=3，t=4； 當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)k在bc邊上，kbp

31、=90 綜上，當(dāng)0t2或t=3或t=4或5時(shí)，pkb是直角三角形 22（2022農(nóng)安縣模擬）如圖（1），在abc中，ad是bc邊的中線，過(guò)a點(diǎn)作aebc與過(guò)d點(diǎn)作deab交于點(diǎn)e，連接ce （1）求證：四邊形adce是平行四邊形 （2）連接be，ac分別與be、de交于點(diǎn)f、g，如圖（2），若ac=6，求fg的長(zhǎng) 【解答】（1）證明：aebc，deab 四邊形abde是平行四邊形， ae=bd， 又bd=dc， ae=dc， 又aedc， 四邊形adce是平行四邊形 （2）解：四邊形adce是平行四邊形，ac=6， ag=gc=3， 又aebc， aefcbf， =， af=2， fg=aga

32、f=1 23（2022楊浦區(qū)三模）已知：在正方形abcd中，點(diǎn)e、f分別是cb、cd延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且be=df，聯(lián)結(jié)ae、af、de、de交ab于點(diǎn)m （1）如圖1，當(dāng)e、a、f在一直線上時(shí)，求證：點(diǎn)m為ed中點(diǎn)； （2）如圖2，當(dāng)afed，求證：am2=abbm 【解答】（1）連接ac，四邊形abcd是正方形， dam=bem=bcd=90，bca=dca=45，ab=bc=cd=da， be=df，ce=cf， aeb=f=45， be=ba=ad， 在adm和bem中， adm和bem， dm=em，即點(diǎn)m為ed中點(diǎn)； （2）解：四邊形abcd是正方形， dam=ebm=90，ad=ab

33、， admbem， =， amdf，afde， 四邊形amdf是平行四邊形， am=df， be=df， am=be， ， am2=abbm 24（2022杭州模擬）已知，如圖1，點(diǎn)d、e分別在ab，ac上，且= （1）求證：debc （2）已知，如圖2，在abc中，點(diǎn)d為邊ac上任意一點(diǎn)，連結(jié)bd，取bd中點(diǎn)e，連結(jié)ce并延長(zhǎng)ce交邊ab于點(diǎn)f，求證：= （3）在（2）的條件下，若ab=ac，af=cd，求的值 【解答】解：（1）a=a， ， adeabc ade=b， debc （2）過(guò)點(diǎn)d作dgab交cf于點(diǎn)g， cdgcaf ， e是bd的中點(diǎn)， be=ed， dgab， fbe=ed

34、g 在deg與caf中， degbef（aas） dg=bf， = （3）由（2）可得： ab=ac，af=cd， = bf2+bfafaf2=0， （）2+1=0， 解得：=， = 25（2022岱岳區(qū)二模）已知abc，ac=bc，點(diǎn)e，f在直線ab上，ecf=a （1）如圖1，點(diǎn)e，f在ab上時(shí)，求證：ac2=afbe； （2）如圖2，點(diǎn)e，f在ab及其延長(zhǎng)線上，a=60，ab=4，be=3，求bf的長(zhǎng) 【解答】解：（1）ac=bc， a=b bec=ace+a acf=ace+ecf， acf=bec acfbec ac2=afbe （2）a=60， abc是等邊三角形 a=abc=ac

35、b=60=ecf， ecb=acbace，f=abcfcb， ace=fcb， ecb=f， abc=a， acfbec = af= bf=afab= 26（2022硚口區(qū)模擬）如圖，正方形abcd，eaf=45交bc、cd于e、f，交bd于h、g （1）求證：ad2=bgdh； （2）求證：ce=dg； （3）求證：ef=hg 【解答】證明：（1）四邊形abcd為正方形 abd=adb=45，ab=ad， eaf=45 bag=45+bah，ahd=45+bah， bag=ahd， 又abd=adb=45， abghda， ， bgdh=abad=ad2； （2）如圖，連接ac， 四邊形ab

36、cd是正方形 ace=adb=cad=45， ac=ad， eaf=45， eaf=cad， eafcaf=cadcaf， eac=gad， eacgad， ， ce=dg； （3）由（2）得：eacgad， ， 同理得：afcahb， ， ， ， gah=eaf， gaheaf， ， ef=gh 27（2022岱岳區(qū)一模）如圖，c為線段bd上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)b、d分別作bd的垂線，使ab=bc，de=db，連接ad、ac、be，過(guò)b作ad的垂線，垂足為f，連接ce、ef （1）求證：acdf=bfbd； （2）點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，cfe的度數(shù)保持不變，求出這個(gè)度數(shù)； （3）當(dāng)點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，c

37、ebf？并說(shuō)明理由 【解答】解：（1）bfad， afb=bfd=90， abf+baf=90， abbc， abf+dbf=90， baf=dbf， abfbdf， =，即abdf=bfbd， 由ab=bc，abbc， ab=ac， acdf=bfbd； （2）=，ab=bc、bd=de， =， fbc+bdf=90、bdf+edf=90， fbc=edf， fbcfde， bfc=dfe， 又bfd=bfc+cfd=90， dfe+cfd=90，即cfe=90， 故cfe的度數(shù)保持不變，始終等于90 （3）當(dāng)c為bd中點(diǎn)時(shí)，cebf， 理由如下： c為bd中點(diǎn)， ab=bc=cd=bd=d

38、e， 在abd和cde中， ， abdcde（sas）， adb=ced， ced+ecd=90， adb+ecd=90， cead， bfad， cebf 28（2022長(zhǎng)春模擬）如圖，在abc中，點(diǎn)d在邊ab上（不與a，b重合），debc交ac于點(diǎn)e，將ade沿直線de翻折，得到ade，直線da，ea分別交直線bc于點(diǎn)m，n （1）求證：db=dm （2）若=2，de=6，求線段mn的長(zhǎng) （3）若=n（n1），de=a，則線段mn的長(zhǎng)為a（n1）或a（0n1）（用含n的代數(shù)式表示） 【解答】解：（1）debc， ade=b，ade=dmb， 由翻折可知：ade=ade b=dmb， db=

39、dm， （2）由翻折可知：ad=ad ，db=dm， ， = debc， amnade = de=6， mn=de=3， （3）由翻折可知：ad=ad =n，db=dm， =n， 當(dāng)n1時(shí)， = debc， amnade = de=a， mn=de=a， 同理：當(dāng)0n1時(shí)， 此時(shí)=， mn=， 綜上所述，mn=a（n1）或a（0n1） 故答案為：（3）mn=a（n1）或a（0n1） 29（2022武漢）已知四邊形abcd的一組對(duì)邊ad、bc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)e （1）如圖1，若abc=adc=90，求證：edea=eceb； （2）如圖2，若abc=120，cosadc=，cd=5，ab=12，c

40、de的面積為6，求四邊形abcd的面積； （3）如圖3，另一組對(duì)邊ab、dc的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)f若cosabc=cosadc=，cd=5，cf=ed=n，直接寫出ad的長(zhǎng)（用含n的式子表示） 【解答】解：（1）如圖1中， adc=90，edc+adc=180， edc=90， abc=90， edc=abc， e=e， edceba， =， edea=eceb （2）如圖2中，過(guò)c作cfad于f，ageb于g 在rtcdf中，cosadc=， =，cd=5， df=3， cf=4， scde=6， edcf=6， ed=3，ef=ed+df=6， abc=120，g=90，g+bag=abc，

41、bag=30， 在rtabg中，bg=ab=6，ag=6， cfad，ageb， efc=g=90，e=e， efcega， =， =， eg=9， be=egbg=96， s四邊形abcd=sabescde=（96）66=7518 （3）如圖3中，作chad于h，則ch=4，dh=3， tane=， 作agdf于點(diǎn)g，設(shè)ad=5a，則dg=3a，ag=4a， fg=dfdg=5+n3a， chad，agdf，e=f， 易證afgceh， =， =， a=， ad=5a= 30（2022大冶市模擬）如圖，abc中，點(diǎn)e、f分別在邊ab，ac上，bf與ce相交于點(diǎn)p，且1=2=a （1）如圖1，

42、若ab=ac，求證：be=cf； （2）若圖2，若abac， （1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)給出你的判斷并說(shuō)明理由； 求證：= 【解答】解：（1）ab=ac， ebc=fcb， 在bce與cbf中， bcecbf， be=cf； （2）成立，理由如下：作a的平分線交bc于點(diǎn)d，連結(jié)de、df， 則daf=dae=a， 1=2=a， daf=dae=1=2， a、b、d、f四點(diǎn)與a、e、d、c四點(diǎn)分別共圓， bd=df，de=dc， bde=a，cdf=a， bde=cdf， 在deb與dcf中， debdcf， be=cf； 由上面的證明易知dfb與dec均為等腰三角形， 1=2， dfbdec，

43、 ， ad是abc的內(nèi)角平分線， ， 31（2022大東區(qū)二模）如圖1，在銳角abc中，d、e分別是ab、bc的中點(diǎn)，點(diǎn)f在ac上，且滿足afe=a，dmef交ac于點(diǎn)m （1）證明：dm=da； （2）點(diǎn)g在be上，且bdg=c，如圖2，求證：degecf； （3）在圖2中，取ce上一點(diǎn)h，使得cfh=b，若bg=5，求eh的長(zhǎng) 【解答】（1）證明：如圖1所示， dmef， amd=afe， afe=a， amd=a， dm=da； （2）證明：如圖2所示， d、e分別是ab、bc的中點(diǎn)， deac， bde=a，deg=c， afe=a， bde=afe， bdg+gde=c+fec， b

44、dg=c， gde=fec， degecf； （3）解：如圖3所示， bdg=c=deb，b=b， bdgbed， =， bd2=bgbe， afe=a，cfh=b， c=180ab=180afecfh=efh， 又feh=cef， efhecf， =， ef2=ehec， deac，dmef， 四邊形defm是平行四邊形， ef=dm=da=bd， bgbe=ehec， be=ec， eh=bg=5 32（2022隨州）如圖，分別是可活動(dòng)的菱形和平行四邊形學(xué)具，已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長(zhǎng)相等 （1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，某小組學(xué)生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖1所示的圖形

45、，af經(jīng)過(guò)點(diǎn)c，連接de交af于點(diǎn)m，觀察發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)m是de的中點(diǎn) 下面是兩位學(xué)生有代表性的證明思路： 思路1：不需作輔助線，直接證三角形全等； 思路2：不證三角形全等，連接bd交af于點(diǎn)h 請(qǐng)參考上面的思路，證明點(diǎn)m是de的中點(diǎn)（只需用一種方法證明）； （2）如圖2，在（1）的前提下，當(dāng)abe=135時(shí)，延長(zhǎng)ad、ef交于點(diǎn)n，求的值； （3）在（2）的條件下，若=k（k為大于的常數(shù)），直接用含k的代數(shù)式表示的值 【解答】解：（1）如圖1， 證法一：四邊形abcd為菱形， ab=cd，abcd， 四邊形abef為平行四邊形， ab=ef，abef， cd=ef，cdef， cdm=fem， 在

46、cdm和fem中 ， cdmfem， dm=em， 即點(diǎn)m是de的中點(diǎn)； 證法二：四邊形abcd為菱形， dh=bh， 四邊形abef為平行四邊形， afbe， hmbe， =1， dm=em， 即點(diǎn)m是de的中點(diǎn)； （2）cdmfem， cm=fm， 設(shè)ad=a，cm=b， abe=135， baf=45， 四邊形abcd為菱形， naf=45， 四邊形abcd為正方形， ac=ad=a， abef， afn=baf=45， anf為等腰直角三角形， nf=af=（a+b+b）=a+b， ne=nf+ef=a+b+a=2a+b， =； （4）=+2=k， =（k）， =， =+1=+1= 3

47、3（2022秋故城縣期末）如圖，已知在abc中，p為邊ab上一點(diǎn)，連接cp，m為cp的中點(diǎn)，連接bm并延長(zhǎng)，交ac于點(diǎn)d，n為ap的中點(diǎn)，連接mn若acp=abd （1）求證：acmn=bnap； （2）若ab=3，ac=2，求ap的長(zhǎng) 【解答】解：（1）m為cp的中點(diǎn)，n為ap的中點(diǎn)， mn是acp的中位線， nmac，mn=ac， a=bnm， 又acp=abd， acpnbm， =， acmn=bnap； （2）ac=2， mn=ac=1， 設(shè)an=x，則ap=2x， acmn=bnap， 21=（3x）2x， 解得x1=，x2=， ap=3+（舍去），ap=3， ap的長(zhǎng)3 34（2022秋召陵區(qū)期末）如圖，已知ac、ec分別為四邊形abcd和efcg的對(duì)角線，點(diǎn)e在abc內(nèi)，cae+cbe=90，當(dāng)四邊形abcd和efcg均為正方形時(shí)，連接bf （1）求證：caecbf； （2）若be=1，ae=2，求ce的長(zhǎng) 【解答】解：（1）四邊形abcd和efcg均為正方形， =， 又ace+bce=bcf+bce=45， ace=bcf， caecbf （2）：caecbf， cae=cbf，=， 又cae+cbe=90， cbf+cbe=90， ebf=90， 又=，ae=2